《三角函數(shù)的誘導公式》新課程高中數(shù)學必修4省優(yōu)質(zhì)課比賽說課教案

1、三角函數(shù)的誘導公式教材：在北師大版普通高中課程標準實驗教科書必修4中，單位圓與正弦、余弦函數(shù)的內(nèi)容約4課時，下面筆者從教學背景分析、教學設計分析、目標分析、過程分析、板書設計等方面談談“三角函數(shù)的誘導公式”這節(jié)課的教學設計.一、教學背景分析（一）教材的地位和作用本節(jié)教學內(nèi)容是4組三角函數(shù)誘導公式的推導過程及其簡單應用.承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關系等；啟下，學生將學習利用誘導公式進行任意角三角函數(shù)的求值化簡以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容.同時，學生在初中就接觸過對稱等知識，對幾何圖形的對稱等知識相當熟悉，這些構成了學生的知

2、識基礎.誘導公式的作用主要在于把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復雜化簡單、未知化已知的數(shù)學思想.（二）目標定位誘導公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計算器的普及，上述意義不是很大.我們認為，誘導公式的教學價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過幾何對稱這個研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性質(zhì)）的代數(shù)解析表示.第二，學會初步應用，能夠選用恰當?shù)恼T導公式將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)問題并求解.第三，領悟思想方法，在誘導公式的學習過程中領悟化歸、數(shù)形結合等思想

3、方法.第四，積累數(shù)學經(jīng)驗，為學生認識任意角的三角函數(shù)既是一個起源于圓周運動的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準備.二、教學設計分析在進行本課教學設計時，有以下兩條典型教學路線可供選擇：（1）兩個角的終邊有哪些特殊的對稱關系？（2）怎樣把非第一象限的角轉化為第一象限的角？筆者最終選擇了第一條路線，主要基于以下兩點考慮.（一）尊重教材的編寫方式從對教材的分析來看，北師大版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應點的坐標關系，從而統(tǒng)整各組誘導公式.教材的編寫處理體現(xiàn)了教材專家的集體智慧和版本教材的一貫特色，教師應該努力體會和把握，不宜輕

4、率拋開教材另搞一套.（二）切合學生的認知水平利用學生熟悉的圓及其對稱性研究三角函數(shù)的相關性質(zhì)，符合學生的認知心理.同時，單位圓及其對稱性的表象對學生推導誘導公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導公式都將起到事半功倍的效果.三、教學環(huán)境分析根據(jù)教學內(nèi)容和學生實際情況，確定選擇使用多媒體教室.四、教學目標分析（一）知識與技能 1.能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導三角函數(shù)的誘導公式. 2.能夠運用誘導公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題.（二）過程與方法 1.經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關系式的過程，培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和概括能力. 2.通

5、過對誘導公式的探求和運用，培養(yǎng)化歸能力，提高學生分析問題和解決問題的能力.（三）情感、態(tài)度、價值觀 1.通過對誘導公式的探求，培養(yǎng)學生的探索能力、鉆研精神和科學態(tài)度. 2.在誘導公式的探求過程中，運用合作學習的方式進行，培養(yǎng)學生團結協(xié)作的精神.五、教學重點與難點教學重點:探求a的誘導公式.a與a的誘導公式在小結a的誘導公式發(fā)現(xiàn)過程的基礎上，教師引導學生推出.教學難點:a，a與角a終邊位置的幾何關系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關系導致（與單位圓交點）的坐標關系，運用任意角三角函數(shù)的定義導出誘導公式的“研究路線圖”.六、教學方法與教學手段 問題教學法、合作學習法，結合多媒體課件.七、教學過程角的概念已經(jīng)由銳角

6、擴充到了任意角，前面已經(jīng)學習過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題.（一）問題提出 如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉化為0360角三角函數(shù)求值問題. 【問題1】求390角的正弦、余弦值.一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位置關系.即有sin(+k360) = sin，cos(+k360) = cos， (kz) tan(+k360) = tan.這組公式用弧度制可以表示成sin(+2k) = sin， cos(+2k) = cos， (kz) (公式一) tan(+2k) = tan.【設計意圖】前面的學習中

