數學物理方法—第五章—傅立葉級數講解

1、內江師院學院工程技術學院數學物理方法 積積 分分 變變 換換 第一部分 Fourier變換 第二部分 Laplace變換 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 傅里葉傅里葉(Jean Baptise Joseph Fourier17681830) 法國數學家。1768年3月21日生于奧塞 爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎綜合工科學校任講師。1798年隨拿破侖遠 征埃及，當過埃及學院的秘書。1801年回法 國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅 里葉被選為科學院院士，并于1822年成為科 學院的終身秘書。1827年又當選為法蘭西學 院院士。 在十八世紀中期,是否有用信號

2、都能用復指數的線性組合來表 示這個問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦 的實際運動都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù) 從數學上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級數的想法。 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數 來表示一個具有間斷點的函數,因此三角級數的應用非常有限 。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個 世紀后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持 不渝地從事熱學研究，1807年他在向法國科學院呈交一篇關 于熱傳導問題的論文中宣布了任一函數都能夠展成三角函數任

3、一函數都能夠展成三角函數 的無窮級數的無窮級數。這篇論文經J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M. 勒讓德等著名數學家審查，由于文中初始溫度展開為三角級 數的提法與拉格朗日關于三角級數的觀點相矛盾，而遭拒絕 。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。 為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經過了 幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現 在熱的分析理論這本書中。這本書出版于1822年,也即比他 首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書 已成為數學史上一部經典性的文獻，其中基本上包括了他的 數學思想和數學成就。 內江師院學院工程技術學院數

4、學物理方法 書中處理了各種邊界條件下的熱傳導問題，以系統(tǒng)地運用三 角級數和三角積分而著稱，他的學生以后把它們稱為傅里葉級數 和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“ 任意”函數（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調）都可以 展開成三角級數,他列舉大量函數并運用圖形來說明函數的這種級 數表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的 求解方法-傅里葉級數法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展 ，特別是數學物理等應用數學的發(fā)展；其次，傅里葉級數拓廣了 函數概念，從而極大地推動了函數論的研究，其影響還擴及純粹 數學的其他領域。

5、 傅里葉深信數學是解決實際問題的最卓越的工具，并且認為 “對自然界的深刻研究是數學最富饒的源泉?！边@一見解已成為 數學史上強調通過實際應用發(fā)展數學的一種代表性的觀點。 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 傅立葉的兩個最主要的貢獻傅立葉的兩個最主要的貢獻 “周期信號都可表示為諧波關系的正弦周期信號都可表示為諧波關系的正弦 信號的加權和信號的加權和” 傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權非周期信號都可用正弦信號的加權 積分表示積分表示” 傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 第五章 Fourier變換 第一節(jié)

6、Fourier級數 第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換 第三節(jié)函數 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 在工程計算中在工程計算中, 無論是電學還是力學無論是電學還是力學, 經常要和隨時間而經常要和隨時間而 變的周期函數變的周期函數fT(t)打交道打交道. 例如例如: 具有性質具有性質fT(t+T)=fT(t), 其中其中T稱作周期稱作周期, 而而1/T代表單位時代表單位時 間振動的次數間振動的次數, 單位時間通常取秒單位時間通常取秒, 即每秒重復多少次即每秒重復多少次, 單單 位是赫茲位是赫茲(Hz). t 第一節(jié) Fourier級數 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 最常用的

7、一種周期函數是三角函數最常用的一種周期函數是三角函數 fT(t)=Asin(w wt+j j) 其中其中w w = 2p p /T 而而Asin(w wt+j j)又可以看作是兩個周期函數又可以看作是兩個周期函數sinw wt和和cosw wt 的線性組合的線性組合 Asin(w wt+j j)=asinw wt+bcosw wt t 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 人們發(fā)現人們發(fā)現, 所有的工程中使用的周期函數都可以用一系所有的工程中使用的周期函數都可以用一系 列的三角函數的線性組合來逼近列的三角函數的線性組合來逼近. 方波方波 4個正弦波的逼近個正弦波的逼近 100個正弦波的逼近個正

