初中幾何圓、扇形、弓形的面積及陰影部分面積專項

1、初中幾何圓、扇形、弓形的面積及陰影部分面積專項一、圓的面積計算公式：S=R2，圓心角是1的扇形面積等于圓面積的，圓心角是n度的扇形面積等于圓的面積的，扇形的弧長等于l=,S扇=lR。二、運用公式法、割補法、拼湊法、等積變化法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、構(gòu)造方程法等方法求組合圖形的面積。三、運用割補法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、等積變換法、容斥原理求陰影部分面積。1、弓形面積弓形的面積可以轉(zhuǎn)化為扇形的面積與三角形的面積之差，如下圖所示，弓形AmB的面積S弓形=S扇性AOB-SAOB 弓形的面積可以轉(zhuǎn)化為：扇形的面積與三角形的面積之和，如下圖所示弓形AmB的面積S弓形= S扇性AOB+SAOB注：當(dāng)弓形所含的弧是劣弧

2、時如甲圖所示，弓形AmB的面積S弓形=S扇性AOB-SAOB 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖乙所示，AnB的面積S弓形= S扇性AOB+SAOB 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，弓形的面積S弓形=S圓如圖：半徑OA=6cm,C為OB的中點，AOB=120，求陰影部分面積S。 （右：乙圖） 解：由圖形可知，S陰影ABC=S扇性ABO-SACO，而S扇形ABO=12，SACO=63sin60=，所以S陰影ABC=()cm2。 2、割補法 凡求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形面積問題，一般都要把它轉(zhuǎn)化為三角形、扇形、弓形的面積來求解，在進行復(fù)雜的圖形的面積計算時，時常通過添加輔助線，把圖形分割成若干個基本圖形求解，這種求

3、解的方法是經(jīng)常用到的。如圖：O中的弦AC=2cm，圓周角ABC=45,求圖中陰影部分的面積。（部分與整體） 解：做O的直徑AB1，則連結(jié)OC、B1C，ACB=90，B=B1，AB1=，OA=,SAOC=1,S扇形AOC=,S陰影=S扇形AOC-SAOC=-1 例二：如圖在兩個半圓中大圓的弦MN與小圓相切,D為切點，且MNAB，MN=a，ON，CD分別為兩圓的半徑，求陰影部分的面積。 解：取MN的中點為E，連結(jié)OE，OEMN，且EN=MN=a，D為切點，CDMN,又MNAB，OED=EDC=DCO=90，四邊形OEDC是矩形，OE=CD，在RTOEN中，ON2-OE2=EN2=(a)2=a2，S

4、陰影=SO- SC= ON2-CD2=(ON2-CD2)= (ON2-OE2)= a2=例3、如圖在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以A為圓心，AD為半徑畫弧，弧交BC于F，交AB的延長線于E，求陰影部分面積。解：在RTABF中，AB=1，AF=AD=2，sinFAB=,FAB=,所求面積S=S扇形AEF-SABF=答：所求陰影部分面積是。練習(xí)：1、如圖同心圓中，兩圓半徑分別為2和1，AOB=120，則陰影部分的面積為（ ）A、 B、 C、 D、4 2、如圖在平行四邊形ABCD中，BDAD,以BD為直徑作圓，交AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，則圖中陰影部分的面積為（

5、 ）A、 B、 C、 D、 3、如圖設(shè)計一個商標圖案（圖中陰影部分），矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8，以點A為圓心，AD為半徑作圓，則商標圖案的面積等于（ ）A、 B、4+6 C、3+8 D、3+6 4、如圖,正方形ABCD的邊長為a，以A為圓心，AD為半徑作弧BD，又以AD為直徑在正方形內(nèi)作半圓，則曲線ABDA所圍成的陰影面積為 。 5、一個正方形有一個內(nèi)切圓和一個外接圓，則這兩個圓的面積的比為 。 6、如圖：在RtABC中，B=90，AB=BC=4cm，以AB為直徑的圓交AC于D，求圖中陰影部分面積。 7、如圖：O的半徑OAOB，且OA=2，C為OB的中點，過C點作OA的平行線交

