數(shù)據(jù)的n次擬合多項式講解

1、數(shù)據(jù)的 n 次擬合多項式 第一章第一章 緒論緒論 1.1 課題國內(nèi)外研究動態(tài)，課題研究背景及意義 1.2 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 1.3 發(fā)展趨勢 第二章第二章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論數(shù)據(jù)擬合的基本理論 2.1 最小二乘曲線擬合 2.2 線性擬合函數(shù) 2.3 二次擬合函數(shù) 2.4 多項式擬合函數(shù) 2.5 小結(jié) 第三章第三章 數(shù)據(jù)擬合的應(yīng)用實例數(shù)據(jù)擬合的應(yīng)用實例 3.1 數(shù)據(jù)擬合在物理實驗中的應(yīng)用 3.2 數(shù)據(jù)擬合在經(jīng)濟監(jiān)控中的應(yīng)用 3.3 模型評價 參考文獻參考文獻 附錄附錄 第一章 緒論 1.1 課題國內(nèi)外研究動態(tài)，課題研究背景及意義 數(shù)學(xué)分有很多學(xué)科，而它主要的學(xué)科大致產(chǎn)生于商業(yè)計算的需要、了解數(shù)

2、字間的關(guān)系、測量土地及預(yù)測天文事件。而在科技飛速發(fā)展的今天數(shù)學(xué)也早已 成為眾多研究的基礎(chǔ)學(xué)科。尤其是在這個信息量巨大的時代，實際問題中得到 的離散數(shù)據(jù)的處理也成為數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用領(lǐng)域中的重要的課題。 在解決實際工程問題和科學(xué)實驗的過程中，經(jīng)常需要通過研究某些變量之 間的函數(shù)關(guān)系，幫我們?nèi)フJ識事物內(nèi)在的規(guī)律和本質(zhì)屬性，這些變量間的未知 的關(guān)系一般隱含在從觀測、試驗而得到的一組離散的數(shù)據(jù)之中。所以，是否能 夠根據(jù)一組試驗觀測數(shù)據(jù)來找到變量之間的相對準確的函數(shù)關(guān)系成為了解決工 程實際問題的關(guān)鍵。 在實際問題中，通過觀測數(shù)據(jù)能否正確揭示某些變量之間的關(guān)系，進而正 確認識事物的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)屬性，往往取決

3、于兩方面因素。其一是觀測數(shù)據(jù) 的準確性或準確程度，這是因為在獲取觀測數(shù)據(jù)的過程中一般存在隨機測量誤 差，導(dǎo)致所討論的變量成為隨機變量。其二是對觀測數(shù)據(jù)處理方法的選擇，即 到底是采用插值方法還是用擬合方法1-3，插值方法之中、擬合方法之中又選用 哪一種插值或擬合技巧來處理觀測數(shù)據(jù)。插值問題忽略了觀測誤差的影響，而 擬合問題則考慮了觀測誤差的影響。但由于觀測數(shù)據(jù)客觀上總是存在觀測誤差， 而擬合函數(shù)大多數(shù)情況下是通過經(jīng)驗公式獲得的，因此要正確揭示事物的內(nèi)在 規(guī)律，往往需要對大量的觀測數(shù)據(jù)進行分析，尤為重要的是進行統(tǒng)計分析。統(tǒng) 計分析的方法有許多，如方差分析、回歸分析等。數(shù)據(jù)擬合雖然較有效地克服 了隨

4、機觀測誤差的影響，但從數(shù)理統(tǒng)計的角度看，根據(jù)一個樣本計算出來的擬 合函數(shù)(系數(shù))，只是擬合問題的一個點估計，還不能完全說明其整體性質(zhì)。因 此，還應(yīng)該對擬合函數(shù)作區(qū)間估計或假設(shè)檢驗，如果置信區(qū)間太大或包含零點， 則由計算得到的擬合函數(shù)系數(shù)的估計值就毫無意義。 所以，據(jù)科學(xué)和工程問題可以通過比如采樣、實驗等方法而得到若干的離 散的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些離散的數(shù)據(jù)，我們往往希望能得到一個連續(xù)函數(shù)(也就是曲 線)或者更加密集的離散方程與已知數(shù)據(jù)相吻合。這個過程叫做擬合。也就是說， 如果數(shù)據(jù)不能滿足某一個特定的函數(shù)的時候，而要求我們所要求的逼近函數(shù)“最 優(yōu)的” 靠近那些數(shù)據(jù)點，按照誤差最小的原則為最優(yōu)標準來構(gòu)造