8、弦波的逼近 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 研究周期函數實際上只須研究其中的一個周期內的情研究周期函數實際上只須研究其中的一個周期內的情 況即可況即可, , 通常研究在閉區(qū)間通常研究在閉區(qū)間 -T T/2,/2,T T/2/2內函數變化的情況內函數變化的情況. . 討論：討論：(1)這兩個條件實際上就是要保證函數是可積函數這兩個條件實際上就是要保證函數是可積函數. . 理論上講，并非所有的周期函數都可以用傅里葉級數逼近理論上講，并非所有的周期函數都可以用傅里葉級數逼近, , 而是要滿足而是要滿足 (Dirichlet(Dirichlet) )條件條件, , 即在區(qū)間即在區(qū)間-T T/2,

9、/2,T T/2/2上上 Dirichlet定理 若 f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個第 一類間斷點；(2) 在每個周期內只有有限個極值點，則 周期函數都可以用傅里葉級數逼近（周期函數都可以用傅里葉級數逼近（諧波關系的正弦信號的加權和諧波關系的正弦信號的加權和）。）。 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 :)( 0 條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數函數xxf ;)()1( 0處 處有有定定義義在在點點xxf ;)(lim)2( 0 存在存在xf xx ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx ).()( ),()( , 00 或或間間斷

10、斷點點的的不不連連續(xù)續(xù)點點 為為并并稱稱點點或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點函函數數 則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只 xf xxxf 函數的間斷點函數的間斷點 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 1.跳躍間斷點跳躍間斷點 .)( ),0()0(, ,)( 000 0 的跳躍間斷點的跳躍間斷點 為函數為函數則稱點則稱點但但存在存在 右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果 xf xxfxf xxf 2.可去間斷點可去間斷點 .)( )(),()(lim ,)( 0 00 0 0 的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數義則稱點義則稱點 處無定處無定

11、在點在點或或但但 處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果 xfx xxfxfAxf xxf xx 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函 數的定義數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. 第一類間斷點第一類間斷點 特點特點 . 0處 處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數數在在點點 x 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 3.第二類間斷點第二類間斷點 .)( , )( 0 0 的第二類間斷點的第二類間斷點 為函數為函數則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存 處的左、處的左、在點在點如果如果 xf x xxf 無窮型無窮

12、型間斷點間斷點振蕩型振蕩型間斷點間斷點 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 可去型可去型 第一類間斷點第一類間斷點 o y x 跳躍型跳躍型 無窮型無窮型振蕩型振蕩型 第二類間斷點第二類間斷點 o y x 0 x o y x 0 x o y x0 x 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數f (t), 可表示為三角 級數的形式如下: 22 22 2 2 0 1 0 ( )(cossin) 2 22 ( )d( )cosd 2 ( )sind TT TT T T nnnn n nn nn a f tatbt af ttaf ttt TT bf ttt T ww

13、 w w 2 n n T p w 0 1 0 ( )(cossin) 11 ( )d( )cosd 2 1 ( )sind ll ll l l nnnn n nn nn f taatbt af ttaf ttt ll bf ttt l ww w w n n l p w 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 有限區(qū)域上的函數周期化的處理方法 處理處理1：將 f(x) 轉化為(-l,l)內 的函數 設 f(x)是定義在 區(qū)域(a,b)內的函 數，其中a和b是 有限數 處理處理2：周期化為整個實數 軸上的以2l為周期的周期函 數 b a l-ll-l xlax ab l )( 2 有限區(qū)域上的Fou

14、rier展開或周期函數的Fourier展開 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 三角函數族： ,sin, 2 sin,sin ,cos, 2 cos,cos,1 l xk l x l x l xk l x l x ppp ppp 周期函數的傅立葉級數周期函數的傅立葉級數 則函數 f(x) 可以用周期同為2l一系列諧函數作為基本 函數函數族（正交、完備），把周期函數f(x) 展開。 周期為 2l 的函數 f(x) 滿足：)()2(xflxf 1 sin,cos, 1 n x l n x l npp 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 l xk k l xk l lk l xk l lxkp

