數(shù)學(xué)建模飛機(jī)運(yùn)輸問題講解

1、多變量有約束最優(yōu)化問題 摘要 本文以一家運(yùn)輸航空公司的一架飛機(jī)運(yùn)載能力100噸和運(yùn)載貨物的容量50000立方英尺有限的情況下，有三種貨物（即x1、x2、x3）需要運(yùn)輸，公司規(guī)定每噸貨物收取一定的費(fèi)用，而要運(yùn)輸?shù)拿糠N貨物的噸數(shù)都有規(guī)定的上限（最多不超過30噸、40噸、50噸），并且公 司規(guī)定由于飛機(jī)需要保養(yǎng)與維護(hù)，飛機(jī)須停飛115天，因此每年只有250天的工作時間。在此情況下每天怎樣安排運(yùn)輸三種貨物使公司每年獲得最大利潤w。對于此問題只用線性規(guī)劃的一般方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在用數(shù)學(xué)軟件求出在給定限行區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)解（w、x1、x2、x3），在對這些最優(yōu)解進(jìn)行分析與討論，確定其為有效最優(yōu)解。并以此

2、作為公司對三種貨物運(yùn)輸安排方式。 對于問題一，求使得運(yùn)輸航空公司獲得最大利潤w的x1、x2、x3三種貨物的噸數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。再根據(jù)運(yùn)輸能力最多100噸和運(yùn)載貨物容積的最大50000立方英尺，還有每天公司規(guī)定的每種貨物的運(yùn)輸上限即x1種貨物最多運(yùn)輸30噸，x2種貨物最多運(yùn)輸40噸，x3種貨物最多50噸，建立約束條件。并用數(shù)學(xué)軟件mathematica進(jìn)行求解，即為所求的最優(yōu)解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。 對于問題二中，要求計(jì)算每個約束的影子價(jià)格。我們將利用問題一中建立的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，將其編寫成源程序輸入到Lindo軟件中進(jìn)行求解。再將得到的界進(jìn)行

3、討論與和模型的穩(wěn)健性分析并且通過其在題意的理解，解釋其含義。問題三中，對于公司將耗資改裝飛機(jī)以擴(kuò)大運(yùn)貨區(qū)來增加運(yùn)輸能力，且舊飛機(jī)使用壽命為5年，每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。根據(jù)此問題我們將建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用Lindo軟件計(jì)算其影子價(jià)格和利潤并且與前面進(jìn)行比較，進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、mathematica軟件的應(yīng)用、Lindo的軟件應(yīng)用。 一、 提出問題一個運(yùn)輸公司每天有100噸的航空運(yùn)輸能力。公司每噸收空運(yùn)費(fèi)250美元。除了重量的限制外，由于飛機(jī)貨場容積有限，公司

4、每天只能運(yùn)50000立方英尺的貨物。每天要運(yùn)送的貨物數(shù)量如下：貨物重量（噸）體積（立方英尺/噸）130550240800350400（1） 求使得利潤最大的每天航空運(yùn)輸?shù)母鞣N貨物的噸數(shù)。（2） 計(jì)算每個約束的影子價(jià)格，解釋它們的含義。（3） 公司有能力對它的一些舊的飛機(jī)進(jìn)行改裝來增大貨運(yùn)區(qū)域的空間。每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。在這種情況下，是否值得改裝？有多少架飛機(jī)時才值得改裝？二、 提出假設(shè)假設(shè)1：飛機(jī)每天最多只能運(yùn)輸50000立方英尺的貨物。假設(shè)2：飛機(jī)每天最多只能運(yùn):

5、100噸貨物。假設(shè)3：貨物1每天都有30噸要運(yùn)。假設(shè)4：貨物2每天都有40噸要運(yùn)。假設(shè)5：貨物3每天都有50噸要運(yùn)。四、符號說明符號意義單位備注w利潤美元x1運(yùn)載貨物1的噸數(shù)噸x2運(yùn)載貨物2的噸數(shù)噸X3運(yùn)載貨物3的噸數(shù)噸v飛機(jī)貨艙容積立方英尺m飛機(jī)載重噸五、模型的建立與求解第一部分5.1問題一的模型的建立。51.1問題一的分析。 結(jié)合題意，計(jì)算航空公司獲得的利潤，必須將運(yùn)輸航空公司里的飛機(jī)的燃料費(fèi)用及修理維護(hù)費(fèi)用忽略不計(jì)，還有每噸貨物的運(yùn)費(fèi)始終保持不變。在這種情況下，3種貨物總運(yùn)輸噸數(shù)不超過100噸，容積不超過50000立方英尺，且3種貨物有各自運(yùn)輸上限，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。5.1.2問題

