理論力學(xué)經(jīng)典課件-第五章--動量定理和動量矩定理

1、 模型: 研究機械運動與力的作用關(guān)系 理論的普遍性: : 離散型 松散介質(zhì) :連續(xù)型固體、流體、剛體 (包括剛體、結(jié)構(gòu)、彈塑性結(jié)構(gòu)、流體等) 直接用于一切動力學(xué) 受力的質(zhì)點系 意 義: 2.動強度設(shè)計 1.一切動力學(xué)基礎(chǔ) 經(jīng)典動力學(xué) 分析動力學(xué) 牛頓力學(xué)、矢量動力學(xué) (物理中已闡述) 兩個原理為基礎(chǔ) 內(nèi)容: 動量主矢變化與外力主矢關(guān)系 動量主矩變化與動量主矩關(guān)系 5-1-1 牛頓三大定律 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 任何物體具有慣性；力是改變運動的原因。 牛頓在地球上發(fā)現(xiàn)，總結(jié)于自然 哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。 1.慣性定律 不受力質(zhì)點，保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)(相 對慣性

2、系)。 表明: 2. (對質(zhì)點)maF 即 合力與加速度同時、同向。 2 2 d d m t r F 5-1-1 牛頓三大定律 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 0 B a 此時彈力，摩擦力不變: A BA A A m fmm m F a g A與B在F作用下勻速運動，已知 突然拆去F后，求此時 AB ,aa 。 AB m ,mf和 k BA F 5-1-1 牛頓三大定律 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 0 B a 物塊沿斜面運動， 沿斜面。 a A BA A m gmm a cossin R FFG 故合力沿斜面，且 已知 求物體所受合力。 0,fG,F, AB ,aa AB m ,m 已知 懸掛重物，求繩斷

3、時 ? B A k F G 5-1-1 牛頓三大定律 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 m 2 0m xx 光滑圓管在水平面勻速轉(zhuǎn)動，管內(nèi)小球如何運動? 三大定律適應(yīng)慣性系(地球、地心、日心) 不僅適應(yīng)用平衡體，也適應(yīng)非平衡體。 第3定律可用于非慣性系。 3.作用與反作用定律 在x方向投影: 即 小球沿管向外運動。 2 mxmx C a 2 x x x 5-1-1 牛頓三大定律 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 1.兩種形式 i mt, ,rFr r x Fx m Fs m 投影式 a、直角坐標(biāo) b、 弧坐標(biāo)系 矢量式 y Fy m z Fzm 2 n s mF 0 b F 5-1

4、 質(zhì)點動力學(xué)方程 坐標(biāo)與坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)正向相同。 投影式兩邊正方向相同。 還有柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)式等。 繞線輪與滑塊，已知，r，m，f0，求 與x的關(guān)系。 T F cos A vr A B O R x A v A a 2.兩類問題: 第二類: 第一類: 已知運動求力微分 已知力求運動積分 22 cos xr x 2 2 A r v r 1 x 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 422 5 22 2 T mr x F xr 研究滑塊A cos TA Fma由 得 為所求 A a A T F 42 2 22 A r x a xr 得 A xv 注意到: 3 3 22 2 AA r av

5、x xr 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 如何可使 與坐標(biāo)正向一致？ A a 建立圖示 坐標(biāo) 1 x ， 1 xlx 1A xa 不對，A、B兩點均運動。 d d AB l r t 對嗎? A B O R x A a 1 x 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 質(zhì)量為m小球在空氣中下落， 試求小球的運動。 2 00 00F,y,v 2 mymgFmgy 2 vgv m 即 m y o yv F mg mg c 設(shè) 22 vcv m 則 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 22 00 d d vt v t cvm cth() g v

6、t c dcth()d yt 00 g ytt c 2 lnch() cg yt gc d d y t 存在極限速度 ，小球趨于等速運動；cvm 運動分析: v/c gt/c O 1 2 m mgv即 此時 阻力與重力平衡 m v空中降落傘很快達(dá)到 m mg vc 5-1 質(zhì)點動力學(xué)方程 5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 5-2質(zhì)點系動量定理 d d e i t p F 第五章 動量定理和動量矩定理 5-2-1 質(zhì)點系的動量 5-2-2 質(zhì)點系動量定理 5-2-3 質(zhì)心運動定理 iiCiiC mmmmpvvrr yiiCy pm ymv xiiCx pm xmv zCz pmv (動量系的主矢)