15、p pppp cos)2cos() 2 cos( )2( cos a. 基本函數族是以2l 為周期的 b. f(x)按三角函數族展開 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp 不同的函數形式由不同的組的 和 表示。 k a k b (5.1.3) 此為傅里葉級數展開 l xkp sin同樣 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 基本函數族的正交性 l l l l l l l l l l dx l xn l xk nkdx l xn l xk nkdx l xn l xk dx l xk kdx l xk .0sincos ),(0sinsin ),(0cos

16、cos ,0sin1 ),0(0cos1 pp pp pp p p (5.1.4) 三角函數族還有完備性，即這個函數族足夠展開任何周 期為2l函數。 2222222 00 cossin l nn l nn nn f xdxaxbx ll pp 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 Fourier展開的展開系數 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp .sin)( 1 ,cos)( 1 p p d l k f l b d l k f l a l l k l l k k (5.1.5) 此為傅里葉系數 其中 )0(1 )0(2 k k k 內江師院學院工程技術

17、學院數學物理方法 0 1 0 1 1 2 1 () co s 1 co ssin co s 1 co s 1 co sco s 1 sinco s 111 co s1co s2 2 l k l k l kk l k k l l k l k l k k l k l k k l kk l kk k afd ll kxkxk aabd llll k ad ll kxn ad lll kxn bd lll kxkx ada llll p ppp p pp pp pp 1112 22 l l l k kk l kkk d al ada ll 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 Dirichlet定理-

18、Fourier展開收斂定 理 若 f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個第一 類間斷點；(2) 在每個周期內只有有限個極值點，則 ( ) ( ) 1 (0)(0) 2 f xx f xFourier f xf xx 在連續(xù)點 函數的展開 在間斷點 l-l 函數和級數并不完全是一個東西，例如冪級數就有收 斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致。 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例1、 交流電壓 經過半波整流后的傅立 葉級數。 tEtEwsin)( 0 解：周期為 w p2 , 0sin 0 ,0 )( 0 w p w w p tE tE -10-5510 0.2 0

19、.4 0.6 0.8 1 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 wpwp ww p w ww w p / 0 0 / 0 0 )1sin()1sin( 2 cossin 1 tdtktk E tdtktEak , 02cos 4 2sin 2 / 0 0 / 0 0 1 wp wp w p w p w t E tdt E a 1 1 1 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 11 0 / 0 0 / 0 0 kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p ww p ww p w wp wp .sinco

20、s)( 1 0 tkbtkaatE k kk ww , 2 sin 2 sin0 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 00 p w p w w w p wp wp wp E tdtEtdtEdta 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 .2 )2(1 2 120 1 1 1 )1( 1 1 1 )1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 2 0 11 0 / 0 0 / 0 0 nk n E nk kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p p ww p ww p w wp wp , 2 0 1 E b 和0 k b 內江師

21、院學院工程技術學院數學物理方法 .2cos )2(1 12 sin 2 )( 1 2 000 n tn n E t EE tEw p w p 頻譜各個頻率分量的幅度 頻率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅度 p3 2 0 E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0 E 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 通常，函數 f(t) 表示某系統(tǒng)的按時間變化的性質， 叫在時域中的表示的性質。而頻譜表示這種性質在 頻域中的表示。 因此，傅里葉級數也是一種從時域到頻域的變換。 -10-5510 0.2 0.4 0.6 0.8 1 頻 率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅 度 p3 2 0

22、E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0E 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 正弦級數和余弦級數 若函數 f(x)是奇函數，則Fourier展開成正弦級數 1 sin n n n fxbx l p 0 2 sin l n n bfd ll p 這叫作這叫作傅里葉正弦級數傅里葉正弦級數容易檢驗上式中的正弦級數在容易檢驗上式中的正弦級數在 0,xxl處為零處為零 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 同樣由于對稱性，其展開系數為同樣由于對稱性，其展開系數為 0 2 ( )cos()d l k k k x af xx ll 由于余弦級數的導數是正弦級數，所以余弦級數的導數在由于余弦級數

