數(shù)值計(jì)算期末復(fù)習(xí)資料講解

1、 引言例： 利用秦九韶算法求多項(xiàng)式p(x)=x5-3x4+4x2-x+1,在x=3 時(shí)的值。（課本11頁(yè)習(xí)題3）解：p(x)=(x-3)x4+4x2-x+1=(x-3)x2+4)x2-x+1=(x-3)x2+4)x-1)x+1=(0*x2+4)x-1)x+1=(4x-1)x+1=(4*3-1)*3+1=34練習(xí). x=3, f=2x5 5x4 4 x3 + 3x2 6 x + 7n 解：f=(2x-5)x4 4 x3 + 3x2 6 x + 7=(2x-5)x 4 ) x3 + 3x2 6 x + 7=(2x-5)x 4 ) x + 3)x2 6 x + 7= (2x-5)x 4 ) x +

2、3)x 6) x +7=(2*3-5)*3 4 )* 3 + 3)*3 6) *3 +7=-11練習(xí)：用二分法求方程ex+10x-2=0在0,1內(nèi)的近似根，要求誤差不超過(guò)1/2*10-2.(課本11頁(yè)，習(xí)題1）kakbkxkf(ak)* f(xk) 0010.5000010.50000.2500020.25000.1250040.06250.0937060.07810.0859070.08590.0898誤差的來(lái)源：誤差限和有效數(shù)字：n 誤差限： 設(shè)以x代表x*的近似值，則 絕對(duì)誤差為：|x-x*|，若有|x-x*|則稱為近似值x的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限，或稱精度。n 有效數(shù)字：對(duì)于x*的近似

3、值（規(guī)格化形式） x=0.a1a2an10m(其中a1，a2，an是0-9之間的自然數(shù)）如果誤差|x-x*|1/210m-l,1 l n則稱近似值x有l(wèi)位有效數(shù)字，或稱x準(zhǔn)確到第l位。n 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入而得到的近似值，其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。n 1、用四舍五入法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，則x*必有n位有效數(shù)字n 2、有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差限不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345及x2*=0.12345均有五位有效數(shù)字，而它們的絕對(duì)誤差限分別為0.5和0.000005n 3、準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無(wú)窮位有效數(shù)字相對(duì)誤差與有效數(shù)字的聯(lián)系：設(shè)x,y分別是數(shù)x*,y*

4、的近似值，考察x-y的相對(duì)誤差相對(duì)誤差與有效數(shù)字：n 由此可見(jiàn)：兩個(gè)值相近的近似數(shù)相減，可能會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。n 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要加工計(jì)算公式，以避免這種情況發(fā)生。n 8、已知e=2.71828,試問(wèn)其近似值x1=2.7,x2=2.71,x3=2.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對(duì)誤差限。n 解：x1=0.27101,x2=0.271101, x3=0.2718101n |x1-e|=0.01828 1/2101-2,有效數(shù)字2位，n |x2-e|/=0.008281/2101-2有效數(shù)字2位，n |x3-e|=0.000281/2101-4,有效數(shù)字4位算法設(shè)計(jì)中，避免誤差危

5、害的要點(diǎn)：n 避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法，否則可能會(huì)擴(kuò)大舍入誤差。n 避免兩相近數(shù)相減，否則會(huì)使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失。n 盡可能防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，否則可能影響計(jì)算結(jié)果的可靠性。n 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，將少運(yùn)算次數(shù)。n 選用數(shù)值穩(wěn)定的算法 第一章 差值方法例1：解：帶入x0=100, 得用p1(x)計(jì)算：n 誤差估計(jì)：n 用p2(x)計(jì)算：練習(xí)：課本54頁(yè)1，求作f(x)=sin x在節(jié)點(diǎn)x0=0的5次泰勒多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。2、拉格朗日插值n 求作n次多項(xiàng)式pn(x),使?jié)M足條件 pn(xi)=yi , i=0,1, , n這就是所謂拉格朗日插值點(diǎn)xi（互不相同），稱為插值節(jié)點(diǎn)。1.