5、出函數(shù)。我們 稱這個函數(shù)為擬合函數(shù)。 現(xiàn)在，對數(shù)據(jù)點進行函數(shù)擬合以獲得信息模型是許多工程應(yīng)用領(lǐng)域的一個 核心問題。而為了適應(yīng)這個多元化的世界中，為了能夠滿足各種各樣的應(yīng)用領(lǐng) 域的要求，針對他們而對各種擬合方法的改進和研究也從未停止過。 1.1.1 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 在通過對國內(nèi)外有關(guān)的學(xué)術(shù)刊物(如計算機科學(xué) 、 宇航學(xué)報 、 中原工 學(xué)院學(xué)報等)、國際國內(nèi)有關(guān)學(xué)術(shù)會議和網(wǎng)站的論文進行分析。數(shù)據(jù)擬合的研 究和應(yīng)用主要是面對各種工程問題，有著系統(tǒng)的研究和很大的發(fā)展。通過研究 發(fā)展使得數(shù)據(jù)擬合有著一定的理論研究基礎(chǔ)。尤其是關(guān)于數(shù)據(jù)擬合基本的方法 最小二乘法4-9的研究有著各種研究成果

6、。 但是，由于現(xiàn)實問題的復(fù)雜性，數(shù)據(jù)擬合還擁有很好的研究空間，還有很 多能夠優(yōu)化和創(chuàng)新的問題需要去研究和探索。各種算法的改進和應(yīng)用以及如何 得到合適的模型一直是一個比較熱門的研究領(lǐng)域。 例如，國內(nèi)外文獻里提出了很多基于形狀的描述方法，比如傅氏描述子法、 多邊形法、累積角法等, 其中以二次曲線和超二次曲線來擬合物體的邊界形狀 并進行物體的描述已獲得廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)在,我們應(yīng)用高次隱式多項式曲線來作為 物體的幾何模型受到廣泛的重視。應(yīng)用高次隱式多項式曲線和曲面10-15為各個 領(lǐng)域的數(shù)據(jù)進行可視化建模還沒有廣泛的研究。用隱式多項式曲線來描述數(shù)據(jù) 點集合的輪廓有天然的優(yōu)勢,在數(shù)據(jù)點集合輪廓的擬合過程中，

7、為業(yè)務(wù)信息建模 所具有的優(yōu)點，其它建模方法根本無法比擬，這主要是因為隱式多項式曲線有 著精確的表達能力，隱式多項式曲線的參數(shù)完全取決于它的次數(shù)和系數(shù)，解析 式明確，操縱和使用方便，它還具有著天然的數(shù)據(jù)噪聲過濾能力和修補能力。 所以說，在現(xiàn)在這個各個工程領(lǐng)域飛速發(fā)展的今天，數(shù)據(jù)擬合在實際應(yīng)用與研 究中仍然有著不小的發(fā)展空間 1.2 發(fā)展趨勢 應(yīng)用高次隱式多項式曲線和曲面為各個領(lǐng)域的數(shù)據(jù)進行可視化建模還沒有 廣泛的研究。用隱式多項式曲線來描述數(shù)據(jù)點集合的輪廓有天然的優(yōu)勢,在數(shù)據(jù) 點集合輪廓的擬合過程中，為業(yè)務(wù)信息建模所具有的優(yōu)點，其它建模方法根本 無法比擬，這主要是因為隱式多項式曲線有著精確的表達

8、能力，隱式多項式曲 線的參數(shù)完全取決于它的次數(shù)和系數(shù)，解析式明確，操縱和使用方便，它還具 有著天然的數(shù)據(jù)噪聲過濾能力和修補能力。 隱式多項式曲線的信息建模近年有了很大的發(fā)展。對隱式多項式曲線進行 分析看出，MinMax 算法十分精確地擬合了數(shù)據(jù)點的形狀，并且非常的穩(wěn)定， 只需要對 3L 集合的權(quán)值參數(shù)調(diào)整問題做進一步的研究，MinMax 等隱式多項式 曲線的擬合算法拋棄了需要迭代的優(yōu)化算法，只需要求解一個線性方程組就能 夠確定隱式多項式曲線方程的系數(shù)，可以說已經(jīng)趨于成熟。我們可以預(yù)見，把 這種建模思想應(yīng)用到各種數(shù)據(jù)點集合之中必將帶來很大的發(fā)展空間。 隨著計算機的廣泛應(yīng)用，利用計算機相關(guān)軟件解數(shù)