23、的導數是正弦級數，所以余弦級數的導數在 0,xxl處為零處為零 若函數 f(x)是偶函數，則Fourier展開成余弦級數 0 1 cos n n n fxaax l p 0 2 cos l n n afd ll p 這叫作這叫作傅里葉余弦級數傅里葉余弦級數 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例 )(xf x 1 1 0 p p p2 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf 周期 p2 矩形波 奇函數 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 ,sin)( 1 l xk bxf k k p . 12 4 ,20 ) 1( 2 cos 2 sin)( 2 0

24、 nk k nk k k k d l k fb k l l k p p p p p p .)12sin( )12( 4 )( 0 xn n xf n p 頻域中的圖示由你們給出 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 解解所給函數滿足狄利克雷充分條件所給函數滿足狄利克雷充分條件, , 在整個在整個 數軸上連續(xù)數軸上連續(xù). . ,)( 為偶函數為偶函數tu , 0 n b p p p p 0 0 )( 2 dttua t )(tu 0 p pp p2 p p p p 2 E p p p p 0 sin 2 tdtE, 4 p p E ), 2 , 1( n 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 p

25、 p p p 0 cos)( 2 ktdttuan p p p p 0 cossin 2 ktdttE p p p p 0 )1sin()1sin(dttktk E p p p p 0 1 )1cos( 1 )1cos( k tk k tkE )1( k p p 12 , 0 2, 1)2( 4 2 nk nk k E 當當 當當 ), 2 , 1( n 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 p p p p 01 cos)( 2 tdttua p p p p 0 cossin 2 tdttE, 0 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 )( ttt E t

26、u p p )( x . 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE p p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 有限區(qū)間中的函數的的傅里葉展開 f(x) 定義于 (0,l).可以認為它是某個周期為 2l 的函數在 半個周期中的部分。即令此周期函數為 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 這種做法叫延拓。 則只需求出g(x)的傅里葉級數，在0,l上就代表f(x)。 且g(x+2l)=g(x) , 0)( 0)( )( xlxg lxxf xg令 0 1 ( )cossin(0) nnnn n f xg xaaxbxxlww 內江師院學院工程技術學院數學物理方法

27、1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xlxf x lxxf xg則 x y 0 l l 的傅立葉正弦級數的傅立葉正弦級數)(xf )0(lx 1 sin)( k k kxbxf 若要求若要求 處為零，則應將處為零，則應將f(x) 延拓稱為奇的周期函數。延拓稱為奇的周期函數。0,xxl 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)( 0)( )( xlxf lxxf xg則 的傅立葉余弦級數的傅立葉余弦級數)(xf x y 0 ll )0(lx 1 0 cos 2 )( k k kxa a xf 若要求若要求 處為的導數為零，則應將處為的

28、導數為零，則應將f(x) 延拓稱為偶的延拓稱為偶的 周期函數。周期函數。 0,xxl 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例例 3 3 將將函函數數)0(1)(p p xxxf分分別別展展開開成成 正正弦弦級級數數和和余余弦弦級級數數. . 解解 (1)(1)求正弦級數求正弦級數. . 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 1 p p p p p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 sin)1( 2 kxdxx p p p p 0 sin)( 2 kxdxxfb n )coscos1( 2 p p p pp p p p kk k p p p p ,

29、6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 k k k k 當當 當當 ,)(進行奇延拓進行奇延拓對對xf 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 (2)(2)求余弦級數求余弦級數 p p p p 0 0 )1( 2 dxxa, 2 p p 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 1 22 p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 cos)1( 2 kxdxxak )1(cos 2 2 p p p p k k p p , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 k k k 當當 當當 ,)(進行偶延拓進行偶延拓對對xf 內江師院學院