6、一模型的建立。通過對原問題的分析，我們可以建立如下的數(shù)學(xué)線性規(guī)劃模型：Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=505.1.3模型的求解 將編寫的程序輸入到mathematica軟件中得到結(jié)果5.1.4結(jié)果的分析 由結(jié)果可以得到當(dāng)運(yùn)輸航空公司每天運(yùn)輸x1貨物30噸、x2貨物7.5噸、x3貨物50，每年得到的利潤最大w=21875美元。即當(dāng)x1為30噸、x2為8噸、x3為50噸的時候，貨物體積超出了飛機(jī)的運(yùn)載體積50000立方英尺。所以公司應(yīng)按照以上的x1為30噸，x2為7.5噸，x3為50噸的

7、運(yùn)輸安排運(yùn)輸貨物。第二部分5.2問題二的模型的建立5.2.1問題二的分析與建立Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=50 求解見附錄二。5.2.2 模型的求解 將應(yīng)用程序輸入到Lindo軟件中，得到的部分結(jié)果為：最優(yōu)解下資源增加1“單位”時“效益”的增量：飛機(jī)運(yùn)載空間每增加1立方英尺時，利潤增加0.138889美元，飛機(jī)運(yùn)載能力的增加對利潤不影響，X1種貨物每增運(yùn)1噸時，利潤增加173.611115美元，X2種貨物的增運(yùn)對利潤不影響，X3種貨物每增運(yùn)1噸時，利潤增加194.444443美元

8、。5.2.3結(jié)果的分析 部分輸出結(jié)果（靈敏度分析）（輸入程序見附錄2）最優(yōu)解不變時目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍（約束條件不變）：x1的系數(shù)變化范圍（173.61,250）x2的系數(shù)變化范圍（0,818.2）x3的系數(shù)變化范圍（55.6,250）飛機(jī)的運(yùn)輸貨物體積最多增加222500立方英尺，x1貨物最多每增運(yùn)18噸x3貨物最多每增運(yùn)16噸第三部分5.3問題三的模型建立與分析 5.3.1問題的分析 由2問知道每增加1立方英尺，利潤就增加0.138889；當(dāng)增加2000立方英尺時每天增加利潤=277.778美元；每架飛機(jī)增加的利潤=347225美元因?yàn)橐患茱w機(jī)改裝后所能獲得的利潤大于改裝費(fèi)，且能賺1

9、47225美元；所以有一架飛機(jī)就可以改裝了。 5.3.2模型的建立 通過對問題的分析，我們建的數(shù)學(xué)模型為： 5.3.3模型的求解 輸出部分結(jié)果為(輸入的程序見附錄3)：所以由于對結(jié)果的檢驗(yàn)航空運(yùn)輸公司應(yīng)該值得改裝，應(yīng)該改裝1架飛機(jī)。六、模型的評價(jià)與推廣6.1模型評價(jià)在運(yùn)輸貨物領(lǐng)域中，人們常會遇到這樣的問題，例如：如何從一切可能的方案中選擇最好的、最優(yōu)的方案。在我們數(shù)學(xué)上把這類問題稱為最優(yōu)化問題，如何解決這類問題，在當(dāng)今商品經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，是關(guān)系到企業(yè)生存以及國計(jì)民生的問題。在解決上述如何空運(yùn)貨物能使公司利潤最高的問題上，我們采用的是線性規(guī)劃的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟，并且是一個有廣泛

10、應(yīng)用價(jià)值的統(tǒng)籌學(xué)分支，如果一個問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應(yīng)用lingo軟件將該線性規(guī)劃方程解出來得到最優(yōu)解。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識中的線性規(guī)劃在解決這類最優(yōu)化問題上既簡單又精確，在最優(yōu)解的求解過程中是個很好的選擇。對于我們提出的5個假設(shè)，我們都做了靈敏性分析，數(shù)據(jù)的改變對于最優(yōu)的結(jié)果沒有太大的影響。但是我們的模型還是存在一些缺點(diǎn)，比如我們認(rèn)定運(yùn)輸每種貨物的難易程度是一樣的，不會增加其成本。 6.2模型推廣以上建立的模型，在解決最優(yōu)化問題上方便簡單快捷，不僅適用于貨物的運(yùn)輸問題上，也適用于鋼管的下料問題，接力隊(duì)的選拔問題，奶產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售等一系列問題等。編程運(yùn)用LINDO軟