7、 已知m,r, 比較兩環(huán) 大小? 21 pp , m 2m 2 o 1 o m rr 5-2-1 質(zhì)點系的動量 5-2 質(zhì)點系動量定理 P C 求均質(zhì)桿合動量 ， 對嗎?(與內(nèi)力 有關(guān)嗎?) m l p 2 p 3 l P 位置不對! 應(yīng)在 處. (向C簡化，還有動量主矩 ) c L 3 l p 1 23pr mr mmr 2 2prm 21 pp 故 5-2-1 質(zhì)點系的動量 5-2 質(zhì)點系動量定理 d d e t p F 1.微分式 2.積分式 3.守恒式 0 e F 常矢p 0 e R I 21 pp (不一定守恒) 2 1 21 d t ee R t t ppFI 5-2-2 質(zhì)點系動

8、量定理 (由對質(zhì)點的動量定理，求和得到) 揭示外力主矢與動量變化之關(guān)系，形式上 與內(nèi)力無關(guān)。 5-2 質(zhì)點系動量定理 三種形式均有投影式 d d x x p F t 21 e xxx ppI 0 x F x p 常量則 5-2-2 質(zhì)點系動量定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 2 T Fmg IImv 與 成 角,v 圓錐擺，已知 試求半周期內(nèi)繩張力沖量 。 T F ImvR、 、 22 ()(2) T F R Imgmv v mv I 2 tg mg1 - 方向: 2mv mg I T F I v v m R T F mg 5-2-2 質(zhì)點系動量定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 描述了質(zhì)系質(zhì)心運動與外

9、力主矢的關(guān)系。 5-2-3 質(zhì)心運動定理 C mpv1.定理 d dt p 對剛體僅描述了隨質(zhì)心平移的一個側(cè)面。 e C maF 炮彈在空中爆炸后，其質(zhì)心仍沿拋物線運動， 直到一個碎片落地。跳水運動員質(zhì)心作拋體運動。 Ci mm i aa 5-2 質(zhì)點系動量定理 2.質(zhì)心守恒(不動) 0 1) 0 e CO F v 若 0 0 C C a v C r 常矢 0 2) 0 x C xO F v 若 0 0 C x C x a v C x 常量 對！ Cii mxm x t， Cii mxm x 有 Ci i mxmx 0 ii mx 對嗎? C x 若常量，0 ii m x ，則 則 故有 0

10、C x 當(dāng)時， 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 0 x F 0mx有 則右移設(shè),SA A ()0 2 AABA a b mSmS () () B A AB a b m S 2 mm 0 C x,且 (左移) B b a B A AB m ,m ,a,b, 90 A S 已知 力偶使B轉(zhuǎn) 后，求 。 M 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 C A B 均質(zhì)桿在鉛垂面內(nèi)滑倒，f=0,求桿端A運動軌跡? 0 0 xC F,x, 2 cos sin A A l x yl 22 22 4 1 AA xy ll 故 桿質(zhì)心C沿鉛直線運動。 設(shè)任意時刻t，狀態(tài)如圖 y x C

11、 v C A B 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由靜止開始 運動已知 。B在2s內(nèi)前移 5m，不計B與地面摩擦。試求A在B內(nèi)移動距離(B足夠長)。 20kg30kg120N AB m,m,F F A B 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 研究整體: AABB Fm am a ,由有 1202030 (1) AB aa 2 1 2 BB Sa t ,而 有 (1),代入式得 2 1 4.5(m) 2 AA Sa t故 54.50.5(m) ABBA SSS ,aB 2 5 2 1 5 2 5 (m/s ) 2 B a故 2