30、工程技術學院數學物理方法 而利用三角函數的指數形式可將級數表示為: cos,sin: 22 i xi xi xi x eeee xxi wwww ww 由得 0 1 0 1 ( ) 22 22 nnnn nn ixixixix nn n ixix nnnn n eeee f xaaib aibaib aee wwww ww 0 1 cossin nnnn n fxaaxbxww 復數形式的Fourier積分 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 00 0 1 ,1,2,3, 2 ,1,2,3, 2 ( ) nnn nn n nn n ixixix Tnnn nn aib cacn aib cn

31、 fxcc ec ec e www 令 2 2 00 1 ( )d 2 T T caf tt T 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( )cosd 2 1 ( )sind 1 ( )cossind 1 ( )d T T T T T T T n T nn nn n nn it aib ncf ttt T if ttt T f ttitt T f t et T w w w ww 當時 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( )(0, 1, 2,) ( ) 1 ( )d T n T T n T n T nn T

32、it nn nn it n it n n iit n aib ccf t edt T cf t edtn T f tc e fee T w w w w w 因此可以合寫成一個式子 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 * ( ) 1 ( )(0, 1, 2,) 2 n l n l ix Tn n i n fxc e cfedn l w w 復形式的Fourier級數 n l p w 上式上式(5.1.13)的的物理意義物理意義為一個周期為為一個周期為2l 的函數的函數 ( )f x 可以分解可以分解 為頻率為為頻率為 n l ，復振幅為，復振幅為 n c的復簡諧波的疊加的復簡諧波的疊加 n l

33、 稱為譜點，稱為譜點， 所有譜點的集合稱為譜對于周期函數所有譜點的集合稱為譜對于周期函數 ( )f x 而言，譜是離散的而言，譜是離散的 基本函數族 n x l n i e p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 tusin 4 p p )3sin 3 1 (sin 4 ttu p p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu p p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1

34、(sin 4 tttttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( tttttu p p )0,( p p p p tt 由以上可以看到：一個比較復雜的周期函數可以看由以上可以看到：一個比較復雜的周期函數可以看 作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 ).12( ) 12( 2 )2(0 1) 1() 1(1 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 0 0 0 0 nk ni nk ik e ik e ik dededefc kkikxikx ikx

35、ikxikx k p ppp p p p p p p p p p , 12 12 )( )12( n xni e ni xf p 例 矩形波 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf,)( k ikx ke cxf 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換 無限區(qū)域上的Fourier展開 0 1 ( )(cossin) nnnn n g xaatbtww 在l 的極限形式就為所求的非周期函數f(x)的Fourier展開式 可做近似，假設非周期函數f(x)可看作是 對非周期函數 f(x),x ，一般是不能展 時的極限

36、，則g(x)的 2l 為Fourier級數。 某個周期函數g(x)于周期 Fourier級數展開式 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 0 1 cossin nnnnn n n g xaaxbx l p www l l df l a 2 1 0 1 cos l nn l afd l w 1 sin l nn l bfd l w 0 1 limlim0 2 l lll afd l 1 1 1 limcoscos 1 limcoscos l nn ll n l nnn ll n fdx l fdx w w w ww p 由 系數代入展式，取 l 的極限 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 ,0

37、 n l l p w 間斷求和成為連續(xù)性求和（積分） 1 0 1 limcoscos 1 coscos l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 同理，正弦部分 1 0 1 limsinsin 1 sinsin l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 1、實形式的Fourier積分與Fourier變換 w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin()()cos()()( 非周期函數 f(x)的Fourier

38、積分表達式 A()被稱為Fourier余弦變換 B()被稱為Fourier正弦變換 實形式的Fourier變換 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 nFourier積分定理 若 f(x)在R上滿足： (1) 在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件； (2) 在 R上絕對可積， 則f(x) 可以表示為Fourier積分，且結果為 0 )sin()()cos()()0()0( 2 1 dxxBxAxfxfwwww w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin

39、()()cos()()( 1 2 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CAB tgBA www j www 其中 函數 f(x)的Fourier積分表達式 0 ( )( )cos( )f xCxdwwj ww 振幅譜 相位譜 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 00 0 ( )( )cosd( )sind, 1 ( )d0 1 ( )d 2 ( ) ( )cos ( si )si d n n f f f tAtBt A B f w wwwwww w w p w p p w 奇函數 偶函數 當f(t)為奇函數，則有 這叫作這叫作傅里葉正弦積分傅里葉正弦積分容易檢驗上式中的正

40、弦級數在容易檢驗上式中的正弦級數在 0 x 處，處，f(x)=0為零為零 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 00 0 ( )() cosd() sind, 1 ()d 2 d 1 () () cos () cos () sind0 f tAB B f Af tt f w wwwwww w p p w w w p 偶函數 奇函數 當f(t)為偶函數 這叫作這叫作傅里葉余弦積分傅里葉余弦積分容易檢驗上式中的正弦級數在容易檢驗上式中的正弦級數在 0 x 處處 ()0fx 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 對稱形式的Fourier（正弦、余弦）積分表達式 0 0 2 ( )( )cosd 2

41、(cos( )d) f tAt Af www p w p w 傅里葉余弦變換 0 0 2 ( )( )sind 2 sin( )d) f tBt Bf www p w p w 傅里葉正弦變換 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例1 矩形函數的定義為 12 12 1, | | rect ( ) 0, | | x x x 求矩形脈沖 f(x) = hrect(x/2T)的傅立葉積分。 解：f (x) 為偶函數，則其傅立葉積分為 0 ( )( )cosf xAtdwww 00 0 22 ( )( )cos(2 )cos 22 sin cos AfdhrectTd ht hd ww w pp w

42、w ppw 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例2 由2N個(N是正整數)正弦波組成的有限正弦波列 00 0 sin, | | 2 f(t) 0,| | 2 AttN xN wp w p w 試將它展為傅立葉積分。 解：f (t) 為奇函數，則其傅立葉積分為 0 ( )( )sinf xBtdwww 0 0 2 0 00 2 00 0 0 22 00 22 ( )( )sinsinsin cos()cos() 2 sin(2) () N N Bf ttdtAttdt A tt dt A N p w p w wwww pp wwww p ww p p www 內江師院學院工程技術學院數學物理

43、方法 2、復數形式的傅里葉積分 .)( )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 2 )( 2 )( sin)(cos)()( 0 0 00 00 00 ww wwwwww wwwwww wwww wwwwww w ww ww wwww deF deiBAdeiBA deiBAdeiBA d i ee Bd ee A xdBxdAxf xi xixi xixi xixixixi )0().()( 2 1 )0(),()( 2 1 )( www www w iBA iBA FdxexfF xi * )( 2 1 )( w p w )(xf原函數 像函數)(wF 內江

44、師院學院工程技術學院數學物理方法 表示為 F 原函數到像函數 的傅里葉正變換 1 F 像函數到原函數的 傅里葉反變換 例同前例 . sin 22 )2/( 2 1 )( w w pwpp p ww w Th e i h dte h dteTtrecthxf T T ti T T ti ti F * 1 ( )F ( )( ) 2 ix Ff xf x edx w w w w p p 1 ( )F ( )( ) ix f xFFed w w wwwwww 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 復形式形式的對稱Fourier積分與Fourier變換 ww w deFxf xi )()( 1 ( )

45、( ) 2 i Ffed w w p F()被稱為Fourier變換的像函數 f(x)稱為Fourier變換的原函數 11 ( )( )( )( ) 22 i xi f xFedFfed ww www pp 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 傅立葉變換的意義 數學意義 從一個函數空間(集合)到另一個函數空間(集合)的映射； f(x)稱為變換的原函數(相當于自變量)，F()稱為象函數。 應用意義 把任意函數分解為簡單周期函數之和，F()的自變量為頻率， 函數值為對應的振幅。 物理意義 把一般運動分解為簡諧運動的疊加； 把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。 物理實現 分解方法：棱鏡

