信號與系統(tǒng)教案,第三章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示

1、東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時72課次12第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示3.0 引言3.1 歷史回顧3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示教學(xué)目的及要求了解傅里葉分析方法的歷史，掌握LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)以及連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示。教學(xué)重點、難點及處理安排1. LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)； 2. 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時間分配3.0 引言 5min3.1 歷史回顧 10min3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng) 30min3.

2、3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 45min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注3.0 引言在這一章及其后的兩章，將討論信號與LTI系統(tǒng)的另一種表示。和第2章一樣，討論的出發(fā)點仍是將信號表示成一組基本信號的線性組合，不過這時所用的基本信號是復(fù)指數(shù)，所得到的表示就是連續(xù)時間和離散時間傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。這一章集中討論連續(xù)時間和離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示，到第4章和第5章再把這種分析推廣到非周期的有限能量信號的傅里葉變換表示中去。這兩者合在一起就為分析、設(shè)計和理解信號與LTI系統(tǒng)提供了一種最有力和最重要的方法。3.1 歷史回顧（略）3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)在

3、研究LTI系統(tǒng)時，將信號表示成基本信號的線性組合是很有利的，但這些基本信號應(yīng)該具有以下兩個性質(zhì):1. 由這些基本信號能夠構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類有用信號；2. LTI系統(tǒng)對每一個基本信號的響應(yīng)應(yīng)該十分簡單，以使得系統(tǒng)對任意輸人信號的響應(yīng)有一個很方便的表示式。在研究LTT系統(tǒng)時，復(fù)指數(shù)信號的重要性在于這樣一個事實，即：一個LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)也是同樣一個復(fù)指數(shù)信號，不同的只是在幅度上的變化；也就是說：連續(xù)時間： (3.1)離散時間： (3.2)這里或是一個復(fù)振幅因子，一般來說是復(fù)變量或的函數(shù)。一個信號，若系統(tǒng)對該信號的輸出響應(yīng)僅是一個常數(shù)(可能是復(fù)數(shù))乘以輸人，則稱該信號為系統(tǒng)的特征函數(shù)，而幅

4、度因子稱為系統(tǒng)的特征值。證明復(fù)指數(shù)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)：詳見教材128頁證明復(fù)指數(shù)序列也是離散時間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)：詳見教材128頁一般地說，在連續(xù)時間情況下，(3.1)式與疊加性質(zhì)結(jié)合在一起就意味著：將信號表示成復(fù)指數(shù)的線性組合就會導(dǎo)致一個LTI系統(tǒng)響應(yīng)的方便表達式。(證明略)換句話說，對于連續(xù)時間和離散時間來說，如果一個LTI系統(tǒng)的輸入能夠表示成復(fù)指數(shù)的線性組合，那么系統(tǒng)的輸出也能夠表示成相同復(fù)指數(shù)信號的線性組合；并且在輸出表示式中的每一個系數(shù)可以用輸人中相應(yīng)的系數(shù)分別與特征函數(shù)有關(guān)的系統(tǒng)特征值相乘來求得。3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示3 .3.1 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的

5、線性組合周期復(fù)指數(shù)信號：與之有關(guān)的成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集就是：， 于是，一個由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)線性組合形成的信號 (3.25)這一項就是一個常數(shù)，和這兩項都有基波頻率等于，兩者合在一起稱之為基波分量或稱一次諧波分量。和這兩項也是周期的，其周期是基波分量周期 (或者說頻率是基波頻率的兩倍)，稱為二次諧波分量。一般來說，和的分量稱為第次諧波分量。一個周期信號表示成(3.25)式的形式，就稱為傅里葉級數(shù)表示。例3.2 詳見教材131頁。 若是一個實信號，而且能表示成(3.25)式的形式，那么就有繼續(xù)可以推導(dǎo)一個信號為實信號時的另一種表示方式：(具體見教材)極坐標(biāo)形式， (3.31)直角坐標(biāo)形式，

6、 (3.32)由此可見，對實周期函數(shù)來說，按(3.25)式所給出的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，數(shù)學(xué)上就等效為(3.31式和(3.32)式這兩種形式之一，即都是三角函數(shù)的表示式。3.3.2連續(xù)時間周期信號傅里葉級數(shù)表示的確定 (3.38) (3.39)式中分別給出了用基波頻率和基波周期所表示的傅里葉級數(shù)的等效表示式。(3.38)式稱為綜合公式，而(3.39)式則稱為分析公式。系數(shù)往往稱為的傅里葉數(shù)級系數(shù)或稱為的頻譜系數(shù)。先舉幾個例子來說明傅里葉級數(shù)的展開：例3.3例3.4例3.5 詳見教材東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時72課次13