12、9 (m/s ) 4 A a F A B 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 無相對運動時: 經(jīng)時間t1，發(fā)生第1次碰撞。 為什么 =常量? B a BA B mm F a A對B的摩擦力 大小為是常量。 A m gf 2 591 m/s 244 ABBA aaa 若給定B長4m, 完全彈性碰撞以后情形? （有向后與向前之區(qū)別） ,taAB 2 1 2 1 4 1 8 44 2(s)t A m gf F A B 有相對運動時: 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 水平管繞軸z轉(zhuǎn)動，A，B兩球細(xì)繩相連， 2 2kg0.5kg0.2kg m ABC m,m,J, 40c

13、m/s Ar v, 求 (不計摩擦和繩重)。 100cml, 圖示瞬時，測得60cm A r, 0.5rad/s, A r A l B z 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 d d z z J t J d 0 d z L t 0 zz M,L 常數(shù)， 22 () zzCA ABA LJJm rml r而 d d z z J J 0 t 代入上式，得 d 22()()0.8 d z A AArBAAr J m r vmlrv t 而 2 0.4rad/s 故 不變， 變化， 變 z L z J 則 A r A l B z 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 曲柄滑槽

14、機構(gòu)。已知 ，G為導(dǎo)桿 重心。曲柄、滑塊、導(dǎo)桿質(zhì)量分別為 試求支 座O動約束力。 2 , l BGlOA 123 m ,m ,m 。 O A B G 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 C xiiOx mam xF 123 coscos( cos) 22 C ll mxmtm ltmlt而 2 123 (2)cos 2 OxC l Fmxmm2mt 故 2 max123 (22) 2 Ox l Fmmm 2 12 (2)sin 2 O yC l Fmymmt 同理 2 max12 (2) 2 O y l Fmm 由質(zhì)心運動定理 t 當(dāng)時， 2 t 當(dāng)時， O A B G y x

15、Ox F Oy F 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 偏心電機轉(zhuǎn)動時，支座動約束力多大？ OxC Fmx 2 2 d ( cos) d met t OyC Fmy tme sin 2 2 cosmet m e 1 O C O Ox F Oy F 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 炮車放炮。已知 （對地）求反沖速度 。u 1 m ,m, ,v, r vuv coscossinsin rr vv u vv 上式在x，y方向投影 u r v v u 1 m m v 222 11 () tg mv u mmm 2 0 x p,由有 1 cos0mumv 解之得: 1 1

16、 tgtg mm m 可見 當(dāng)時 1 mm 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 1 1 tg m mm 不計空氣阻力， ?射程最遠(yuǎn)。 炮臺放炮（高h(yuǎn)） ?射程最遠(yuǎn)。 45 時，射程最遠(yuǎn)， 此時 22 0 2 tt v vvgh,，設(shè)炮彈落地速度為(能量守恒) t v可見 一定時。 大小一定，且 0 vh， 0t vvgt 0 cosxvt要使水平射程 最大。 1 m m h 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 00 2 t 0 tg 2 vv v vgh 0 1 cos 22 g xgtv只要 最大。 即圖示矢量三角形面積最大。 0t v ,v因 邊長一定。 0t

17、vv必有 即 代入上式 01 2 1 0 tg vm mm v2gh 得 時， 水平射程最大。 gt 0 v t v 5-2-3 質(zhì)心運動定理 5-2 質(zhì)點系動量定理 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 )( d d e o 0 FM L t 第五章 動量定理和動量矩定理 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 2. 對運動點A 1. 對固定點O iiiO Lrm v AO LLAOP xxiixO x LL (m)L 或vL 0 A v (1)對兩個固定點A,O 之關(guān)系 (2)對固定軸x (1)絕對動量矩 (數(shù)學(xué)上完全類似力矩) P

18、 動量 Aiii m Lrv 絕對速度 i v 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 (2)相對動量矩(在A點固連平移系) Aiii m Lrv () AiiAi m Lrvv iAi vvv () AAA mLLACv CC LL A mACv A ii A mvrL 相對速度 i v (3)兩者關(guān)系 故C為質(zhì)心， 0，AC 當(dāng)即動點為質(zhì)C時 對質(zhì)心得絕對與相對動量矩相等 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 3.剛體的動量矩(對固定點A) iC vv (對動點A， 形式同上，但 為一般運動矢) AC A L () AiiCC mm LrvACvACP (1)