46、光譜儀、光柵光譜儀； 記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 例3 求矩形脈沖 f(x) = hrect(x/2T)的復數傅立葉變換。 dttfeF ti )( 2 1 )( w p w wp w p w Th hdte ti T T sin 2 1 代入傅立葉積分公式，得 w wp w w de Th tf ti sin )( 解：由 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 證明： ).()()()( )()( 2 1 )( 2 1 )( www p p ww ww w Fidxexfidxexf dxexfexf dxe dx xdf

47、xf xixi xixi xi F 0)(lim xf x 3、 傅里葉變換的基本性質 (1) 導數定理導數定理)()( wwFixfF # 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 (2) 積分定理積分定理 )( 1 )( )( w w F i dxxf x F )()( )( xdxxf x j 記 )()( xfx j )()( xixjwjFF )( 1 )(x i xj w jFF 則 由導數定理 即 # 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 (3) 相似性定理相似性定理 )( 1 )( a F a axf w F 通常將變換 f(x) f(ax) 稱為相似變換，它將測量 的尺子的單位改

48、變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應地，測 量的長度值變?yōu)樵档?a 倍，而保持函數的形式不 變。有時也叫尺度變換。 ).( 1 )( 2 1 1 1 )( 2 1 )( 2 1 )( a F a dyeyf a dy a eyfdxeaxfaxf a y i a y i axy xi w p pp w w w F # 證明 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 (4) 延遲定理延遲定理 )()( 0 0 w w Fexxf xi F x 看作時間，記時由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。記作“延遲”是習慣說法。 證明 ).()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 00 0 0 00 w p

49、 pp www www Fedyeyfe dyeyfdxexxfxxf xiyixi xiyi xxy xi F 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 )()( 0 0 ww w Fxfe xi F 證明 ).()( 2 1 )( 0 )( 00 ww p www Fdxexfxfe xixi F# (5) 位移定理位移定理頻域的位移 (6) 卷積定理卷積定理 原函數的卷積與像函數的乘積間的關系 )()( 11 wFxfF)()( 22 wFxfF若和 則)()(2)()( 2121 wwpFFxfxfF 卷積： dxffxfxf)()()()( 2121 內江師院學院工程技術學院數學物理方法

50、 證明 ).()(2)( 2 1 )( 2 1 2 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2121 21 2121 wwp p p p p p ww ww w FFdyyfedef ddyyfeef dxedxffxfxf yii yii xy xi F # 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 Fourier變換的性質 性質1（導數性質）( )( )fxi Fww 性質2（積分性質） 1 ( )( ) x f x dxF i w w 性質4（延遲性質） 0 ()( ) i x f xxeF w w 性質3（相似性質） 1 ()f axF aa w 性質5（位移性質） 0 ( )()

51、ix ef xF w ww 性質6（卷積性質） 1212 ( )( )2( )( )f xfxFFpww 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 典型例題 解解 所給函數是奇函數所給函數是奇函數, ,其其Fourier變換為變換為 . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin , , |, 0 |,sin )(1 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp p p p p t ttt Fourier t tt tf 并證明并證明變換變換 的的計算函數計算函數例例 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 tetftfF ti d)()()( w w w wF p p w w

52、 w w 0 0 dsinsin2 dsin)(2 ttti tttfi . 1 sin2 2 w w w wp p i 再由再由Fourier積分公式得積分公式得 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf w ww ww w p p tdsin)( 0 F i w w w w w ww wp p p p d 1 sinsin2 0 2 t . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp t ttt 即即 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 解解 所給函數是偶函

