第二章 系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2 2學時學時 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 2.3 2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理 2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡化 2.5 2.5 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.0 2.0 基本概念基本概念 1)1)數(shù)學模型定義（數(shù)學模型定義（P6P6） 系統(tǒng)的系統(tǒng)的數(shù)學模型數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量） 之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境

2、之間關系的數(shù)學表達式或圖形表之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境之間關系的數(shù)學表達式或圖形表 達式或數(shù)字表達式。達式或數(shù)字表達式。 2)2)建立數(shù)學模型的意義建立數(shù)學模型的意義 (1)可可定性定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性; (2)能能定量定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)性能地描述系統(tǒng)的動態(tài)性能; (3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結構、參數(shù)與動態(tài)性能之間的關系。揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結構、參數(shù)與動態(tài)性能之間的關系。 w系統(tǒng)的數(shù)學模型按系統(tǒng)運動特性分為：系統(tǒng)的數(shù)學模型按系統(tǒng)運動特性分為：靜態(tài)數(shù)學模型靜態(tài)數(shù)學模型和和動態(tài)動態(tài) 數(shù)學模型數(shù)學模型。（靜態(tài)模型是。（靜態(tài)模型是t t時系統(tǒng)的動態(tài)模型。）時系統(tǒng)的動態(tài)模型。

3、） （1）微分方程微分方程,它在它在時域時域中描述系統(tǒng)中描述系統(tǒng)(或元件或元件)動態(tài)特性；動態(tài)特性； （2）傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)，它極有利于對系統(tǒng)在，它極有利于對系統(tǒng)在復數(shù)域復數(shù)域及頻域進行及頻域進行 深入的研究、分析與綜合深入的研究、分析與綜合 。 （3）狀態(tài)空間狀態(tài)空間，有利于反應系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；，有利于反應系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系； （4）動態(tài)結構圖動態(tài)結構圖，有利于直觀的列寫和分析系統(tǒng)結構。，有利于直觀的列寫和分析系統(tǒng)結構。 3)3)基本數(shù)學模型基本數(shù)學模型 k m c y(t) f(t) ) t ( ky dt ) t ( dy c) t ( f dt )t (yd m- - -=

4、 = 2 2 11 22 1 010 ( ) /1/ xx f t xk mc mxm yx = - = 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 4) 4)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 線性及非線性這一特性并不隨系統(tǒng)的表示方法而改變，它是系統(tǒng)本 身的固有特性。 5) 5) 數(shù)學模型的建立方法數(shù)學模型的建立方法 建立系統(tǒng)數(shù)學模型有兩種方法：分析法和實驗法。 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 一分析法（解析法）一分析法（解析法） 11 110110 11 ()( )() ( ), nnmm nnommi nnmm dddddd aaaax tbbbb x t dtdtdtdtdtdt - - -

5、 = 112 1 1 1 ()Riii dtu C -= 2 2212 21 11 ()R ii dtii dt CC =- 2 2 2 1 i dtu C = 例例1 1 圖示為兩個形式相同的RC 電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡， 試寫出以輸出電壓和輸入 電壓為變量的濾波網(wǎng)絡的 微分方程。 解：列寫系統(tǒng)微分方程 (1) 輸入:電壓 輸出:電壓 中間變量 (2)簡化 (3) 根據(jù)克希荷夫定律，可寫 出下列原始方程式： 1, 2 i i 2 u 1 u (4) (4)消去中間變量消去中間變量 2 22 112211221221 2 () d udu R C R CR CR CR Cuu dtdt = l

6、雖然電路又兩個RC電路所組成，但不能把它看作兩個獨立的RC 電路的連接。因為第二級電路的i2 要影響第一級電路的u1，列寫 方程式應考慮這個影響。這種后一級對前一級的影響叫做負載效 應。存在負載效應時，必須把全部元件作為整體加以考慮。 l本例如果不考慮負載效應時，顯然與前面得到的結果本例如果不考慮負載效應時，顯然與前面得到的結果 不同。不同。 例例2 圖示為電樞控制式直流電機原理圖，設 為電樞兩 端的控制電壓， 為電機旋轉(zhuǎn)角速度， 為折合到電機軸 上的總的負載力矩。當激磁不變時，用電樞控制的情況 下， 為給定輸入， 為干擾輸入， 為輸出。系統(tǒng)中為 電動機旋轉(zhuǎn)時電樞兩端的反電勢； 為電動機的電樞

