五、 材料力學(xué)切應(yīng)力分析

1、 1 1、切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律 2 2、圓軸、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 4 4、基于最大、基于最大切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算 5 5、結(jié)、結(jié)論與討論論與討論 第五章第五章 彈彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析 3 3、薄、薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力流與彎曲中心壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力流與彎曲中心 傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸 請(qǐng)判斷哪些零件請(qǐng)判斷哪些零件 將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形 切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律 切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律 請(qǐng)判斷

2、哪些截面請(qǐng)判斷哪些截面 將發(fā)生剪切變形將發(fā)生剪切變形 兩類(lèi)切應(yīng)力：兩類(lèi)切應(yīng)力：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力、彎曲切應(yīng)力；扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力、彎曲切應(yīng)力； 請(qǐng)判斷軸受哪些力請(qǐng)判斷軸受哪些力 將發(fā)生什么變形將發(fā)生什么變形 Mn x z 切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律 考察承受切應(yīng)力作用的微元體考察承受切應(yīng)力作用的微元體 A D C B x y z dx dydz ; 0)(ddd 0 dydxdzxzy M； 切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：在兩個(gè)相互垂直的平在兩個(gè)相互垂直的平 面上，切應(yīng)力成對(duì)存在，兩應(yīng)力垂直于面上，切應(yīng)力成對(duì)存在，兩應(yīng)力垂直于 兩個(gè)平面的交線，共同指向或者背離該兩個(gè)平面的交線，

3、共同指向或者背離該 交交線線： = 切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律切應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律 A B C D 剪切胡克定律剪切胡克定律： 彈彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比比 G )1(2 E G 式式中中 G 為材料的剪切彈性材為材料的剪切彈性材料料的的模模量，量， 為剪切應(yīng)變。為剪切應(yīng)變。 彈彈性模量、泊松比、剪切彈性模性模量、泊松比、剪切彈性模量三個(gè)量三個(gè) 常數(shù)存常數(shù)存在如下關(guān)系，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。在如下關(guān)系，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。 圓軸圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 請(qǐng)注意圓軸受扭轉(zhuǎn)后表面請(qǐng)注意圓軸受扭轉(zhuǎn)后表面 的矩形將發(fā)生什么變形？的

4、矩形將發(fā)生什么變形？ Mx 平面假設(shè)：平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面 保保 持平面，并且只能發(fā)生剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。持平面，并且只能發(fā)生剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。 Mx 橫截面是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，直橫截面是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，直 徑始終是直線。徑始終是直線。 觀察圓軸表面平行軸線的直線和垂直這觀察圓軸表面平行軸線的直線和垂直這 些直線的環(huán)線在扭矩作用下的變化。些直線的環(huán)線在扭矩作用下的變化。 圓軸變形后表面的直線變成螺旋線；環(huán)圓軸變形后表面的直線變成螺旋線；環(huán) 線沒(méi)有變化，小矩形線沒(méi)有變化，小矩形ABCD變形為平行變形為平行 四邊形四邊形ABCD。 A B C D A B C D 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫

5、截面上的切應(yīng)力分 1 1、應(yīng)變特征、應(yīng)變特征 兩軸向間距為兩軸向間距為dxdx的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為 d , ,考察考察 微元微元 ABCD 的變形得：的變形得： 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，切應(yīng)變沿半徑方向線性分布。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，切應(yīng)變沿半徑方向線性分布。 r xd d 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分 r 2 2、切應(yīng)力分布特征、切應(yīng)力分布特征 由剪切虎克定律得：由剪切虎克定律得： 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，切應(yīng)力沿半徑方向線性分布。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，切應(yīng)力沿半徑方向線性分布。 由切應(yīng)力互等定理，與橫截面相垂直的平面上由切應(yīng)力互等定理，與橫截面相垂直的平面上 也存在著切應(yīng)力。也存在著切應(yīng)力。

6、x GG d d 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 3 3、切應(yīng)力公式、切應(yīng)力公式 切應(yīng)力在圓軸橫截面上的和就是該橫截面上的扭矩。切應(yīng)力在圓軸橫截面上的和就是該橫截面上的扭矩。 得：得： 4 4、最大切應(yīng)力、最大切應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力在橫截面的邊緣上。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力在橫截面的邊緣上。 P I M x x AA MdA dx d GdA ）（ PP max max W M I M xx max P P I W Wp 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 32 4 d IP 圓形截面： max max P x GI M dx d 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)

7、力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 例題例題5-15-1、圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，由圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，由B輪輸入功率，通過(guò)錐型齒輪將輪輸入功率，通過(guò)錐型齒輪將 其一半功率傳遞給其一半功率傳遞給C軸，另一半傳遞給軸，另一半傳遞給H軸。已知：軸。已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力橫截面上的最大切應(yīng)力。 3 3 ；360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1、計(jì)算扭矩、計(jì)算扭矩 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 k