7、第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示3.4 傅里葉級數(shù)的收斂3.5 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)教學(xué)目的及要求了解狄里赫利條件、吉伯斯現(xiàn)象，掌握連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)，能夠利用傅里葉級數(shù)分析式和性質(zhì)計算信號的傅里葉級數(shù)表達式。教學(xué)重點、難點及處理安排連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時間分配3.4傅里葉級數(shù)的收斂 35min3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì) 55min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注3.4 傅里葉級數(shù)的收斂由于要研究的大多數(shù)周期信號在一個周期內(nèi)的能量都是有限的，因此它們都有傅里葉級數(shù)的表示。然后，狄里赫利得到了另一組條件，這組條件對于我們所關(guān)注的信號也

8、基本上都能滿足。這組條件除了在某些對不連續(xù)的孤立的值外，保證等于它的傅里葉級數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點上，(3.55)式的無窮級數(shù)收斂于不連續(xù)點兩邊值的平均值。狄里赫利條件是：條件1 任何周期內(nèi)，必須絕對可積，即條件2 在任意有限區(qū)間內(nèi)，具有有限個起伏變化；也就是說，在任何單個周期內(nèi)的最大值和最小值的數(shù)目有限。條件3 在的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個不連續(xù)點，而且在這些不連續(xù)點上，函數(shù)是有限值。吉伯斯現(xiàn)象：一個不連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)的截斷近似，一般說來，在接近不連續(xù)點處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應(yīng)該選擇足夠大的，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。3.5

9、 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)假設(shè)是一周期信號，周期為，基波頻率，那么，若的傅里葉級數(shù)系數(shù)記作，則用 來表示一個周期信號及其傅里葉級數(shù)系數(shù)的一對關(guān)系。3.5.1 線性則3.5.2 時移性質(zhì)若則3.5.3 時間反轉(zhuǎn)若則3.5.4時域尺度變換時域尺度變換是一種運算。一般來說，這種運算是會改變受到變換的信號周期的。如果是周期的，周期為，基波頻率，那么，為一正實數(shù)，就是一個周期為和基波頻率為的周期信號。因為時間尺度運算是直接加在的每一次諧波分量上的，所以能很容易得出，對于這些諧波分量中每一個的傅里葉系數(shù)仍然是相同的。要強調(diào)的是，雖然傅里葉系數(shù)沒有改變，但由于基波頻率變化了，傅里葉級數(shù)表示卻改變了。3.5.5

10、 相乘3.5.6 共軛及共軛對稱性若，則。3.5.7 連續(xù)時間周期信號的帕斯瓦爾定理3.5.8 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)列表3.5.9 舉例例3.6-例3.9東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時72課次14第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示3.6 離散時間周期信號的表示3.7 離散時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)教學(xué)目的及要求掌握離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示方法，能夠計算離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)；掌握離散時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點、難點及處理安排教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時間分配3.6 離散時間周期信號的表示3.7 離散時間傅里葉級

11、數(shù)性質(zhì)例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題3.93.11教 案內(nèi) 容備 注3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示3.6.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合一個離散時間信號，若有就是一個周期為N的周期信號。基波周期就是使之成立的最小正整數(shù)，而就是基波頻率。中的全部信號，其基波頻率都是的整數(shù)倍，因此他們是成諧波關(guān)系的。由上式給出的信號集中只有N個信號是不相同的，這是由于離散時間復(fù)指數(shù)信號在頻率上相差的整倍數(shù)都是一樣的緣故?，F(xiàn)在我們希望利用序列的線性組合來表示更為一般的周期序列，這樣一個線性組合就有如下形式： (3.87)因為序列人只在的個相繼值的區(qū)間上是不同的。因此，(3.87)的求和僅僅需要包