7、電 流； 為電動機的電磁力矩。 a u L M a u M a i M a u (1) 輸入變量為電壓 ；輸出變量為電機旋轉(zhuǎn)角速 度 ;中間變量 ; (2)列寫微分方程，電機電樞回路的方程為 當磁通固定不變時， 與轉(zhuǎn)速 成正比，即 故有 根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動定律，電動機轉(zhuǎn)子的運動方程為 a ada di Li Reu dt = dd ek= a ada di Li Rku dt = L d JMM dt =- d e aL uM、 ad ie、 d k （2.1.7） （2.1.6） 為反電勢常數(shù) 電動機的電磁力矩與電樞電流成正比。 （3）消除中間變量）消除中間變量 將（2.1.8）式代入（2.1.

8、7）式得 應用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得 令 ，則上式為 由式可見，轉(zhuǎn)速由式可見，轉(zhuǎn)速既由既由ua控制，又受控制，又受ML影響。影響。 m a Mk i= m aL d Jk iM dt =- 2 2 1L aL dmdmddmdm dMdd LJRJLR uM k kk kkk kk k dtdtdt =- ,(),1, admmddmm L RT RJk kTkC TJC= 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2.1.8） （2.1.9） 例3：如圖為一機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為J， 粘性阻尼系數(shù)為f

9、，輸出量為慣性負載的角速度 ，T （t）為作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩。 1、輸入T（t） 輸出 f T（t） J 2、應用牛頓第二定律 T(t) dt = f d J =T dt J d 例3：列寫如圖所示電路的動態(tài)方程列寫如圖所示電路的動態(tài)方程 R C i Ur Uc 3 消除變量i：UrUc Uc = dt d RC 令 RC=T 則： UrUc dt Uc = d T 1、輸入Ur，輸出 Uc，中間量i 2、基爾霍夫定律 Ur=? Uc?= 1 U r=R i+i C 1 U ci C dt dt= 二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 下面是考慮工程實際進一步討論模型。 (1)電動機處

10、于平衡狀態(tài)，變量各階導數(shù)為零，微分方程變?yōu)榇?數(shù)方程： 此時，對應輸入輸出量可表示為： 則有 這就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。 damL C uC M=- （2.1.122.1.12） 0aa uu= 0LL MM= 0 = 000damL C uC M=- （2.1.132.1.13） 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)并不能長期穩(wěn)定，閉環(huán)控制系統(tǒng)的任務就 是要系統(tǒng)工作在穩(wěn)態(tài)。當輸入量發(fā)生變化時，輸出量相應變化， 輸入輸出量可以記為： 則式（2.1.11）可記為： 考慮到 ，上式可變?yōu)?000damL C uC M=- 2 2 L a

11、mmdamamL d Mdd T TTCuC TCM dtdtdt =- 2 000 000 2 ()()() ()()() LL a mmdaam amLL ddd MM TTTC uuC TCMM dtdtdt =- 0aaa uuu= 0LLL MMM= 0 = 三、非線性方程的線性化三、非線性方程的線性化 線性化線性化：為了分析研究非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)將一些非線性因 素忽略，近似地用線性數(shù)學模型來代替。 泰勒資料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House

12、, London, England Brook Taylor 泰勒級數(shù)展開 (1)輸入變量為閥心位移x； 輸出變量為活塞位移y; 中間變量 p q, (2)按照液壓原理建立動力學方程 液壓伺服系統(tǒng) 負載動力學方程為mycyAp= 流量連續(xù)性方程為 qAy= q與p一般為非線性關系 ( , )qq x p= 例例 液壓伺服系統(tǒng)液壓伺服系統(tǒng) 00 00 ( ,)(,)()() oo xxxx pppp qq qq x pq xpxp xp = = =- （3 3）線性化處理）線性化處理 0 ppp=- 0 xxx =- 式中 在工作點領域做泰勒展開，當偏差很小時，可略去展開式的高 階項，保留一次項