6、2 拉格朗日插值公式1、線性插值n 問(wèn)題3：求作一次式p1(x),使?jié)M足條件 p1(x0)=y0 , p1(x1)=y1幾何意義：y=p1(x)表示通過(guò)兩點(diǎn)（x0,y0),(x1,y1)的直線，因此，一次插值又稱線性插值n 它的解p1(x)可表為點(diǎn)斜式：解：已知x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x=115, 帶入線性插值公式，得插值基函數(shù)：n 線性插值公式亦可表為對(duì)稱式：注意：這里的l0(x)和l1(x)分別可以看做是滿足條件：稱為問(wèn)題3的插值基函數(shù)練習(xí)：習(xí)題6（1），構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式p(x),逼近f(x)=x3,要求取節(jié)點(diǎn)x0=-1,x1=1n 解：y0=-1,y1=

7、12、拋物插值n 問(wèn)題4：求作二次式p2(x),使?jié)M足條件 p2(x0)=y0 , p2(x1)=y1， p2(x2)=y2幾何意義：y=p1(x)表示通過(guò)三點(diǎn)（x0,y0),(x1,y1) ,(x2,y2)的拋物線， 因此，二次插值又稱拋物插值。p2(x)的解？問(wèn)題4的解：設(shè)取已知數(shù)據(jù)y0,y1,y2作為組合系數(shù)，將插值基函數(shù)l0(x),l1(x),l2(x)組合，即可得到問(wèn)題4的解（即拋物插值的解）：例3：利用100，121，144的開(kāi)方值求解：用拋物插值 已知：x0=100,y0=10 , x1=121,y1=11, x2=144,y2=12 , x=115代入拋物插值公式得：?jiǎn)栴}2的解

8、（拉格朗日插值）用前面的插值基函數(shù)，可得到問(wèn)題2的解：n 即拉格朗日插值公式練習(xí)：習(xí)題6（1），構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式p(x),逼近f(x)=x3,要求取節(jié)點(diǎn)x0=-1,x1=0,x2=1,x3=2作三次插值。1.3 插值余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng)定理：n 插值余項(xiàng)：R(x)=f(x)-pn(x) 也稱截?cái)嗾`差。n 定理3（拉格朗日余項(xiàng)定理）：設(shè)區(qū)間a,b,含有節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn, 而f(x)在a,b內(nèi)有連續(xù)的直到n+1階導(dǎo)數(shù)，且f(xi)=yi(i=0,1,n)已給，則當(dāng)xa,b時(shí)，對(duì)于由式（10）給出的Pn(x),成立式中是與x有關(guān)的點(diǎn)，它包含在由點(diǎn)x0,x1,xn和x所界定的范圍內(nèi)，因而a,b羅

9、爾定理：若函數(shù)f(x)滿足下列條件：1、 在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；2、在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；3、f(a)=f(b)則至少存在一點(diǎn)（a,b),使得f()=0例：設(shè)f(x)=ln(x),給出函數(shù)表,試估計(jì)ln0.60的值x0.400.500.700.80lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144解：取x0=0.40,x1=0.50,x3=0.70,x4=0.80,算出插值基函數(shù)值：l0(0.60)=-1/6,l1(0.60=2/3,l2(0.60)=2/3,l3(0.60)=-1/6在區(qū)間（0.40，0.80）上，104/40961/4104/256。所以-1

10、/256R(0.60)-1/4096事后誤差估計(jì)法：n 考察3個(gè)節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,對(duì)于給定的插值點(diǎn)x:n 先用x0與x1,x2進(jìn)行線性插值，求出y=f(x)的一個(gè)近似值y1；同樣取x0與 x2,求出y2。n 按余項(xiàng)定理得：n 將上面兩個(gè)式子相除1.5牛頓差值公式2、差商定義及性質(zhì)1.差商定義 稱 為 在 兩點(diǎn)處的一階差商. 為二階差商. 為n階差商. 補(bǔ)充定義：f(xi)為零階差商 特點(diǎn)：具有鮮明的承襲性差商的性質(zhì) (1) k階差商 是函數(shù)值 的線性組合. 注:由性質(zhì)看到,差商關(guān)于定義它的結(jié)點(diǎn)是對(duì)稱的,即k階差商 可以隨意改變結(jié)點(diǎn)次序,而差商值不變.(2) 若f(x) 在a,b內(nèi)存在n階導(dǎo)

11、數(shù),且結(jié)點(diǎn) 則n階差商與導(dǎo)數(shù)關(guān)系 (3)若 是一個(gè)m次代數(shù)多項(xiàng)式,則其中 am 為 f(x) 的首項(xiàng)系數(shù).例:已知 1 2 3 4 0 -5 -6 3求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項(xiàng)式。解:一階差商二階差商三階差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1由上述差商表對(duì)角線上取得的值則牛頓三次插值多項(xiàng)式為 練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如下表i0123Xi0123yi=f(xi)13927試用Newton插值公式作一個(gè)三次多項(xiàng)式p3(x)，利用p3(x)計(jì)算解：利用Newton插值公式：4 差分與等距結(jié)點(diǎn)插值一、差分定義及性質(zhì)1.差分定義向前差分算子 向后差分算子中心