9、據(jù)擬合問題也已經(jīng)成為 了不可缺少的步驟。 第二章第二章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論數(shù)據(jù)擬合的基本理論 科學(xué)和工程問題可以通過比如采樣、實驗等方法而得到若干的離散的數(shù)據(jù)， 根據(jù)這些離散的數(shù)據(jù)，我們往往希望能得到一個連續(xù)函數(shù)(也就是曲線)或者更 加密集的離散方程與已知數(shù)據(jù)相吻合。這個過程叫做擬合。也就是說，如果數(shù) 據(jù)不能滿足某一個特定的函數(shù)的時候，而要求我們所要求的逼近函數(shù)最優(yōu)的靠 近那些數(shù)據(jù)點，按照誤差最小的原則為最優(yōu)的標準來構(gòu)造出函數(shù)。 在科學(xué)計算中經(jīng)常要建立實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。給定函數(shù)的實驗數(shù)據(jù)，需 要用比較簡單和合適的函數(shù)來逼近(或擬合)實驗數(shù)據(jù)。這種逼近的特點是： (1) 是需要適度的精度的；

10、(2) 實驗數(shù)據(jù)有一些小的誤差； (3) 對于一些問題，可能有一些特殊的信息能夠用來選擇實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué) 模型。 逼近離散數(shù)據(jù)的基本方法就是曲線擬合，常采用最小二乘擬合。 曲線擬合問題的數(shù)學(xué)描述是，已知一組(二維)數(shù)據(jù)，i = 1,2,n(即平),(y x i i 面上的 n 個點，i = 1,2,n)，互不相同，尋找一個函數(shù)(曲線)y = f(x)，),(y x i iix 使得 f(x)在某種準則下與所有的數(shù)據(jù)點最接近，即曲線擬合得最好。 2.12.1 最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理 從整體上考慮近似函數(shù) )(xp 同所給數(shù)據(jù)點 ),( ii yx (i=0,1,m)誤差 iii

11、yxpr)( (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 iii yxpr)( (i=0,1,m)絕對值的最大值 i mi r 0 max ，即誤差 向量 T m rrrr),( 10 的范數(shù)；二是誤差絕對值的和 m i i r 0，即誤差向量 r 的 1 范數(shù)；三是誤差平方和 m i i r 0 2 的算術(shù)平方根，即誤差向量 r 的 2范數(shù)；前兩種 方法簡單、自然，但不便于微分運算 ，后一種方法相當(dāng)于考慮 2范數(shù)的平方， 因此在曲線擬合中常采用誤差平方和 m i i r 0 2 來 度量誤差 i r (i=0，1，m)的整 體大小。 數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù) )

12、,( ii yx (i=0,1,，m)，在取定的函 數(shù)類中,求 )(xp ,使誤差 iii yxpr)( (i=0,1,m)的平方和最小，即 m i i r 0 2 m i ii yxp 0 2 min)( 從幾何意義上講，就是尋求與給定點 ),( ii yx (i=0,1,m)的距離平方和為 最小的曲線 )(xpy （圖 6-1）。函數(shù) )(xp 稱為擬合函數(shù)擬合函數(shù)或最小二乘解，最小二乘解，求求 擬合函數(shù)擬合函數(shù) p(x)p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。 在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法. 61 2.2 線性擬合函數(shù)原理線性擬合函數(shù)原理 給定一

13、組數(shù)據(jù)，做擬合直線，均方誤差為 （6.2） 是二元函數(shù)，的極小值要滿足 整理得到擬合曲線滿足的方程： （6.3） 或 稱式（6.3）為擬合曲線的法方程。用消元法或克萊姆法則解出方程： a= = 2.3 二次擬合函數(shù)二次擬合函數(shù) 給定數(shù)據(jù)序列，用二次多項式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)。 設(shè)，作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差： （6.4） 由多元函數(shù)的極值原理，的極小值滿足 整理得二次多項式函數(shù)擬合的法方程： （6.5） 解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數(shù)。方程組（6.5）稱為多項式擬 合的法方程，法方程的系數(shù)矩陣是對稱的。當(dāng)擬保多項式階時，法方程的系數(shù)矩陣 是病態(tài)的，在計算中要用雙精度或一些特殊算法