8、W n1=n2= 120r/min Mx1=954914/120=1114 N.m Mx2=95497/120=557 N.m Mx3=95497/360=185.7 N.m 2、計(jì)算各軸的最大切應(yīng)力、計(jì)算各軸的最大切應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W M x .69MPa22Pa 1050 55716 H 9-3 2P 2 max W M x .98MPa12Pa 1053 718516 C 9-3 3P 3 max . W M x 1 1、切應(yīng)力流、切應(yīng)力流 承受彎曲的薄壁截面桿

9、件，與剪承受彎曲的薄壁截面桿件，與剪 力相對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力有下列顯著特征：力相對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力有下列顯著特征： 桿件表面無(wú)切應(yīng)力作用，由切應(yīng)桿件表面無(wú)切應(yīng)力作用，由切應(yīng) 力互等定理，薄壁截面上的切應(yīng)力必力互等定理，薄壁截面上的切應(yīng)力必 定平行于截面周邊的切線方向，并且定平行于截面周邊的切線方向，并且 形成切應(yīng)力流。形成切應(yīng)力流。 切應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布。切應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布。 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力 以如圖壁厚為以如圖壁厚為 的懸臂梁槽鋼為例，的懸臂梁槽鋼為例， 考察考察x x方向平衡方向平衡 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切

10、應(yīng)力 ）式得：帶入（ 帶入上式得：（注意到將 其中： a I SdMM dFF I SM F dAySIyM dAddFF dAF adxdFFFF z zzz NN z zz N A zzz A xxNN A xN NNNx ; )( ; ) ;/ ;)( ; )(; 0)()(; 0 * * * * * x * * * * * z z I SF * Q 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力 z z I SF * Q 軸的靜矩；分，其中一部分對(duì)中性 面分為兩部橫截面厚度方向?qū)M截 薄壁過(guò)所要求切應(yīng)力點(diǎn)，沿 薄壁截面的壁厚； 矩；橫截面對(duì)中性軸的慣性 橫截面上的剪力

11、； * z z Q S I F 2 2、彎曲中心、彎曲中心 對(duì)于薄壁截面，由于切應(yīng)力方向必須對(duì)于薄壁截面，由于切應(yīng)力方向必須 平行于截面周邊的切線方向，故切應(yīng)力相平行于截面周邊的切線方向，故切應(yīng)力相 對(duì)應(yīng)的分布力系向橫截面所在平面內(nèi)不同對(duì)應(yīng)的分布力系向橫截面所在平面內(nèi)不同 點(diǎn)簡(jiǎn)化，將得到不同的結(jié)果。如果向某一點(diǎn)簡(jiǎn)化，將得到不同的結(jié)果。如果向某一 點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果所得的主矢不為零而主矩為零，點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果所得的主矢不為零而主矩為零， 則這一點(diǎn)稱(chēng)為彎曲中心。圖示薄壁截面梁則這一點(diǎn)稱(chēng)為彎曲中心。圖示薄壁截面梁 的彎曲中心并不在形心上，因此外力作用的彎曲中心并不在形心上，因此外力作用 在形心上時(shí)主矢不為零而主矩

12、也不為零，在形心上時(shí)主矢不為零而主矩也不為零， 梁就會(huì)發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。梁就會(huì)發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力與彎曲中心 彎曲中心：彎曲中心： 以圖示薄壁槽鋼為例，以圖示薄壁槽鋼為例， 先分別確定腹板和翼緣上的切應(yīng)力：先分別確定腹板和翼緣上的切應(yīng)力： 由積分求作用在翼緣上的合力由積分求作用在翼緣上的合力FT ： 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力與彎曲中心 y s yy z z c c z c ; )6( 6 )6( 4/6 2 2 2 22 Q 1 bhh sF bhh yhbhF Q

13、翼緣： ； ）（ 腹板： b T dsF 0 2 ; M 1 2 作用在腹板上的剪力為作用在腹板上的剪力為FQ ; ;將將FT 和和 FQ 向截面形心向截面形心 C 簡(jiǎn)化，可以得到主簡(jiǎn)化，可以得到主 矢矢FQ 和主矩和主矩M ； 其中其中M=FT h+FQe； 將將FT 、FQ 向向O點(diǎn)簡(jiǎn)化使點(diǎn)簡(jiǎn)化使M=0；點(diǎn)點(diǎn)O即即 為彎曲中心。為彎曲中心。 常見(jiàn)薄壁截面彎曲中心位置可以查表常見(jiàn)薄壁截面彎曲中心位置可以查表 5-15-1。 為了避免型鋼的這類(lèi)問(wèn)題發(fā)生，工程為了避免型鋼的這類(lèi)問(wèn)題發(fā)生，工程 中薄壁截面梁一般采取復(fù)合梁，如圖中薄壁截面梁一般采取復(fù)合梁，如圖 示。示。 薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切

