2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章圖形的相似知識(shí)講解及例題演練北師大版

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精圖形的位似-知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解位似多邊形的概念,知道位似變換是特殊的相似變換,能利用位似的方法,將一個(gè)圖形放大或縮小；2、能在同一坐標(biāo)系中,感受圖形放縮前后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、位似多邊形1。位似多邊形定義: 如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)o，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)o 點(diǎn)的距離之比都等于一個(gè)定值k，例如，如下圖，oa=koa（k0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)o叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋?zhuān)何凰茍D形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形。 2.位似圖形的性質(zhì):（1)位似圖形的對(duì)應(yīng)

2、點(diǎn)相交于同一點(diǎn),此點(diǎn)就是位似中心;（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.3。 平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱(chēng)的變換后,雖然對(duì)應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒(méi)有改變，即兩個(gè)圖形是全等的;而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的4。 作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心;第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線； 第三步:在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例； 第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn). 要點(diǎn)詮釋?zhuān)何凰浦行目梢匀≡诙噙呅瓮?、多邊形?nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位

3、似中心不同的畫(huà)法。要點(diǎn)二、坐標(biāo)系中的位似圖形 在平面直角坐標(biāo)系中,將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k（k0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為k|。要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)等于原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)乘以（或除以）k或k?！镜湫屠}】類(lèi)型一、位似多邊形1. 下列每組的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（）。a. b。 c. d. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷，即可得出答案【答案】d【解析】解：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)的兩個(gè)相似多邊形叫位似圖形據(jù)此可得a、b、c三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形都

4、是位似圖形；而d的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不能相交于一點(diǎn),故不是位似圖形故選d【總結(jié)升華】位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同；而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)舉一反三【變式】在小孔成像問(wèn)題中， 根據(jù)如圖4所示，若o到ab的距離是18cm，o到cd的距離是6cm，則像cd的長(zhǎng)是物ab長(zhǎng)的（ ）.a. 3倍 b。 c。 d. 不知ab的長(zhǎng)度，無(wú)法判斷【答案】c2. 利用位似圖形的方法把五邊形abcde放大1。5倍。abcde【答案與解析】即是要畫(huà)一個(gè)五邊形abcde，要與五邊形abcde相似且相似比a1b1c1d1e1為1。5。 畫(huà)法是： 1在平面上任取一點(diǎn)o。 2以

5、o為端點(diǎn)作射線oa、ob、oc、od、oe。3在射線oa、ob、oc、od、oe上分別取點(diǎn)a、b、c、d、e，使oa:oa ob：oboc：ocod：odoe：oe1.5. 4連結(jié)ab、bc、cd、de、ea.這樣：1.5. 則五邊形abcde為所求. 另外一種情況,所畫(huà)五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側(cè)?！究偨Y(jié)升華】由本題可知,利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小。舉一反三【變式】在已知三角形內(nèi)求作內(nèi)接正方形【答案與解析】作法：（1）在ab上任取一點(diǎn)g，作gdbc；（2）以gd為邊，在abc內(nèi)作一正方形defg;（3）連接bf，延長(zhǎng)交ac于f；（4）作fgcb，交ab于g，從f、g分

6、別作bc的垂線fe， gd；四邊形defg即為所求類(lèi)型二、坐標(biāo)系中的位似圖形3。 如圖，在1010的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)a，b,c，d均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)a為位似中心畫(huà)四邊形abcd，使它與四邊形abcd位似，且相似比為2（1）在圖中畫(huà)出四邊形abcd；（2）填空：acd是 三角形【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)ab到b,使ab=2ab,得到b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)b，同樣得到c、d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)c,d，再順次連接即可;(2)利用勾股定理求出ac2=42+82=80,ad2=62+22=40,cd2=62+22=40,那么ad=cd，ad2+cd2=ac2，即可判定acd是等腰直角三角形【答案與解析】解：（1)如圖所示:（2）ac

7、2=42+82=16+64=80，ad2=62+22=36+4=40,cd2=62+22=36+4=40，ad=cd，ad2+cd2=ac2，acd是等腰直角三角形故答案為:等腰直角【總結(jié)升華】本題考查了作圖位似變換畫(huà)位似圖形的一般步驟為:確定位似中心，分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形同時(shí)考查了勾股定理及其逆定理等知識(shí)熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及位似變換的定義是解題的關(guān)鍵4。 如圖abc的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a（1，1），b(2，3)，c(3，0)（1）以點(diǎn)o為位似中心畫(huà)def，使它與abc位似，且相似比為2(2

8、）在（1)的條件下，若m（a，b）為abc邊上的任意一點(diǎn),則def的邊上與點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的點(diǎn)m的坐標(biāo)為 【思路點(diǎn)撥】（1)把點(diǎn)a、b、c的橫、縱坐標(biāo)都乘以2可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)d、e、f的坐標(biāo),再描點(diǎn)可得def；把點(diǎn)a、b、c的橫、縱坐標(biāo)都乘以2可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)d、e、f的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)可得def;（2）利用以原點(diǎn)為位似中心的位似變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解【答案與解析】解:（1)圖略；（2)點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的點(diǎn)m的坐標(biāo)為（2a，2b)或（2a，2b）故答案為(2a，2b）或（2a,2b）【總結(jié)升華】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的