14、以保護解的準確性。 2.42.4 多次擬合函數(shù)多次擬合函數(shù) 假設(shè)給定數(shù)據(jù)點 ),( ii yx (i=0,1,m)，為所有次數(shù)不超過 )(mnn 的多項式 構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一 n k k kn xaxp 0 )( ,使得 min)( 00 2 0 2 m i m i n k i k ikiin yxayxpI (1) 當(dāng)擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的 )(xpn 稱為最小二乘 擬合多項式。特別地，當(dāng)當(dāng) n=1n=1 時，稱為線性擬合或直線擬合。時，稱為線性擬合或直線擬合。 顯然 m i n k i k ik yxaI 0 2 0 )( 為 n aaa, 10 的多元函數(shù)，

15、因此上述問題即為求 ),( 10n aaaII 的極值 問題。 由多元函數(shù)求極值的必要條件，得 njxyxa a I m i j i n k i k ik j , 1 , 0, 0)(2 00 (2) 即 njyxax n k m i i j ik m i kj i , 1 , 0,)( 000 (3) （3）是關(guān)于 n aaa, 10 的線性方程組，用矩陣表示為 m i i n i m i ii m i i n m i n i m i n i m i n i m i n i m i i m i i m i n i m i i yx yx y a a a xxx xxx xxm 0 0 0 1

16、 0 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 00 1 (4) 式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。 可以證明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。 從式（4）中解出 k a (k=0,1,，n)，從而可得多項式 n k k kn xaxp 0 )( (5) 可以證明，式（5）中的 )(xpn 滿足式（1），即 )(xpn 為所求的擬合多項式。我 們把 m i iin yxp 0 2 )( 稱為最小二乘擬合多項式 )(xpn 的平方誤差，記作 m i iin yxpr 0 2 2 2 )( 由式(2)可得 m i n k m i i k iki yxayr 000

17、2 2 2 )( (6) 多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步： (1)(1) 由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)散點圖，確定擬合多項式的次數(shù) n n； (2)(2) 列表計算列表計算 m i j i njx 0 )2 , 1 , 0( 和和 m i i j i njyx 0 )2 , 1 , 0( ； (3)(3) 寫出正規(guī)方程組，求出寫出正規(guī)方程組，求出 n aaa, 10； (4)(4) 寫出擬合多項式寫出擬合多項式 n k k kn xaxp 0 )( 。 2.5 本章小結(jié)本章小結(jié) 本章闡述了數(shù)據(jù)擬

18、合的基本理論及其方法。用最小二乘法論理引出了線性以及二次曲 線擬合的方法，并推廣至多元擬合。分別詳細介紹了各種方法的理論及其公式。并分別對 曲線擬合以及多元擬合的求解的基本步驟做出了歸納。通過本章可以掌握數(shù)據(jù)擬合的基本 方法以及理論基礎(chǔ)。 第三章第三章 MATLAB 解應(yīng)用問題實例解應(yīng)用問題實例 3.13.1 數(shù)據(jù)擬合在物理實驗中的應(yīng)用數(shù)據(jù)擬合在物理實驗中的應(yīng)用 現(xiàn)在有一為了測量線性電阻元件伏安特性的物理實驗。實驗數(shù)據(jù)見表3-1。 表3-1 測量線性電阻元件伏安特性的實驗數(shù)據(jù) i / A i I/ V i Ui/ A i I/ V i U 10060.0495 20.00917O.0616 3

19、0.020280.0737 40.030390.0828 50.0394100.0929 由于試驗的目的是研究關(guān)于線性電阻的伏安特性，所以設(shè)擬合多項式為 (3-1) 01 / V/ AUaa I 將數(shù)據(jù)表代入數(shù)據(jù)擬合的基本公式里，得此實驗的正則方程組 01 01 100.45545 0.4550.02952.9010 aa aa = 它的解為a0= 0.1062 ，a1= 96.5662 因此這一組數(shù)據(jù)的最小二乘法擬合為 U/V=0.1062+96.5662I/A n=1時，其各擬合圖像為： 利用最最小二乘法來分析物理實驗里所測得的實驗數(shù)據(jù)，我們可以根據(jù)測 得的數(shù)據(jù)擬合出近似函數(shù)，并得到比較精