14、應(yīng)力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力與彎曲中心 y s yy z z c c z c M 1 2 ; Q T F hF ee 薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式可以推廣應(yīng)薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式可以推廣應(yīng) 用到實(shí)心截面梁。用到實(shí)心截面梁。 1 1、寬度和高度分別為、寬度和高度分別為b b和和h h的矩形截面的矩形截面 （如圖）（如圖） 實(shí)心截面梁的彎曲切應(yīng)力誤差分析實(shí)心截面梁的彎曲切應(yīng)力誤差分析: 在常用尺寸范圍有較好精度。在常用尺寸范圍有較好精度。 薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁 A A FQ max 2 3 b h h/b 1.0

15、2/1 1.04 1/1 1.12 1/2 1.57 1/4 2.30 2 2、直徑為、直徑為 d 的圓截面的圓截面( (如圖如圖) ) 注意切應(yīng)力方向，在橫截面邊界上各點(diǎn)的注意切應(yīng)力方向，在橫截面邊界上各點(diǎn)的 切應(yīng)力沿著邊界切線方向。（如圖所示）切應(yīng)力沿著邊界切線方向。（如圖所示） 3 3、外徑為、外徑為D D、內(nèi)徑為、內(nèi)徑為d d的空心圓截面的空心圓截面( (如圖如圖) ) 薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁 A A FQ max 3 4 ; 4 )(2 22 Q max dD A A F ；其中 ;4 max max ）（的矩形截面：

16、、高為對(duì)于寬為 h l hb 4 4、工字形截面、工字形截面 工字形截面由上下翼緣和之間的腹板組工字形截面由上下翼緣和之間的腹板組 成，豎直方向的切應(yīng)力主要分布在腹板上。成，豎直方向的切應(yīng)力主要分布在腹板上。 5 5、彎曲實(shí)心截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的量級(jí)比、彎曲實(shí)心截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的量級(jí)比 較，如圖較，如圖 梁是細(xì)長(zhǎng)桿（如梁是細(xì)長(zhǎng)桿（如L=10dL=10d），則彎曲正應(yīng)力），則彎曲正應(yīng)力 為為6060倍切應(yīng)力值，切應(yīng)力是次要因素。倍切應(yīng)力值，切應(yīng)力是次要因素。 薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力公式推廣應(yīng)用到實(shí)心截面梁 ; * maxQ max z z I SF W

17、 lFQ max I SF maxQ max ;6 max max ）（的圓截面：對(duì)應(yīng)直徑為 d l d 基于最大切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算基于最大切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算 彎曲構(gòu)件橫截面上最大切應(yīng)力作用點(diǎn)一般沒(méi)有正應(yīng)力作彎曲構(gòu)件橫截面上最大切應(yīng)力作用點(diǎn)一般沒(méi)有正應(yīng)力作 用。為了保證構(gòu)件安全可靠，必須將最大切應(yīng)力限制在一定用。為了保證構(gòu)件安全可靠，必須將最大切應(yīng)力限制在一定 數(shù)值以?xún)?nèi)，即數(shù)值以?xún)?nèi)，即 對(duì)于靜載荷作用，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力與拉伸許用正應(yīng)力存在如對(duì)于靜載荷作用，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力與拉伸許用正應(yīng)力存在如 下關(guān)系：下關(guān)系： max ）（鑄鐵： ）（低碳鋼： 10.8 0.60.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析圓

18、軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 如圖聯(lián)軸器已知：最大功率如圖聯(lián)軸器已知：最大功率 P7.5kW, 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=100r/min, 軸的最大切應(yīng)力軸的最大切應(yīng)力不得超不得超 過(guò)過(guò) 40MPa ,空心圓軸的內(nèi)外直徑空心圓軸的內(nèi)外直徑 之比之比 = 0.5。 求求: 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑 d1 和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑 D2 。 例例5-25-2、 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分析 解：解：1 1、計(jì)算軸的扭矩、計(jì)算軸的扭矩 2 2、計(jì)算軸的直徑、計(jì)算軸的直徑 3 3、二軸的橫截面面積之比：二軸的橫截面面積之比： ;235 . 0 ;46046. 0 1040)

19、4 . 01 ( 2 .71616 ;40 1 16 ;45045. 0 1040 2 .71616 ;40 16 22 3 64 2 43 2 x P x max 3 6 1 2 1 max mmDd mmmD MPa D M W M mmmd MPa d M W M x P x 空心軸： 實(shí)心軸： );(2 .716 100 5 . 7 9549NmM x 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 討論：彈性桿件橫截面上的各種內(nèi)力與應(yīng)力討論：彈性桿件橫截面上的各種內(nèi)力與應(yīng)力 x x x x x x Fn Mn Fqy Mz Fqz My z z z z y y 軸的內(nèi)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：軸的內(nèi)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力： 軸力軸力F FN N引起的正應(yīng)力：引起的正應(yīng)力： 扭矩扭矩MnMn引起的切應(yīng)力：引起的切應(yīng)力： 剪力剪力FqyFqy引起的切應(yīng)力：引起的切應(yīng)力： 彎矩彎矩Mz引起的正應(yīng)力引起的正應(yīng)力: : 剪力剪力FqzFqz引起的切應(yīng)