19、平移 且有 A r 設(shè) rvk , kjirzyx (2)定軸轉(zhuǎn)動 對軸上一點O: d Oxzyzz M mJJJ Lr vijk k i j 0 L O 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 dd xzyz MM Jxz m,Jyzm, 可見: (可以證明任意點存在 三根主軸)0 xzyz JJ Oz J有L d 22 z M Jxym, 其中 稱為慣性積； 為對z軸轉(zhuǎn)動慣量。 ; O不沿 方向 L 一般情形, 當(dāng)轉(zhuǎn)軸z為主軸時， 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 2 1 2 C JmR 2 1 12 C Jml 常見主軸 質(zhì)量對稱面 對稱軸 常見剛體 均

20、質(zhì)輪 均質(zhì)桿 C O 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 平行軸定理: 2 OC JJOC m 2 O Jm工程中: (只能從質(zhì)心移動) 慣性半徑或迴轉(zhuǎn)半徑 CO 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 在剛體上建立質(zhì)心平移系 ,且使 運 動平面，則相對運動為繞 軸的轉(zhuǎn)動，已知 對 兩固定點A、C C x y z Cz Cz C v, ACC mLLACv CC x zz yz LLJJJ ijk (3)平面運動 a)一般情形 C z x y 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 b)主軸情形 若 為主軸，則 C z 0; x zy z JJ C

21、C J L AC ,LL () ACC mLLACv 則 故 方位相同，可視為代數(shù)量。 C z x y A m,r,L求。 AC LJ mr r-h 均質(zhì)輪滾動，已知 c c v r A h r C C v 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 () OCC LmvR rJ v COCC m,R,r,v ,L ,L ,L求。 均質(zhì)輪純滾，已知 vvv C CCC v LJ J r 2 1 2 CC LLmr R O v C C v r c c v r r C C v 各構(gòu)件質(zhì)量均為m，求 。 O L a 1 r O 2 rC b r 2lr C O 2r 5-3-1 質(zhì)點系的動

22、量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 12222 122 2 11 () 32 O rr Lml m rrmr r OC LLOCP 21 rrl 222 11 (2 )(2 ) 212 mrmrmr 0 圖(a): 圖(b): 2 29 6 mr a 1 r O 2 rC b r 2lr C O 2r 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 b r 2lr C O 2r 2222 11 2(2 ) 212 O Lmr rmrmrmrmr 2 OC LJ mr r mrmr 22 6 29 ) 3 4 2 3 (2 C (亦可按平面運動剛體計算!) 5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 5-3

23、質(zhì)點系動量矩定理 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 (分別對各質(zhì)點，再求和，內(nèi)力矩抵消) d d e O O t L M e O uM 幾何解釋，類比 dd dd O , tt Lr vu 矢端速度等于外力系對O點的主矩 O L 2 1 21 d t ee OOOO t t LLMMI 沖量矩定理 外沖量矩 (賴柴定理) 1.微分式: 2.積分式: 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 3. 守恒式: 0 e O ,若M d 0 d L L O O , t 常矢 則 4 .投影式: d d e x x L M t 2 21 1 d t e OxOxx t LLMt 0 e x M,若 守恒方向性 則

24、 x L常數(shù) 如圓錐擺: 0 e O ,M 0 e OC ,M而 C L守恒 不守恒 O L OC L守恒 0 e C ,M v C G T F O 2 1 d0 t e O t t, 若M 12OO LL 則 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 2 1 1 sin 12 OO LLml 已知 O為均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心， ，求A、B 動約束力。 ,mllAB 桿細(xì)長，可略去 ，方向 2 2O L e O 由uM cos O uL 而 2 sin2 24 e O AB Mml FF l 故 方向如圖，右手法則 A F 1 O L B A O l2 1 B F 5-3-2 質(zhì)

25、點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 若考慮 有何變化? 若固結(jié)點偏離質(zhì)心O,如圖所示， A,B 處動約束力又何變化? 類似方法，可求矩形板，圓盤轉(zhuǎn)動時的動約束力。 2 OAB ,LF F 均減小。 相應(yīng)增大。 B A O 1 O 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 O r 1 m 2 m m 已知 ，求a。 1212 ()m,r,m ,mmm d d e O O L M t 12 12 ()d d() 2 mmg t2m2mm r 研究整體，受力如圖。 由 (不用隔離體法) ar故 2 12 d1 () d2 mmm r t 即 12 ()mmgr

