建筑力學(xué)——扭轉(zhuǎn)

1、3-3 3-3 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第三章第三章 扭轉(zhuǎn)（了解）扭轉(zhuǎn)（了解） 3-1 3-1 概述概述 3-2 3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 3-4 3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 3-5 3-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形 . .剛度條件剛度條件 3-6 3-6 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3- -1 概概 述述 變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)： . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動； . 桿表面的縱向線變成螺旋線； . 實際構(gòu)件在工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外， 還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。 受力

2、特點(diǎn)：受力特點(diǎn)： 圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi)的外力 偶Me作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。 薄壁桿件也可以 由其它外力引起 扭轉(zhuǎn)。 Me Me 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的 情況，并且以圓截面(實心圓截面或空心圓截面)桿為主要 研究對象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工 作的情況。 n 主動輪 從動輪 葉片 主軸 Me 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3- -2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒薄壁圓筒通常指 的圓筒 10 0 r 當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時，任一橫截面上的內(nèi)力 偶矩扭矩 e MT m m T Me l Me m m

3、Me r0O 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 1. 薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律 推論：推論： (1) 橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如 同剛性平面一樣； (2) 相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動，橫截面之間的 距離未變。 Me AD B C Me j j g g 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力： (1) 只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力 相同； (2) 對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布； (3) 橫截面上無正應(yīng)力。 Mem m x r0 t dA 建筑力學(xué)建

4、筑力學(xué) 2. 薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計算公式薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計算公式： TrA A dt由 根據(jù)應(yīng)力分布可知 t 0 2A T 引進(jìn)，上式亦可寫作 2 00 rA t 2 000 0 2)2(dr T rr T Ar T A A TArd 0 t ，于是有 Mem m x r0 t dA 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3. 3. 剪切胡克定律剪切胡克定律 (1) 上述薄壁圓筒表面上每個格子的直角均改變了g g，這種 直角改變量稱為切應(yīng)變。 (2) 該圓筒兩個端面之間繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了j角，這種 角位移稱為相對扭轉(zhuǎn)角。 (3) 在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下，切應(yīng)變也是 不沿壁厚變化的，故有

5、 ，此處r0為薄壁圓筒的平 均半徑。 l r0j g Me AD B C Me j j g g l 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t 不超過 材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T ) 與相對扭轉(zhuǎn)角j 成線性正比例關(guān)系，從而可知t 與g 亦成線 性正比關(guān)系：gtG 這就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系數(shù)G稱為 材料的切變模量切變模量。 鋼材的切變模量的約值為：G =80GPa Me AD B C Me j j g g 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 1. 扭矩及扭矩圖 圓軸橫截面上的扭矩T 可利用截面法來計算。 T Me Me T T = Me M

6、e Me 1 1 3-3 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 扭矩的正負(fù)可按右手螺旋法則確定：扭矩矢量離開截 面為正，指向截面為負(fù)。 T(+) T(-) 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 例題例題3- -1 一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速 ,試作軸的 扭矩圖。 min r 300n 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 解解：1. 作用在各輪上的外力偶矩 建筑力學(xué)建筑力學(xué) M1 = 15.93 kN.m M2 = M3 = 4.78 kN.m M4 = 6.37 kN.m 2. 計算各段的扭矩 BC段內(nèi)：mkN78. 4 21 MT AD段內(nèi)：mkN37. 6 43 MT CA段內(nèi)：mkN9.56 322 MMT(負(fù)) 注意這個扭矩

7、是假定為負(fù)的 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3. 作扭矩圖 由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其 值為9.56 kNm。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3- -4 等直圓桿（實心）扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓桿（實心）扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 1. 橫截面上的應(yīng)力 表面 變形 情況 推斷 橫截面 的變形 情況 ( (問題的幾何方面問題的幾何方面) ) 橫截面 上應(yīng)變 的變化 規(guī)律 橫截面上 應(yīng)力變化 規(guī)律 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 ( (問題的物理方面問題的物理方面) ) 內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系 橫截面上應(yīng)力 的計算公式 ( (問題的靜力學(xué)方面問題的靜力學(xué)方面) ) 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 表面變形情況： (a) 相鄰圓周線繞桿

8、的軸線相對轉(zhuǎn)動，但它們的大小和形狀 未變，小變形情況下它們的間距也未變； (b) 縱向線傾斜了一個角度g 平面假設(shè)等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時橫截面如同剛性平面繞桿的 軸線轉(zhuǎn)動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。 推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。 (1) 幾何方面 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 橫截面上一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律： x EG GG d d tan j gg 即 x d dj g b b TT O1 O2 dj G G D D a adx A E g g E A O1 D dj D G G O2 d/2 dx g g 建筑力學(xué)建筑力學(xué) x d dj g 式中 相對扭轉(zhuǎn)角j 沿桿長的變

9、化率，常用j 來表 示，對于給定的橫截面為常量。 xd dj 可見，在橫截面的同一半徑 的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變 g 均相同；g 與 成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。 b b TT O1 O2 dj G G D D a adx A E g g 建筑力學(xué)建筑力學(xué) x GG d dj gt (2) 物理方面 由剪切胡克定律 t Gg 知 可見，在橫截面的同一半徑 的圓周上各點(diǎn)處的切 應(yīng)力t 均相同，其值 與 成正比，其方向垂直于半徑。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) pp I T GI T G t (3) 靜力學(xué)方面 其中 稱為橫截面的極慣性矩Ip， 它是橫截面的幾何性質(zhì)。 A Ad 2 dTA A t 從而