13、，并取增量關系，有： qc qKxKp= -（4 4）表示成增量方程）表示成增量方程 當系統(tǒng)在預定工作條件 ， ， 下工作，即可寫為 00 (,)0q xp= 0 0 x =0 0p = qc qK xK p=- （5 5）消除中間變量）消除中間變量 1 () q c pK xq K =- 2 () q cc AK A mycyx KK = 圖圖2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者線性關系三者線性關系 小偏差線性化時要注意以下幾點：小偏差線性化時要注意以下幾點： （1 1）必須明確系統(tǒng)工作點必須明確系統(tǒng)工作點，因為不同的工作點，因為不同的工作點 所得線性化方程的系數(shù)不同。所得線性化

14、方程的系數(shù)不同。 （2 2）非線性模型線性化的條件：）非線性模型線性化的條件：變量偏離預定變量偏離預定 工作點很小。工作點很小。如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則 在除工作點外的其它工況勢必有較大的誤差。在除工作點外的其它工況勢必有較大的誤差。 （3 3）如果非線性函數(shù)是不連續(xù)如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的（即非線性的（即非線性 特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點附近不能特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點附近不能 得到收斂的泰勒級數(shù)，這時就不能線性化。得到收斂的泰勒級數(shù)，這時就不能線性化。 （4 4）線性化后的微分方程是以）線性化后的微分方程是以增量為基礎的增量為基礎的 增量方程。增量

15、方程。 l要求：要求： 會按照標準格式列寫常用電路、電機、機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動力學會按照標準格式列寫常用電路、電機、機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動力學 微分方程！微分方程！ l作業(yè)作業(yè) 2.2（b）、）、2.3（c）、）、2.4 (a)、2.5 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 4 4學時學時1 1 2.3 2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理 2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡化 2.5 2.5 反饋控制系

16、統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及及Matlab 古今之成大事業(yè)、大學問者，必經(jīng)過三種之境界：古今之成大事業(yè)、大學問者，必經(jīng)過三種之境界： 王國維治學三境界王國維治學三境界 王國維在人間詞話 眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。 衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴 。 昨夜西風凋碧樹。獨上高樓，望盡天涯路。 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 控制系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，解出這個微分方程， 就得到表示系統(tǒng)動態(tài)特性的過渡過程，因此，方便地求解微分方程 是至關重要的。 00 0 -( - ) 0 ( ),/,1 / ( ) ( )

17、 ( )(0)( ) ( )(0)( ) at at as tt as t atas t ata t s d abT tafJ bJ dt de be T t dt de dsbeT s ds dt t ebeT s ds tebeT s ds = -= = = = = 微分方程求解微分方程求解 f T（t） J T(t) dt = f d J l一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) l二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)： 2 () q cc AK A mycyx KK = 其次方程通解其次方程通解+非其次非其次 特解特解 l高階系統(tǒng)？高階系統(tǒng)？ m ya yb xx= 時間域時間域復數(shù)域復數(shù)域 Laplace 一、拉氏（一、拉

18、氏（Laplace）變換的定義）變換的定義 設f(t)是定義在（0，）區(qū)間上的時間函數(shù)，又s為復數(shù) （s=+jw），用e-st乘以f(t)后，再將它對t從0-進行積分，如 果這個積分收斂，則確定了一個以s為參量的復變函數(shù)F(s) 0 ( ) ( )( ) st F sL f tf t edt - = 1 1 ( ) ( )( ) 2 j j s t j f tLF sF s e ds - - = 拉普拉斯反變換 拉普拉斯變換 二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 1 單位階躍函數(shù) 0,0 1( ) 1,0 t t t = 根據(jù)定義有 0 0 11 ( )1( )1( ) sts