7、，已經(jīng)將角的概念從銳角擴充到了任意角，學習了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求.于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學生的身心特點和認知規(guī)律，意在培養(yǎng)學生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導學生在求三角函數(shù)值時抓坐標、抓角終邊之間的關系.同時，首先考慮+2k（kz）與的三角函數(shù)值之間的關系，有助于學生理解三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實世界中周期性變化的數(shù)學模型的確切含義.（二）嘗試推導如何利用對稱推導出角- 與角的三角函數(shù)之間的關系.由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等.反過來呢？如果兩個角的三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎?比

8、如說：【問題2】你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？ 角-與角的終邊關于y軸對稱,有sin( -) = sin，cos( -) = - cos， （公式二） tan(-) = - tan.【設計意圖】對問題2的提問方式的設計主要是考慮到我們在研究問題的時候常常會研究它的逆命題、否命題、等價命題等.事實上問題2可以看成是“若兩個角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個角的正弦值相同，則兩個角的終邊相同”.但這里是以問題的形式提出的，實際上教會了學生一種自己研究問題的方法. 思考請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?因為與角終邊關于y軸對稱是角-，利用這種

9、對稱關系，得到它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).于是，我們就得到了角-與角的三角函數(shù)值之間的關系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關系對稱關系坐標關系三角函數(shù)值間關系.【設計意圖】階段小結，讓學生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用.將上述研究過程進行梳理，得出“角間關系對稱關系坐標關系三角函數(shù)值間關系”的研究路線圖.（三）自主探究如何利用對稱推導出+ ，- 與的三角函數(shù)值之間的關系.剛才我們利用單位圓，得到了終邊關于y軸對稱的角-與角a的三角函數(shù)值之間的關系，下面我們還可以研究什么呢？ 【問題3】兩個角的終邊關于x軸對

10、稱,你有什么結論?兩個角的終邊關于原點對稱呢？角-與角的終邊關于x軸對稱，有：sin(-) = -sin， cos(-) = cos，（公式三） tan(-) = -tan. 角 +與角終邊關于原點o對稱，有：sin( +) = -sin， cos( +) = -cos，（公式四）tan( +) = tan.上面的公式一到四都稱為三角函數(shù)的誘導公式.【設計意圖】從兩個角的終邊關于y軸對稱的情況進行自然過渡，給學生留下了自主探究的空間，讓他們再次經(jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式三和四，并將問題2研究方法一般化.（四）簡單應用 例：求下列各三角函數(shù)值： (1) ； (2) ；（3） .【設計意圖】

11、初步熟悉誘導公式的使用，讓學生感悟在解決問題的過程中，如何合理地使用這幾組公式.此外，引導學生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導公式，啟發(fā)學生這些公式的內(nèi)在關系和聯(lián)系，體會數(shù)學方法的多樣性.（五）回顧反思 【問題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導公式的?研究的過程中，你有哪些體會? 知識上，學會了四組誘導公式；思想方法層面：誘導公式體現(xiàn)了由未知轉化為已知的化歸思想；誘導公式所揭示的是終邊具有某種對稱關系的兩個角三角函數(shù)之間的關系.主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結合的數(shù)學思想.具體可以表示如下：【設計意圖】開放式小結，使得不同的學生有不同的學習體驗和收獲.這些問題的提出，側重于誘導公式推導方法的回顧和反思，側重于個體情感體驗的分享和表達，從而區(qū)別于側重公式規(guī)律的總結和記憶.（六）分層作業(yè) 1.閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導公式推導過程中的思想方法； 2.必做題：課本20頁a組1， 6，21頁b組 1； 3.選做題： （1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎？ （2）角和角的終邊還有哪些特殊的位置關系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關系嗎？【設計