10、得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點(diǎn) 處切應(yīng)力計算公式 p d d GI T x j A AId 2 p 以 代入上式得： TA x G A d d d 2 j 即 建筑力學(xué)建筑力學(xué) ppp max W T r I T I Tr t p I T t T max t max t d 式中Wp稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單 位為 m3。 橫截面周邊上各點(diǎn)處( r)的最大 切應(yīng)力為 T max t max t d D 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 實心圓截面： 32 d2 4 2 0 3 d d 圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp 16 2/ 3 p p d d I W A AId 2 p 建筑力學(xué)建筑力

11、學(xué) 空心圓截面： ( D d D dD AI D d A 其中 4 4 44 2 2 32 p 1 32 32 d2d ( ( 4 344 p p 1 16 16 2/ D D dD D I W 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗開始 低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗結(jié)束 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗過程 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口 分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？ 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 2.2. 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 max tt 此處t為材料的許用切應(yīng)力。對于等直圓軸亦即 p max t W T 鑄

12、鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時雖沿斜截面因 拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上 的切應(yīng)力有固定關(guān)系，故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表 達(dá)強(qiáng)度條件。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 例題例題3- -4 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段 直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力t 80 MPa。試校核該軸的強(qiáng) 度。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) BC段內(nèi) ( MPa3 .71Pa103 .71 m10100 16 mN1014 6 3 3 3 2p 2 max, 2 W T t AB段內(nèi) ( MPa8 .64Pa1

13、08 .64 m10120 16 mN1022 6 3 3 3 1p 1 max, 1 W T t 解：解：1. 繪扭矩圖 2. 求每段軸的橫截面上 的最大切應(yīng)力 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3. 校核強(qiáng)度 需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng) 力集中現(xiàn)象，在以上計算中對此并未考核。 t2,max t1,max，但有 t2,maxt = 80MPa，故 該軸滿足強(qiáng)度條件。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形剛度條件剛度條件 1. 扭轉(zhuǎn)時的變形扭轉(zhuǎn)時的變形 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相 對角位移) j 來度量。 Me AD B C Me j j

14、g g 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 當(dāng)?shù)戎眻A桿相距 l 的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切 變模量G為常量時有 p GI Tl j 由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率(亦稱單位長度扭 轉(zhuǎn)角)為 可知，桿的相距 l 的兩橫截面之間的 相對扭轉(zhuǎn)角j為 p d d GI T x j j l l x GI T 0 p ddjj 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 解：解： 1. 各段軸的橫截面上的扭矩： mN637 ,mN955 21 TT 例題例題3- -5 圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，

15、鋼的切變模量G = 80 GPa。試求橫 截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) ( ( rad1069. 1 m1070 32 Pa1080 m10500mN637 3 4 39 3 P 2 GI lT AC CA j 3. 橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角： (rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1 333 CAABCB jjj ( ( rad1052. 1 m1070 32 Pa1080 m10300mN955 3 4 39 3 P 1 GI lT AB AB j 2. 各段軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角： 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 2. 2. 剛度條件剛度條件 式中的許可單

16、位長度扭轉(zhuǎn)角j的常用單位是()/m。此時， 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件表示為： 對于精密機(jī)器的軸j0.150.30 ()/m； 對于一般的傳動軸j2 ()/m。 max jj 180 p max j GI T 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 解解: 1. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑D (有由因 , 16 15 16 1 16 p max max 3 4 3 p tt W TDD W m10109 Pa1040 16 15 mN1056. 916 16 15 16 3 6 3 max 3 3 t T D 例題例題3-6 由45號 鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直 徑之比 = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力t =

17、40 MPa，切 變模量G= 80 GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Tmax = 9.56 kNm，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角j=0.3 ()/m。試選 擇軸的直徑。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 2. 按剛度條件求所需外直徑D (有由因 180 , 16 15 32 1 32 p max 4 4 4 p j GI TDD I m105 .125 m/ )(3 . 0 1 180 16 15 Pa1080 mN1056. 932 1 180 16 15 32 3 9 3 max 4 4 j G T D mm75.62d 3. 空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度條件 控制)，內(nèi)直徑則根據(jù) =

18、d/D = 0.5知 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 3- -6 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形 1. 1. 等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特點(diǎn)等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特點(diǎn) 橫截面不再保持為平面而發(fā)生 翹曲。平面假設(shè)不再成立。 自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))等直桿， 兩端受外力偶作用，端面可自由翹 曲。由于各橫截面的翹曲程度完全 相同，橫截面上只有切應(yīng)力而無正 應(yīng)力。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 約束扭轉(zhuǎn)非等直桿，或非兩端受外力偶作用，或 端面不能自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度不同，橫截 面上除切應(yīng)力外還有附加的正應(yīng)力。 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 2. 2. 矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的彈性力學(xué)解矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的彈性力學(xué)解 一般矩形截面等直桿狹長矩形截面等直桿 建筑力學(xué)建筑力學(xué) (1) 一般矩形截面等直桿一般矩形截面等直桿 橫截面上的最大切應(yīng)力在長邊中點(diǎn)處： Wt扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，Wt=bb3， b 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。 t max W T t 橫截面上短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力： t ntmax n 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。 單位長度扭轉(zhuǎn)角： It相當(dāng)極慣性矩， , 為與m = h/b 相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。 t GI T j 4 t bI 建筑力學(xué)建筑力學(xué) 表3-1 矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的因數(shù)，b 和 n m=h/b1.01.21.52.02.53.04.