20、確的解?？傊?，在實際的實驗中，我 們應(yīng)當(dāng)采用盡可能多的方法去分析數(shù)據(jù)，使得實驗更有意義。 3.23.2 數(shù)據(jù)擬合在經(jīng)濟監(jiān)測中的應(yīng)用數(shù)據(jù)擬合在經(jīng)濟監(jiān)測中的應(yīng)用 根據(jù) 1995 年到 2003 年中國 GDP 增長率變化情況,建立回歸方程,具體數(shù)據(jù)如下: 表 3.3.1 1995 年到 2003 年中國 GDP 增長率變化 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 GDP 10.5 9.6 8.8 7.8 7.1 8 7.3 8 9.1 數(shù)據(jù)來源：中國商業(yè)部 GDP 報表(GDP 為百分比) 為了研究的方便,年份從 1995 年到 2003 年分別用 1 到 9 這 9 個數(shù)字代替.由表 3.1

21、可 以看出 GDP 的增長率先減后增,如果采用線性回歸,由于擬合誤差太大,嚴重影響了預(yù)測的效 果.觀察其變化規(guī)律采用拋物線回歸的方法是比較合適的,令擬合多項式為 k n k kx axE 0 )( （3.1） 我們采用的是拋物線的形式,故 n=2,即 2 210 )(xaxaaxe （3.2） 根據(jù)“最小二乘法原理”對于對數(shù)據(jù)（其中）應(yīng)使n( ,)1,2, ; ii x y inN=9 3 =最小值 2 1 ( ) N ii i FyF x 當(dāng)時，則（3.2）中的系數(shù)滿足方程組:n=2 )( )( 24 2 3 1 2 0 3 2 2 10 2 210 yxxaxaxa xyxaxaxa yx

22、axaa （3.3） 式子中的是未知數(shù),系數(shù),常數(shù)項. 210 ,aaa N i k i k x N x 1 1 1 1 () N kk ii i x yx y N k=0,1,2,3,4 按照上面的過程,對表中的數(shù)據(jù)進行擬合,我們首先對方程組的系數(shù)和常數(shù)項作如下的 處理:為了讓數(shù)據(jù)精確表達我們想要的結(jié)果,對不能除盡的系數(shù),小數(shù)點后保留 6 位;對常數(shù) 項則保留小數(shù)點后 4 位.這樣得到的增廣矩陣如下: （3.4） 003+2.3252e 15333 2025 285 367.8000 2025 285 45 76.2000 285 45 9 經(jīng)過計算,最后得到的回歸方程如下: 2 0.143

23、5x1.6547x-12.197y （3.5） 當(dāng) n=2 時，擬合圖像為： 表 3.3.2 數(shù)據(jù)擬合下的誤差表 年份 實際值 擬合值 誤差 1 10.5 10.6858 0.1858 2 9.6 9.462 -0.1384 3 8.8 8.5244 -0.2756 4 7.8 7.874 0.0742 5 7.1 7.511 0.411 6 8 7.435 -0.5652 7 7.3 7.6456 0.3456 8 8 8.1434 0.1434 9 9.1 8.9282 -0.1718 初步計算其中的最大誤差為-0.57, 誤差范圍相對較小，擬合曲線與元數(shù)據(jù) 基本重合，因此該擬合曲線可以較

24、為準確的預(yù)測GDP的發(fā)展趨勢。 3.33.3 模型評價模型評價 該方法具有如下優(yōu)點： (1)計算結(jié)果惟一，計算量小，便于在PLC、單片機等硬件設(shè)備上實現(xiàn)； (2)可精確、方便地實現(xiàn)多年份的GDP增長變化進行實時監(jiān)測； (3)當(dāng)所需要的檢測數(shù)據(jù)改變時，只需調(diào)整對應(yīng)多項式的系數(shù)，不必改動其 它程序設(shè)定，能真正的做到擬合用途多元化； (4)保留了原有數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，又增加了數(shù)據(jù)的擬合發(fā)展趨勢，讓經(jīng)濟學(xué)家能夠更直 觀的發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟中的發(fā)展態(tài)勢，對國家的經(jīng)濟政策作出調(diào)整提供了有力的依據(jù)。 參考文獻參考文獻 1李慶揚. 數(shù)值分析. 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006，6469 2程毛林. 數(shù)據(jù)擬合函數(shù)的最小二乘積分法. 大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(1)：7074 3張韻華，奚梅成，陳效群 數(shù)值計算方法與算法（第二