理解傅里葉級(jí)數(shù)

1、第十章第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 10.5 10.5 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)* 10.5.610.5.6 小結(jié)小結(jié) 10.5.1 10.5.1 三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 10.5.2 10.5.2 以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 10.5.3 10.5.3 區(qū)間區(qū)間 上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 2 , 10.5.4 10.5.4 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 10.5.5 10.5.5 以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) l 2 10.5.1 10.5.1 三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系的正交性三角級(jí)數(shù)與三角函數(shù)系

2、的正交性 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )sincos( 2 1 0 nxbnxa a nn n 稱為三角級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)， 其中 ), 2 , 1(, 0 nbaa nn 是常數(shù) 稱函數(shù)族 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx 為三角函數(shù)系三角函數(shù)系 三角函數(shù)系的正交性是指： 三角函數(shù)系中 任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間 , 上 的積分等于零 即 0cosnxdx1,2,n 0sinnxdx1,2,n 0cossinnxdxkx,1,2,k n 0sinsinnxdxkx ,1,2,k n kn 0coscosnxdxkx,1,2,k n kn ,21 2 dx nxdx

3、2 cos1,2,n nxdx 2 sin1,2,.n 10.5.2 10.5.2 以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 2 通常，由下述公式確定的 ), 2 , 1(, 0 nbaa nn 稱為函數(shù) )(xf的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) ,)( 1 0 dxxfa ,cos)( 1 nxdxxfan1,2,n ,sin)( 1 nxdxxfbn1,2,.n 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf 將傅里葉系數(shù)值代入 展開(kāi)式的右端 )(xf 得到的三角級(jí)數(shù) 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 稱為函數(shù) )(xf的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)

4、數(shù) 定理定理1 1（收斂定理，狄利克雷充分條件）設(shè) )(xf是周期為 2的周期函數(shù) 如果它滿足 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷 點(diǎn) 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn) 則 )(xf的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 并且： (1) 當(dāng) x是 )(xf 的連續(xù)點(diǎn)時(shí) 級(jí)數(shù)收斂于 ; )(xf (2) 當(dāng) x是 )(xf 的間斷點(diǎn)時(shí) 級(jí)數(shù)收斂于 .)0()0( 2 1 xfxf 例例1 1 設(shè) )(xf是周期為 2的周期函數(shù) 它在 , ) 上的表達(dá)式為 , 0 1 0 1 )( x x xf 將 )(xf展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 解解 所給函數(shù) )(xf滿足收斂定理的條件， 函數(shù)在點(diǎn) xk(0, 1,2,)k 處不連續(xù)

5、 在其它點(diǎn)處連續(xù)， 從而由收斂定理知道 )(xf 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng) xk 時(shí)收斂于 0) 11( 2 1 )0()0( 2 1 xfxf 當(dāng) xk時(shí)級(jí)數(shù)收斂于 . )(xf 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下 1 ( )cos n af xnxdx 0 0 11 ( 1)cos1 cos0nxdxnxdx (0,1,2,)n nxdxxfbnsin)( 1 0 0 sin1 1 sin) 1( 1 nxdxnxdx 0 0 cos 1 cos 1 n nx n nx 1coscos1 1 nn n 2 (1 ( 1) ) n n 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 4 n n n 于是 )(

6、xf的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 ) 12sin( 12 1 3sin 3 1 sin 4 )( xk k xxxf 10.5.3 10.5.3 區(qū)間區(qū)間 上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) , 例例2 2 將函數(shù) 0, 0, )( xx xx xf展開(kāi)成 傅里葉級(jí)數(shù) 解解 將函數(shù) )(xf 延拓成以 2為周期的函數(shù) , )(xF易知，函數(shù) )(xF滿足收斂定理的條 件，傅里葉系數(shù)為 0 0 d 2 d)( 1 d)( 1 xxxxfxxFa 2 0 2 2 x dcos)( 1 dcos)( 1 xnxxfxnxxFan 0 2 0 cossin 2 dcos 2 n nx n nxx xnxx

7、2 2 4 21 2 (21)(cos 1) 02 nk kn n nk ),2,1(k 0dsin)( 1 dsin)( 1 xnxxfxnxxFbn 所以，函數(shù) )(xf的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 22 411 ( )(coscos3cos5) 235 f xxxx ).(x 10.5.4 10.5.4 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)一、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 定理定理2 2 對(duì)于周期為 2的奇函數(shù) , )(xf其傅里葉 級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)，即傅里葉系數(shù)為 0 (0,1, 2,), n an ,sin)( 2 0 nxdxxfbn(1, 2 ,)n 周期為 2的偶函數(shù) ,