12、括項。于是，(3.87)式的求和是當(dāng)在個相繼整數(shù)的區(qū)間上變化時，從任意值開始對進行的。為了指出這一點，特將求和限表示成，即 (3.88)(3.88)式稱為離散時間傅里葉級數(shù)，而系數(shù)則稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。3.6.2 周期信號傅里葉級數(shù)表示的確定求的一種方法可以聯(lián)立解線性方程組，即然而，以下所用的是采用與連續(xù)時間情況下同樣的方法，有可能利用來求得的一個閉式表示式。導(dǎo)出這一結(jié)果的基礎(chǔ)是在習(xí)題3.54中所證明的如下事實: (3.90)(3.90)式所說明的是：一個周期復(fù)指數(shù)序列的值在整個一個周期內(nèi)求和，除非該復(fù)指數(shù)是某一常數(shù)，否則，其和為零。根據(jù)(3.90)式的恒等關(guān)系，(3.92)式右邊內(nèi)層對求和是

13、零，除非為零或的整倍數(shù)。因此，如果把值的變化范圍選成與外層求和值的變化范圍一樣，而在該范圍內(nèi)選擇值的話，那么(3.92)式右邊最內(nèi)層的求和，在時，就等于；在時，就等于；因此，(3.92)式右邊就演變?yōu)椋谑怯须x散時間傅里葉級數(shù)對就為：(3.94)(3.95)這兩個公式對離散時間周期信號所起的作用，如同(3.38)式和(3.39式對連續(xù)時間周期信號所起的作用是完全一樣的，其中(3.94)式就是綜合公式，而(3.95)式則是分析公式。和連續(xù)時間情況一樣，離散時間傅里葉級數(shù)系數(shù)往往也稱為的頻譜系數(shù)。倘若我們考慮的值多于個的話，那么的值必定以為周期，周期性重復(fù)。特別是，因為只有個不同的復(fù)指數(shù)(周期均為

14、)，所以離散時間傅里葉級數(shù)表示式就是一個項的有限級數(shù)。因此，如果我們在定義傅里葉級數(shù)(3.94)式的個連續(xù)值上，固定這個連續(xù)值的話，就一定能由(3.95)式求得個傅里葉系數(shù)。另一方面，常常為了方便而要利用不同的一組個值，這樣把(3.94)式看作是在任意個順序值上求和是很有用的。由于這個緣故，有時把也看作是定義在全部值上的一個序列，而在傅里葉級數(shù)表示式中僅僅利用其中某個連續(xù)序列值。例3.10，3.11詳見教材；一般來講離散時間傅里葉級數(shù)不存在任何收斂問題。究其原因全依賴于這樣一個事實：任何離散時間周期序列完全是由有限個參數(shù)(即個)來表征的，這就是在一個周期內(nèi)的個序列值。3.7 離散時間傅里葉級數(shù)

15、性質(zhì)3.7.1 相乘在離散時間情況下，假設(shè)3.7.2 一次差分3.7.3 離散時間周期信號的帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理再一次表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的平均功率之和。當(dāng)然，在離散時間中只有個不同的諧波分量。3.7.4 舉例例3.13-3.15，詳見教材159-161。東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時72課次15第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示3.8 傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)3.9 濾波3.10 用微分方程描述連續(xù)濾波器3.11 用差分方程描述離散濾波器教學(xué)目的及要求掌握傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)的關(guān)系，了解濾波的

16、基本方法和常用，了解用微分和差分方程描述的濾波器。教學(xué)重點、難點及處理安排重點：傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時間分配3.8 傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)3.9 濾波3.10 用微分方程描述連續(xù)濾波器3.11 用差分方程描述離散濾波器例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題3.143.15教 案內(nèi) 容備 注3.8 傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)當(dāng)或是一般復(fù)數(shù)時，和就稱為該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。具有形式的系統(tǒng)函數(shù)(即看作的函數(shù))就稱為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它由下式給出：相類似地，對于離散時間信號與系統(tǒng)而言，本章以及第5章都將集中在的值上，這樣就具有的形式。對局限在形式的系統(tǒng)函數(shù)稱為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它

17、由下式給出：首先考慮連續(xù)時間情況。令為一周期信號，其傅里葉級數(shù)表示為例3.16例3.173.9 濾波在各種不同的應(yīng)用中，改變一個信號中各頻率分量的相對大小，或者全部消除某些頻率分量這樣一類要求常常是頗為關(guān)注的，這樣一種過程稱為濾波。用于改變頻譜形狀的線性時不變系統(tǒng)往往稱之為頻率成形濾波器。專門設(shè)計成基本上無失真地通過某些頻率，而顯著地衰減掉或消除掉另一些頻率的系統(tǒng)稱為頻率選擇性濾波器。一個LTI系統(tǒng)輸出的傅里葉級數(shù)系數(shù)就是輸人的這些系數(shù)乘以該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因此，濾波就能夠通過恰當(dāng)?shù)剡x取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，利用LTI系統(tǒng)很方便地予以實現(xiàn)；并且頻域的方法為檢驗這一重要的應(yīng)用領(lǐng)域提供了理想的工具。3.