53、數所給函數是偶函數, ,其其Fourier變換為變換為 tetftfF ti d)()()( w w w wF ttee tit dcos |w w te ee e ti itit t d 2 |w w .cos 2 dcos 4 2 ,cos)(2 | 0 4 2 | tet Fouriertetf t t p p w ww w w w w w 并證明并證明變換變換的的計算函數計算函數例例 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 0 )1( 0 )1( 0 )1( 0 )1( dd dd 2 1 tete tete iiii iiii w ww w w ww w | | 0 )1( 0 )1(

54、 0 )1( 0 )1( 11 112 1 w ww w w ww w w ww w w ww w ii e ii e ii e ii e tiitii tiitii 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 ii iiii )1(1 1 )1(1 1 1 1 1 1 2 1 w ww w w ww w . 4 42 4 2 w w w w w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf 再由再由Fourier積分公式得積分公式得 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 w ww ww w p p tdcos)( 1 0 F .tdcos 4 421 0 4 2 w ww w w

55、 w w w p p .cos 2 dcos 4 2 | 0 2 2 tet t p p w ww w w w w w 即即 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 解解 法一法一 , 1 )( w w i etu t F F由由 利用位移性質利用位移性質 ,)( 2 1 )( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eetu i eetu i tetu w w w w w w F FF F F F . sin)()(4 0 變換變換 的的計算函數計算函數例例Fouriertettutf t w w 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 , )( 22 0 0 w w w w w w i

56、 再由微分性質再由微分性質 22 0 0 0 )(d d sin)( w w w w w w w w w w i itettu t F F 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i )( 1 2 1 )( 1 2 1 00 w ww w w ww w iiii 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 法二法二 2 )( 1 )( d d )( w w w w w w i Fiettu t F F 2 0 2 0 )( 1 2 1 )( 1 2 1 w ww w w ww w iiii 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i ,)( 2 1 )

57、( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eettu i eettu i tettu w w w w w w FF F,由位移性質由位移性質 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 2 )( 1 )( w w i ettu t F F )(*)( 2 1 )()( 2121 w ww w p p FFtftf F F 所以由卷積公式所以由卷積公式 . sin)()(5 0 變換變換 的的計算函數計算函數例例 Fourier tettutf t w w 及及 由由解解)()(sin 000 w ww w w ww w p pw w i tF 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 2 0

58、2 0 1 *)( 1 *)( 2）（）（w w w ww w w w w ww w ii i 2 0 2 0 )( 1 )( 1 2w ww w w ww w ii i 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i 2 00 )( 1 *)()( 2 1 )( w w w ww w w ww w p p p pi itfF 得得 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 ).( ),0( |, 1 | , 0 )( )(6 tf F Fouriertf 求求 變變換換為為的的已已知知函函數數例例 w w w w w w 解解w ww w p p w w w w d)( 2

59、1 )()( 1ti eFFtf F w w p p w w d 2 1 ti e ). sin ( sin t t t t p p p p 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 . , )()(.)0( ,0),()(, sin )( 波波中中發(fā)發(fā)揮揮了了重重要要作作用用間間信信號號恢恢復復以以及及信信號號濾濾 、離離散散時時它它在在連連續(xù)續(xù)時時間間的的離離散散化化抽抽樣樣信信號號 稱稱為為或或者者信信號號定定義義 時時當當則則記記 tSatSaf ttSatf t t tSa p p p p p p t )(tf p p p p2 p p p p p p2 內江師院學院工程技術學院數學物理

60、方法 ).0( 1 d )( )( 7 2222 ba btat y 求求解解積積分分方方程程例例 解解 滿滿足足的的方方程程為為 由由卷卷積積定定理理可可得得像像函函數數并并記記 變變換換對對方方程程兩兩邊邊取取即即 的的卷卷積積與與方方程程兩兩邊邊是是未未知知函函數數 )( ).()( ,. 1 *)( , 1 )( 22 22 w w w w Y Yty Fourier at ty at ty F . 1 1 *)( 2222 btat ty FF 內江師院學院工程技術學院數學物理方法 . 1 1 )( 2222 btat Y FFw w . 1 1 )( 22 22 at bt Y F