8、)(xf其傅里葉級(jí)數(shù)為 余弦級(jí)數(shù)，即傅里葉系數(shù)為 ,cos)( 2 0 nxdxxfan (1, 2,)n 0 n b (1, 2,).n 例例3 3 將周期函數(shù) tEtusin)(展開(kāi)成傅里葉 級(jí)數(shù)，其中 E為正常數(shù) 解解 不妨將 )(tu看成是 2為周期的函數(shù)， 滿足 收斂定理，先計(jì)算傅里葉系數(shù) 0(1, 2 ,) n bn 4 dsin 2 d)( 2 0 0 0 E ttEttua 0d2sin 0 1 tt E a 0 0 dcossin 2 dcos)( 2 tnttEttntuan 0 d) 1sin() 1sin( ttntn E 2 4 2 (41) 021 E nk k n

9、k ),2,1(k 從而函數(shù) )(tu的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)余弦級(jí)數(shù) 1 2 2cos 14 1 4 2 )( k kx k EE tu )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 ttt E . )(t 二、區(qū)間二、區(qū)間 上的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)上的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 0, 0, 將一個(gè)定義在 上的函數(shù))(xf進(jìn)行拓展 )0 ,(),( 0, 0 , 0(),( )( xxf x xxf xF 這樣構(gòu)造的函數(shù) )(xF在 ),(上是一個(gè)奇 函數(shù)，按這種方式拓展函數(shù)定義域的過(guò)程 稱為奇延拓。奇延拓。 同理，構(gòu)造函數(shù) 為 )(xF )0 ,(),( , 0),( )( xx

10、f xxf xF 按這種方式拓展函數(shù)定義域的過(guò)程稱為偶延拓偶延拓 例例4 4 將函數(shù) )0(1)(xxxf 分別展開(kāi)成 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 解解 先展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù) 對(duì)函數(shù) )(xf作奇延拓， 再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計(jì)算傅里葉系數(shù) 00 dsin) 1( 2 dsin)( 2 xnxxxnxxfbn 0 2 cossincos 2 n nx n nx n nxx )coscos1 ( 2 nn n 22 21 21 1 2 nk k nk k ),2, 1(k 從而可得正弦級(jí)數(shù) 22 1(2)sinsin2sin3sin4) 234 xxxxx )0( x 其中在端點(diǎn) , 0

11、x處，級(jí)數(shù)的和為0 再把函數(shù)展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù) 對(duì)函數(shù) )(xf作奇 延拓，再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計(jì)算傅里葉系數(shù) 2) 2 ( 2 d) 1( 2 0 2 0 0 x x xxa 0 dcos) 1( 2 xnxxan 0 2 sincossin 2 n nx n nx n nxx ) 1(cos 2 2 n n 2 4 21 (21) 02 nk k nk ),2, 1(k 從而可得余弦級(jí)數(shù) 22 411 11coscos3cos5 235 xxxx (0)x 10.5.5 10.5.5 以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) l 2 定理定理3 3 設(shè)周期為

12、l 2的周期函數(shù) )(xf滿足收斂 定理?xiàng)l件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng) x是 )(xf的連 續(xù)點(diǎn)時(shí)，有 0 1 ( )(cossin) 2 nn n anxnx f xab ll 其中 ),2, 1(,dsin)( 1 ),2, 1,0(,dcos)( 1 nx l xn xf l b nx l xn xf l a l l n l l n 例例5 5 設(shè) )(xf 是周期為4的周期函數(shù) 它在 2,2)上的表達(dá)式為 20 02 0 )( x k x xf 將 )(xf展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，其中 k為非零 常數(shù) 解解 這里 2l 0 2 sin 2 cos 2 1 2 0 2 0 xn n k dx xn

13、kan kkdxdxa 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 2 2 0 0 1 sincos 222 n n xkn x bkdx n 2 1, 3, 5, (1 cos) 0 2, 4, 6, k nk nn n n 于是 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 )( xxxkk xf (,0, 2, 4,)xx 且在點(diǎn) 0, 2, 4,x 處 )(xf的傅里葉級(jí)數(shù) 收斂于 . 2 k 例例6 6 將函數(shù) )20()(xxxf展開(kāi)成 （1）正弦級(jí)數(shù)； （2）余弦級(jí)數(shù) 解解 （1）將 )(xf先作奇延拓，再作周期 延拓，計(jì)算傅里葉系數(shù)得 ),2, 1,0(

14、0nan x xn xbnd 2 sin 2 2 2 0 22 0 22 cossin 22 nxnx x nn ),2, 1() 1( 4 cos 4 1 n n n n n 從而可得正弦級(jí)數(shù) , 2 sin ) 1(4 )( 1 1 xn n xf n n )20( x （2）將 )(xf先作偶延拓，再作周期延拓， 計(jì)算傅里葉系數(shù)得 2d 2 2 2 0 0 xxa x xn xand 2 cos 2 2 2 0 22 0 22 sincos 22 nxnx x nn 1) 1( 4 22 n n 12, ) 12( 8 2,0 22 kn k kn ),2, 1(k 從而可得余弦級(jí)數(shù) )20( 2 )