26、 1 m g 2 m g Oy F Ox F a mg 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 若不計繩與滑輪的質(zhì)量，則 aa vv 21 AABBO m v rm v rJ BA vv 猴子爬繩比賽，已知 ABArBr mm ,vv。 若考慮繩與滑輪的質(zhì)量，則 顯然， AB 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 C B A D I 22 131 2 (2) 3212 ABCBD Ilml mvlml 兩桿鉸接懸吊，已知 求沖擊后，求m,l,I， ABBD ，。 設(shè)沖擊后，速度如圖。 研究整體，由沖量矩定理，對A軸 (1) 1 2 CABB

27、D vll且 BD AB C v 研究BD桿，對固定點 ，由沖量矩定理有 B 2 1 212 CBD l I lmvml (3) 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 (1)對固定點A、B，使用沖量矩定理，避免了未知 的約束力沖量. (2)BD桿相對固定平面作平面運動. (3)懸吊n根桿受沖擊的思考. 5-15 5-18 5-33 5-35 5-39 5-40 5-41 類似習(xí)題: (對固定點) (對運動點) 123由、 、 得 630 ( )( ) 77 ABBD II , mlml 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 d , d2

28、A B Ll mgF l t 由 0, B F 令 飛輪角加速度多大時，F(xiàn)B為零？ 2 O l Jmg則 BA B A mg B F 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 如何設(shè)計雙足機器人行走側(cè)向穩(wěn)定方案？ 5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 由物理，對運動質(zhì)心C，有 d d C C L M t A d d ? L t 對一般運動點A 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 i m z x y O C A 在A點固連平移系 為任一質(zhì)點。 , i Ax y z m 1 .定理的一般形式 Oii iACA Lr

29、mvLOA mvmAC v i r i r , iiiAri rOArvvv(復(fù)合運動) A為運動點(已知vA，A)C為質(zhì)點。 d d A ACCCAAA L vmvOA mamvvmACa t 對一般動點A d d A A L M t d ()() d e A AA L MFACma t )( Ac vv ee i rFOA rF 平移系中， (絕對導(dǎo)數(shù)相對導(dǎo)數(shù)) (動系單位矢方向不變) dd dd AA LL tt 由于修正項，工程中一般不用，用于非慣性系中。 d d O O L M t 代入 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 2. 定理的特殊形式 使修正

30、項 的情形()0 A ACma d d A A L M t 10,( ) A a (A固定，勻速直線，加速度瞬心) (2) 即，A為質(zhì)心C0AC (3) 與 共線， A a AC0 A aAC d d A A L M t d d C C L M t d d C L t 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 均質(zhì)桿長l，繩段瞬時 0 A aAC有 d , d A A L M t 2 1 32 l mlmg即 如何用最簡方法求 ? 3 2 g l 故 B AC mg A a 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 均質(zhì)輪滾動，已知 。 0,

31、 v Cv aC C 有 d d v v C C L M t 即 2 3 2 mrFr 2 3 F mr Fr,m, v C a c c v r r CC v F v C 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 均質(zhì)桿長l,沿墻滑落。 cos 2 v C Gl J CvC=常數(shù)時， 指向C v C a cos 2 v C l JG有 A F B F G B A C v C v C a 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 半圓柱，一般位置時。 0 v Cv aCC 當(dāng)直徑面水平時， 指向C，有 v C a d d v v C C L M

32、 t d d v v C C L M t v C a 不指向C， C O v C mg v C a 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 均質(zhì)環(huán)滾而不滑，A球固結(jié)環(huán) 上，求 繩段瞬時 。 有 00 B a , cos30 B Jmgr 0 O OCa 再思考: 滾至OA水平時，再求 。 O指向質(zhì)心C m m r O 0 30 A mg mg B C O r A F B 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 0 JmgrFr有 d , d A A L M t 即 2222 d d mrmrmrmrmgr t 2 ()Fmrm rr而 2