6、弧AB于點D，求圖中陰影部分的面積。3、容斥原理： 有些組合圖形可以根據(jù)容斥原理來解答。下圖中，長方形ABCD的長是6厘米，寬是4厘米，求圖中陰影部分的面積。解：這道題可以用容斥原理來解答：S陰=S扇形ABE+S扇形ADF-S長方形ABCD = =16.82（平方厘米）如圖O內(nèi)切正ABC于點D、E、F，分別以A、B、C為圓心，AD長為半徑作弧，已知正ABC的邊長為a，求圖中陰影部分的面積。 解：圖中陰影部分的面積為S陰=SO+3S扇形ADF-SABC=例3：如圖，分別過邊長為a的正ABC的每兩個頂點和中心向三角形內(nèi)作弧，求陰影部分的面積。 解：圖中陰影部分面積S陰=3S弓形AOB-SABC=-

7、= 練習(xí)：1、如圖，在直角三角形ABC中。C=90，AC=2，AB=4，分別以AC、BC為直徑做半圓，則圖中陰影部分面積為（ ）A、 B、 C、 D、2、如圖正方形ABCD的邊長為2cm，分別以A、C為圓心，此正方形邊長為半徑畫弧，兩弧圍成的陰影部分面積是（ ） 圖(1) A、 B、 C、 D、3、等腰直角三角形直角邊AC=8，求圖中陰影部分的面積。4、如圖：正方形邊長為4，求圖中陰影部分的面積。4、平移法例1、如圖，已知扇形AOB的圓心角為60，半徑為6，C、D分別是弧AB的三等分點，則圖中陰影部分面積為 。分析與解：C、D為弧AB的三等分點，所以三段弧所對的圓心角相等，所以，OC、OD所分

8、成的三個扇形面積相等，所以可以平移到一個扇形中，于是陰影部分面積等于。計算下圖中陰影部分面積 解：把長方形分成兩個相等的正方形，將右邊正方形中的陰影部分向左平移，陰影部分正好是一個正方形，如右圖所示，所求陰影部分的面積就是該正方形的面積。6*6=36平方厘米。=5、等積轉(zhuǎn)化特征：同底（等底）等高的兩個三角形面積相等。 同高（等高）等底的兩個三角形面積相等。如圖：在RtABC中，AC=BC，DEF的圓心為點A，若曲邊形BDE與CEF的面積相等，求AD：DB的值。 解： SABC=SBDE+SADEC S扇形ADF=SECF+SADEC SBDE=SCEF SABC=S扇形ADF 設(shè)：AC=BC=

9、1，則AB=，所以 例2、如圖已知半圓的直徑BC=10cm，AB=AD，ACD=35，則圖中的陰影部分面積等于。 解：連結(jié)OA、OD，AB=AD，弧AB=弧AD，2=ACD，又ACD=352=35度，又AO=OC，1=2=35，1=ACD，AO=DC,SAOD=SADC ,S陰影=S扇形OCD=例3：如圖已知半圓的直徑AB=12cm，點C、D是這個半圓的三等分點，求弦AC、AD和弧CD圍成的陰影部分的面積。 解：因為C、D為半圓的三等分點，所以弧AC=弧CD=弧BDAB， S陰影=S半圓-SAOD-S扇形OBD=S半圓-SAOC-S扇形OBD=練習(xí)1、如圖在以AB為直徑的半圓上，過B作半圓的切線BC，已知AB=BC=a，連結(jié)AC交半圓于D，則圖中陰影部分的面積是？ 2、下圖中等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，陰影部分甲與乙的面積相等，求扇形AEF所在的圓的面積。強化訓(xùn)練BBA2548BBA7如圖，A是半徑為2的O外一點，OA4，AB