12、差分算子1. Newton向前插值公式條件: 結(jié)點(diǎn) 要計(jì)算 x0 附近點(diǎn)x 的函數(shù)值.令 x=x0+th 向前插值公式: 插值余項(xiàng):2. Newton向后插值公式條件: 要計(jì)算Xn 附近點(diǎn)X 的函數(shù)值.插值結(jié)點(diǎn)按 排序.令x=xn+th 向后插值公式:插值余項(xiàng):例 已知函數(shù) y-f(x) 的數(shù)值表： 0 1 2 3 1 2 17 64試作出f(x) 三次Newton向前向后插值公式,并 計(jì)算 f(0.5) ,f(2.5) 的近似值。解：由 X0=0,Xn=3,h=1 令構(gòu)造差分表如下：xi fi fi 2fi 3fi 0 1 2 3 1 2 17 64 11547143218由上表得：牛頓三次

13、向前、向后插值公式分別為得：練習(xí)：給定數(shù)據(jù)表如下x0.20.40.60.81.01.2f(x)212523202124用三次插值多項(xiàng)式計(jì)算f(0.7)的近似值用二次插值多項(xiàng)式計(jì)算f(0.95)的近似值解：由于節(jié)點(diǎn)等距，故可用牛頓向前、向后插值公式進(jìn)行計(jì)算，先構(gòu)造差分表xiyiyi2yi3yi4yi5yi0.2214-650-70.425-2-15-70.623-34-20.820121.02131.224選x1=0.4,x2=0.6,x3=0.8,x4=1.0作為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造三次向前牛頓插值多項(xiàng)式由0.4+0.2t=0.7解得t=1.5,代入上式得：f(0.7) N3(0.7)=21.3125

14、1.7 分段插值法1、為什么要引入分段插值法？答：（1）并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近效果越好。有些函數(shù)隨著插值多項(xiàng)式次數(shù)的增大以及逼近區(qū)間的增大，使得在逼近區(qū)間發(fā)生振蕩現(xiàn)象。從而使得逼近效果不理想（龍格Runge現(xiàn)象）。（2）插值誤差除來(lái)自截?cái)嗾`差外，還來(lái)自初始數(shù)據(jù)的誤差和計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計(jì)算工作量越大，積累誤差也可能越大。（3）因此，在實(shí)際操作過(guò)程中，常常用分段低次插值進(jìn)行計(jì)算，即把整個(gè)插值區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。xi012345yi10.50.20.10.058820.03846練習(xí)：對(duì)下列數(shù)據(jù)作分段線性插值，并計(jì)算f(1.2),f(3.3)

15、xi-3-1239yi1251612四、分段三次插值xi012yi10.50.2分段插值的優(yōu)缺點(diǎn)1、優(yōu)點(diǎn)：顯示算法，方法簡(jiǎn)單，收斂性好，只要節(jié) 點(diǎn)距離充分小，分段插值總能達(dá)到所要的精度要 求，而不會(huì)象高次插值那樣發(fā)生龍格現(xiàn)象。另一個(gè) 重要特點(diǎn)就是局部性質(zhì)。如果修改某個(gè)數(shù)據(jù)，那么 插值曲線僅僅在某個(gè)局部范圍受到影響，而代數(shù)插值卻會(huì)影響到整個(gè)插值區(qū)間。2、缺點(diǎn)：分段線性插值與分段三次埃爾米特插值（問(wèn) 題8）雖然改善了精度，但是這種插值要求給出各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，所要提供的信息太多，同時(shí)它的光滑性也不高（只有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)）。改進(jìn)這 種插值以克服其缺點(diǎn)，這就是下一節(jié)介紹的三次樣條插值方法（問(wèn) 第二章

16、 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值求積方法：對(duì)平均高度f(wàn)()提供一種數(shù)值算法若f()近似的用積分區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)和f(b)的算術(shù)平均值代替，便可導(dǎo)出計(jì)算積分的梯形公式：若f()近似的用積分區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2處的函數(shù)值代替，便可導(dǎo)出計(jì)算積分的中矩形公式：若f()近似的用a,b,(a+b)/2三點(diǎn)高度的加權(quán)平均值1/6f(a)+4f(c)+f(b) ,c=(a+b)/2代替，便可導(dǎo)出計(jì)算積分的辛普森公式：一般地，欲使該求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對(duì)于f(x)=1,x,x2,xm都準(zhǔn)確成立即可 梯形公式：所以，梯形公式具有一次代數(shù)精度中矩形公式：所以，中矩形公式具有一次代數(shù)精度辛普森公式：所以，辛普