33、22 111 ()2 222 mgrmrmrmR又 由能量守恒可求 4 g r 故 2 4mrmgr 對固定點A， C O r A F B 另解: 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 若 則 貓在下落過程中如何翻身？ 跳水時如何產(chǎn)生多周旋轉(zhuǎn)？ 轉(zhuǎn)椅上的人如何能自轉(zhuǎn)動180 ？ 3. 動量矩相對守恒 0 C M C L 常矢 對質(zhì)心軸: 若 則0 C M C L 常量 可解釋: 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 4 . 剛體平面運動微分方程 , e C maF有 CC JM 與動量定理和動量矩定理數(shù)學(xué)上等價。 d d cz CZ

34、L M t 由 有 分解為隨質(zhì)心C平移繞C軸轉(zhuǎn)動 Cx Cy mxF myF 由 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 常與動量定理結(jié)合，求解時間相關(guān)問題。 靈活選矩心，嚴(yán)格守條件。 結(jié)合運動學(xué)條件。 5 . 典型問題 圓輪問題 mRFhf， ， ， ， ，已知 sC aF、 。求 C h F 1)解題要點 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 受力與加速度分析如圖。 由剛體平面運動方程，有: 假設(shè)輪滾動，即 聯(lián)立解之得 C h F 1 24 ()3 ( ) ( ) () ( ) Cs N sC maFF Fmg F hRF RJ 未

35、知量 4 ( ) C aR 2(32 ) , 33 Cs FhFRh aF mRR mg S F C a N F 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 當(dāng)h3R/2時， 向右 s F h3R/2時， 0 s F C h F mg S F C a N F 可見: 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 不聽話的繞線輪。 已知m, r, R, f, F, 求 。 c a arccos r R 當(dāng)時，(前滾) 0 arccos r R 當(dāng)時，(后滾)0 arccos r R 當(dāng)時，(平移) 0 C r F R 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動

36、量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 如圖所示，長為l的均質(zhì)桿AB，重量為G， 從靜止于直角墻角且傾角為 的初始位置開始運動。 若不計摩擦，求任意 角位置時桿的角速度與角加 速度。 2. 0 0 G B A C 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 l cos 2 (1) v C JG 3 cos(2) 2 g l 2 2 1 124 v C GG l Jl gg 而 dddd ddddtt 又 故 當(dāng)桿端A沒離開墻角時，AB桿的速度瞬心在Cv 點， ，在任意 角位置時，有 l 2 v C C G B A C B F A F v C 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動

37、量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 0 0 3 dcosd 2 g l 0 3 (sin-sin) g l 故 舍去正值 代入式(2),并積分得 1) 如何求任意位置時FA,FB大??？ 2) A端在何位置離開墻面？ 3) 考慮摩擦?xí)r，如何求解？ G B A C A F B F v C 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 水平管繞軸z轉(zhuǎn)動，A，B兩球細(xì)繩相連， 圖示瞬時，測得 ,求 (不計摩擦 和繩重) 100cml, 60cm40cm/s0.5(rad/s) AAr r,v, 2 2kg0.5kg0.2kg m ABC m,m,J A r l z AB 5-3-

38、3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 0 zz M,L 常量 22 () zzCA ABA LJJm rml r d 0 d z z J J t d 22()()0.8 d z A AArBAAr J m r vmlrv t 2 0.4(rad/s ) d d z z J t J d 0 d z L t 則 而 代入上式，有 而 故 z L不變， 變化，變 z J A r l z AB 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 穩(wěn)定流體的動約束力。圖示變截面彎管中的穩(wěn)定 流體各處速度不變）。已知 重力G，入、出口相鄰 流體壓力 ，試求流體對管壁引起的附加動約束力。 21 FF , 21 vv , G 2 F 1 F 2 v 1 v 2 1 5-3-3 質(zhì)點系相對運功點的動量矩定理 5-3 質(zhì)點系動量矩定理 將流體段所受動約束力向某定點O簡化。先求其動 約束力主矢量?？疾煸撡|(zhì)點系動量的變化，在 t內(nèi): 121 2 iiii mm pppvv 122 21 112 ()() iiiiiiii mmmm vvv