18、9.1 頻率成形濾波器經(jīng)常遇到頻率成形濾波器的應(yīng)用場合是在音響系統(tǒng)中。例如，在這類系統(tǒng)中一般都包含有LTI濾波器，以讓聽眾可以改變聲音中高低頻分量的相對大小。這些濾波器就相應(yīng)于LTI系統(tǒng)，而它們的頻率響應(yīng)能夠通過操縱音調(diào)控制來改變。同時，在高保真度的音響系統(tǒng)中，為了補償揚聲器的頻率響應(yīng)特性，往往在前置放大器中還包括一個所謂均衡濾波器。這些級聯(lián)的濾波器合在一起稱為音響系統(tǒng)的均衡或均衡器電路。一個微分濾波器的頻率響應(yīng)如圖3.23所示。對復(fù)指數(shù)輸入來說，較大的。值將有較大的放大；其結(jié)果就是微分濾波器在增強信號中的快速變化部分或快速轉(zhuǎn)變中是有用的。微分濾波器經(jīng)常應(yīng)用的一種目的是在圖像處理中用于邊緣的增

19、晰。離散時間濾波器舉例3.9.2 頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器是一類專門用于完全地或近似地選取某些頻帶范圍內(nèi)的信號和除掉其它頻帶范圍內(nèi)信號的濾波器。頻率選擇性濾波器的應(yīng)用極為廣泛。例如，如果在一個音頻錄制系統(tǒng)中的噪音比錄制的音樂或聲音的頻率要高的話，那么，就可以通過頻率選擇性濾波器將它濾除掉。頻率選擇性濾波器的另一類重要應(yīng)用是在通信系統(tǒng)中。正如在第8章要詳細討論的，幅度調(diào)制(AM)系統(tǒng)的基礎(chǔ)就是利用許多頻率選擇性濾波器把來自不同信源的各種待傳送的信號，安排在彼此分開的頻帶內(nèi)，然后組合起來一齊發(fā)送;而在收端，還是利用這類濾波器從這單一信道內(nèi)提取出各路信號。用于劃分信道的頻率選擇性濾波器和用于

20、調(diào)節(jié)音質(zhì)的頻率成形濾波器(如圖3.22的均衡器)是構(gòu)成了任何家庭無線電和電視接收機的一個主要部分。一個低通濾波器就是通過低頻而衰減或阻止較高頻率的濾波器；一個高通濾波器就是通過高頻而衰減或阻止低頻的濾波器；帶通濾波器就是通過某一頻帶范圍，而衰減掉既高于又低于所要通過的這段頻帶的濾波器。在每一種情況下，截止頻率都是用來定義那些邊界頻率的，以標(biāo)明要通過的頻率與要阻止的頻率之間的邊界，也就是在通帶和阻帶內(nèi)頻率的邊界。一個理想頻率選擇性濾波器是這樣一種濾波器，它無失真地通過一組頻率上的復(fù)指數(shù)信號，并全部阻止掉所有其它頻率的信號。例如，連續(xù)時間理想低通濾波器 完全以相似的方式，可以定義出相應(yīng)的一組理想離散時間頻率選擇性濾波器，其頻率響應(yīng)如圖3.28所示。連續(xù)時間和離散時間理想濾波器的特性其差異在于:對離散時間濾波器來說，頻率響應(yīng)一定是周期的，周期為,其低頻靠近的偶數(shù)倍附近，而高頻在的奇數(shù)倍左右。3.10 用微分方程描述連續(xù)濾波器3.10.1簡單RC低通濾波器東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時72課次16第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示實驗課：離散時間信號頻域分析實驗教學(xué)目的及要求教學(xué)重點、難點及處理安排教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時間分配例題、練習(xí)題作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注實驗三 傅里葉分析基礎(chǔ)