19、t F sLtt edte ss - =-= 2 單位沖激函數(shù) (t) 0 0 ( )( )1 stst t Ltt edte - = - = 根據(jù)定義有 00 ( ) 10 t t t = = ( )1t dt - = 3 單位斜坡信號 = 0, 0, 0 )( tt t tr 0 2200 0 ( ) 111 st ststst F sL ttedt t eedte ssss - - = = -= 根據(jù)定義有 分步積分法 4 指數(shù)函數(shù) ( ) at f te - = () 00 ( ) atatsts a t F sL eeedtedt - = 根據(jù)定義有 11 0 1 11 ( ) s

20、ts t F sL ee ssa - = 1 ssa=令 則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得 5 正弦函數(shù) ( )sinf twt= cos()sin() 1 sin() 2 jw t jw tjw t ew tjw t w tee j - = =- 歐拉公式歐拉公式 0 22 1 ( )sin() 2 111 () 2 jwtjwtst F sLwteeedt j w j sjwsjwsw - =- =-= - 根據(jù)定義有 22 1 cosLwt sw = 實際應用中，拉普拉斯變換不是推算，而是查表！ Laplace,Pierre-Simon,marquisde 拉普拉斯,法國數(shù)學家、天文學家

21、，法國科學院院士。 是天體力學的主要奠基人、天體演化學的創(chuàng)立者之一， 他還是分析概率論的創(chuàng)始人，因此可以說他是應用數(shù) 學的先軀。 天文學、數(shù)學和物理學的論文有270多篇， 專著合計有4006多頁 三、拉氏變換性質(zhì)三、拉氏變換性質(zhì) 1、疊加定理、疊加定理 1212 ( )( )( )( )L f tf tL f tL f t= 2、比例定理、比例定理 ( )( )L K ftK Lft= 3、微分定理、微分定理 2 2 2 12(1) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0) n nnnn n df t LsF sf dt d f t Ls F ssff

22、 dt d f t Ls F ssfsff dt - =- =- =- d s dt = 4、積分定理、積分定理 ( 1) 2( 1)( 2) 22 ( 1)() 11 ( )( )(0) 111 ( )( )(0)(0) 111 ( )( )(0)(0) nn nn Lf t dtF sf ss Lf t dtF sff sss Lf t dtF sff sss - - - = = = ( 1)( 2)() (0),(0),(0) n fff - 式中，為原函數(shù)的各重積分 5、終值定理、終值定理 0 lim( )lim( ) ts f tsF s = 6、初值定理、初值定理 0 lim( )

23、lim( ) ts f tsF s = 7、位移定理、位移定理 ()( )( )() stat L f teF sL ef tF sa - -= 1 dt s = 例例 求函數(shù)的Laplace變化 ( )f tKt= 2 ( ) K F sL KtKL t s = ( )1( ) at f tte-= 11(2) ( )1( ) () at sa F sLtL e ssas sa - = ( ) at f ttte-= 2 11 ( ) () at F sL tL te ssa - = 位移定理位移定理 比例定理比例定理 2 ( )32f ttt= 2 ( )32 1( )f tttt= 32

24、 211 ( )32F s sss = ( )sin() at f tewt - = 22 ( ) ( ) () w F sL f t saw = 位移定理位移定理 已知 1 1( )Lt s = 求 ( ), ( )LtLt 1( ) ( ) d t t dt = 0 1( )1 ( )1( ) 1( )1 t d t LtLsLtts dts - = =-= = 0 ( )1( ) t Ltsts - = = -= 微分定理微分定理 已知 ( )1Lt= 求 1( )Lt 1( )( )tt dt= 積分定理積分定理 11 1( )( ) ( )LtLt dtLt ss = 要求要求： l 記住記住常用信號的常用信號的Laplace正、反變化正、反變化公式公式 l 掌握掌握Laplace變化常用變化常用定理定理 作業(yè)作業(yè)： ( )1( ) at f tet - = 2 ( ) at f tt e-=( )cos() at f tewt= 1。求函數(shù)拉氏變化。求函數(shù)拉氏變化 2。課本。課本 2.6 3。推導求。推導求cos（wt）函數(shù)拉氏變化）函數(shù)拉氏變化 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變