17、森公式具有三次代數(shù)精度解線性方程組（P80題2 ） 計(jì)算積分（P81題4 ） 2.2 牛頓柯特斯公式1.公式的導(dǎo)出將區(qū)間a,b劃分為n等分，步長(zhǎng)h=(b-a)/n,取等分點(diǎn)xk=a+kh,(k=0,1,n),構(gòu)造出插值型求積公式:稱作牛頓柯特斯公式，Ck稱柯特斯系數(shù)。求Ck:解：計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表，表中最末一列指明有效數(shù)字的位數(shù)m（I的準(zhǔn)確值為0.9460831）nInm10.9270354120.9461359330.9461109340.9460830650.946083064 龍貝格求積公式可見(jiàn)，利用兩種步長(zhǎng)計(jì)算的結(jié)果能估計(jì)截?cái)嗾`差.若將該截?cái)嗾`差加到計(jì)算結(jié)果中，例：計(jì)算已知對(duì)于e = 10

18、-6 須將區(qū)間對(duì)分 9 次，得到 T512 = 3.14159202由 來(lái)計(jì)算 I 效果是否好些？ 來(lái)計(jì)算 I 效果是否好些？= 3.141592502= S4改進(jìn)梯形求積公式的右邊實(shí)際是這就是說(shuō)用梯形法二分前后的兩個(gè)積分值Tn與T2n的線性組合的結(jié)果得到復(fù)化辛普森法求積公式一般有： 第三章 常微分方程的差分方法CH 3.1 歐拉方法一、歐拉格式討論下列節(jié)點(diǎn)列上X1X2 .Xn的近似解：y1,y2,.,yn,.規(guī)定：相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距 h=Xn+1-Xn 稱為步長(zhǎng)，在以后如不特別聲明，步長(zhǎng)就為定值h。并用 y(xn) 的近似值 yn 代入上式的右端，記所得結(jié)果為 yn+1 ，于是有yn+1=y

19、n+hf(xn,yn),n=0,1,2,3.這就是歐拉公式(Euler)xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.73213、局部截?cái)嗾`差和精度在 的前提下估計(jì) 的誤差稱為局部截?cái)嗾`差。如果一種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為 ，則稱這種方法的精度為 n 階。即有歐拉格式的精度是p 階。事實(shí)上，有因此，歐拉格式具有一階精

20、度。 三、兩步歐拉格式（二階精度）用中心差商 替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，有（兩步歐拉格式）計(jì)算當(dāng)前步的值需要用到前兩步的值，因此，得名兩步格式。同時(shí)，也稱前兩種方法為單步方法。介紹了常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值求解的歐拉格式，這些格式分別具有一階和二階精度。同時(shí)，需要注意：1、歐拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商（向前、向后和中心差商）；2、步長(zhǎng)的選取。歐拉格式 一階精度隱式歐拉格式 一階精度兩步歐拉格式 二階精度4、 改進(jìn)的歐拉格式1、 預(yù)報(bào)值 (Prediction)由歐拉格式計(jì)算得一個(gè)初步的近似值，記為 ，并稱之為預(yù)報(bào)值，即2、校正值 (Correct)把上述 代入（8）式的右端計(jì)算得到另一個(gè)

21、值 yn+1 ，并稱為校正值，即4、 改進(jìn)歐拉格式的嵌套形式5、 改寫為平均化（平均斜率）形式 具有二階精度 第四章 方程求根的迭代法2、 線性迭代函數(shù)的啟示考察線性迭代函數(shù)(x)=kx+d的簡(jiǎn)單情形取初值x0=1.5,可得迭代結(jié)果：例1：求方程x3-x-1=0的唯一正根取初值x0=1.5,可得迭代結(jié)果：4、迭代過(guò)程的局部收斂性 例2：用迭代法求方程x=e-x,在x=0.5附近的一個(gè)根x*,要求精度為10-5.5、 迭代過(guò)程的收斂速度第2章 課后習(xí)題3.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量的高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度。所以，原式具有3次代數(shù)精度題5：證明上述3/8辛普森公式是插值型的二、牛頓方法的幾何意義切線與x軸的交點(diǎn)。因此，牛頓迭代方法又稱切線法。5：用牛頓法解方程xex-1=0四、開(kāi)方公式的推導(dǎo)牛頓方法的應(yīng)用例7：用牛頓法求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一個(gè)根第5章 線性方程組的迭代法Jacobi 迭代一： 設(shè)有方程組 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . . . . .