第3章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、第第3 3章章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程的品質(zhì)及控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程的品質(zhì)及 穩(wěn)態(tài)性能直接表征了系統(tǒng)的優(yōu)劣穩(wěn)態(tài)性能直接表征了系統(tǒng)的優(yōu)劣; ; 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的首要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的首要條件 系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而 與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)；與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)； 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，它標(biāo)志著系系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，它標(biāo)志著系 統(tǒng)的控制精度；統(tǒng)的控制精度； 系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)可定性或定量分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)的時(shí)域響

2、應(yīng)可定性或定量分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn) u系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，Routh判據(jù)； u誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義，靜態(tài)誤差系數(shù)及系統(tǒng)的型別； u線性定常一階、二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能的計(jì)算； u高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，偶極子及高階系統(tǒng)的降階。 3.1 3.1 控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及其性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及其性能指標(biāo) 一對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求一對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求 1、系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；、系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的； 2、系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求；、系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求； 3、系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。、系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。 二

3、控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)二控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 動(dòng)態(tài)響應(yīng)：描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 1動(dòng)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最 終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。 表現(xiàn)形式：衰減、發(fā)散或等幅振蕩。 動(dòng)態(tài)響應(yīng)除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng) 速度及阻尼情況等運(yùn)動(dòng)信息。 衡量標(biāo)準(zhǔn)：穩(wěn)態(tài)精度。 2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng) 輸出量的表現(xiàn)方式（輸出狀態(tài)）。 表現(xiàn)形式：穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提 供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。 三、控制系統(tǒng)的性

4、能指標(biāo)三、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 1穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 用穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的輸出量的期望值與實(shí)際值之間的差值來(lái) 衡量穩(wěn)態(tài)誤差。 表現(xiàn)形式：穩(wěn)態(tài)誤差。 誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。 2. 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 1）延遲時(shí)間）延遲時(shí)間td 指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值 c()c()的一半所需的時(shí)間。的一半所需的時(shí)間。 2）上升時(shí)間）上升時(shí)間tr 指響應(yīng)曲線首次從穩(wěn)態(tài)值指響應(yīng)曲線首次從穩(wěn)態(tài)值c(c() )的的 10%10%過(guò)渡到過(guò)渡到90%90%所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。 3）峰值時(shí)間）峰值時(shí)間tp 指響應(yīng)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個(gè)峰值所

5、需的時(shí)間。指響應(yīng)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。 4）調(diào)節(jié)時(shí)間）調(diào)節(jié)時(shí)間ts 指響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值指響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值5 5（或（或2 2）內(nèi)所需的時(shí)間。）內(nèi)所需的時(shí)間。 5）超調(diào)量）超調(diào)量% 指響應(yīng)的最大值指響應(yīng)的最大值c(tc(tp p) )超過(guò)穩(wěn)態(tài)值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值c()c()的百分?jǐn)?shù)，即的百分?jǐn)?shù)，即%100 )( )()( % c ctc p 6）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù)N 指在調(diào)節(jié)時(shí)間指在調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s內(nèi)，內(nèi)，c(t)c(t)偏離偏離c(c() )振蕩的次數(shù)，即振蕩的次數(shù)，即 。 T t N s 3.2 3.2 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 1、典型輸入信號(hào)：、典型輸入信

6、號(hào)： 指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號(hào)形式，在數(shù)學(xué)描述上加指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號(hào)形式，在數(shù)學(xué)描述上加 以理想化的一些基本輸入函數(shù)。以理想化的一些基本輸入函數(shù)。 2、典型輸入信號(hào)應(yīng)具備的條件：、典型輸入信號(hào)應(yīng)具備的條件： （1 1）數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于數(shù)學(xué)上的分析和處理；）數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于數(shù)學(xué)上的分析和處理； （2 2）易于在實(shí)驗(yàn)室中獲得。）易于在實(shí)驗(yàn)室中獲得。 0 t0 0 t )( A tr r(t) A r(t) Bt 2 1 )( 0 t0 0 tB )( s sR t tr 二、斜坡函數(shù) A=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記為l(t) 。R(s)=1/s。 B=1時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)。 一

7、、階躍函數(shù) r(t) 0 3 2 1 )( 0 t0 0 t 2 1 )( s sR Ct tr 三、拋物線函數(shù) C=1時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)。 t t t 0 0 , 0 t 0 t0 R lim )( 0 t tr 1R(s) 0 t0 0 t (t) 1 R 0 s A R(s) )-tAsin(r(t) 22 r(t) 四、脈沖函數(shù) 五、正弦函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，則稱為單位脈沖函數(shù)。 R t r(t) t 3.3 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 1 1 )( )s ( )( )()( )( TssR C s trtc dt tdc T 一階系統(tǒng)：以一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。 T t etc Ts

8、 T ssTs sRssC s ttr 1)( 1 11 1 1 )()()( 1 R(s) )(1)( 1、單位階躍響應(yīng) 標(biāo)準(zhǔn)形式: 傳遞函數(shù): 3.3.1 一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 0.02 4 0.05 3 %9898. 0)(,4 %9595. 0)(,3 %2 .63632. 01)( , 1. 1 T T t tcTt tcTt etcTt s 可得調(diào)整時(shí)間 時(shí) 時(shí) 時(shí) 系統(tǒng)輸出量的數(shù)值可以用時(shí)間常數(shù)去度量 T T e Tdt tdc T t T t t 數(shù)響應(yīng)曲線上確定時(shí)間?？捎么朔椒ㄔ趩挝浑A躍 響應(yīng)曲線的初始斜率為 11)( 1 . 2 00 說(shuō)明： T t etc 1)( 當(dāng)輸入信

9、號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)，系統(tǒng)的輸出稱為 單位脈沖響應(yīng)。 1 1 1 L)( 1 1 )( 1 1 )( 1)()( 1 T t e TTs tc Ts sR Ts sC tLsR 2、單位脈沖響應(yīng) 3、單位斜坡響應(yīng) 跟蹤誤差為T。 ,)( t )e-T(1c(t)-r(t)e(t) TeT-tc(t) 1 11 1Ts 1 C(s) s 1 R(s)t r(t) T t - T t - 2 22 2 Te Ts T s T ss 時(shí)， 1 1 s 1 1Ts 1 C(s) s 1 R(s) 2 1 r(t) 32 233 3 2 Ts T s T s T s t )1 ( 2 1 2 1 )(

10、22222 T t eTTtteTTTtttc T t 4、單位拋物線響應(yīng) )()()()( 3 3 2 2 tr dt d tr dt d tr dt d tr 拋物線斜坡階躍脈沖 )1( 2 1 )( 22 T t eTTtttc 拋物線 T t etc 1)( 階躍 T t e T tc 1 )( 脈沖 T t - TeT-t(t)c 斜坡 )()()()( 3 3 2 2 tc dt d tc dt d tc dt d tc 拋物線斜坡階躍脈沖 結(jié)果分析 輸入信號(hào)的關(guān)系為： 而時(shí)間響應(yīng)間的關(guān)系為： 3.3.2 一階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 1、調(diào)整時(shí)間、調(diào)整時(shí)間ts 經(jīng)過(guò)時(shí)間3T4T，響應(yīng)曲線已

11、達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%98%， 可以認(rèn)為其調(diào)整過(guò)程已完成，故一般取ts=(34)T。 2、穩(wěn)態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差ess 系統(tǒng)的實(shí)際輸出c(t)在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，接近于輸入 值，即 3、超調(diào)量超調(diào)量 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為非周期響應(yīng)，故系統(tǒng)無(wú)振蕩、 無(wú)超調(diào)， 。 0)()(lim trtce t ss 0 3.4 3.4 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.4.1 3.4.1 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式 典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1(a)所示, 它是由一個(gè)慣性環(huán) 節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)為 21 2 21 )( )( KKsTs KK s

12、R sC 令2n=K1K2/T, 1/T=2n, 則可將二階系統(tǒng)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式: 22 2 2)( )( nn n sssR sC (1) (2) 圖3-1 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為 )()()(2)( 22 trtctctc nnn 式中, 稱為阻尼比, n稱為無(wú)阻尼自振角頻率。與式(3)對(duì)應(yīng)的系 統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-1(b)所示。 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性, 可以用和n這兩個(gè)參量的形式加以 描述。這兩個(gè)參數(shù)是二階系統(tǒng)的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。由式(2)可得二 階系統(tǒng)的特征方程為 02 22 nns s 所以, 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為 1 2 2, 1 nn s 隨著阻尼比的不同, 二階系統(tǒng)特

13、征根(極點(diǎn))也不相同。 (3) 3.4.2 閉環(huán)極點(diǎn)的分布 二階系統(tǒng)的特征方程為 兩根為 的取值不同,特征根不同。 1s 2 1,2 nn 02 22 nns s 其中阻尼比、阻尼系數(shù) n 無(wú)阻尼振蕩頻率、自然振蕩頻率 1. 欠阻尼欠阻尼(01) 當(dāng)01時(shí), 兩特征根為 dnn jjs 2 2, 1 1 這是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。 如圖(a)所示。 n 其中衰減系數(shù) 2 1 nd 其中阻尼振蕩頻率 2. 臨界阻尼臨界阻尼(=1) 當(dāng)=1時(shí), 特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根, 即 s1,2=-n 此時(shí), s1, s2如圖(b)所示。 3. 過(guò)阻尼過(guò)阻尼(1) 當(dāng)1時(shí), 兩特征根為 1 2 2, 1 nn

14、s 這是兩個(gè)不同的實(shí)根, 如圖(c)所示。 4. 無(wú)阻尼(=0) 當(dāng)=0時(shí), 特征方程具有一對(duì)共軛純虛數(shù)根, 即 n js 2, 1 此時(shí), s1, s2如圖(d)所示。 )( 1 1)( 1 )( 21 1 2 C(s) 10 (1) 2 2 2 2 2 2 2 n 2 2 n dn n dn n dndn n n ss s s jsjs s s sss 時(shí) 3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 2 2 2 2 - - 2 - 1 1 arctg cos 1sin )sin( 1 e -1sine 1 cose-1c(t) nd d t d t d t ttt n nn 響應(yīng)曲線是由穩(wěn)態(tài)分量和

15、暫態(tài)分量?jī)刹糠纸M成的 衰減振蕩曲線。 t n cos-1) 0 90t d sin(-1c(t) 22 11 22 2 C(s) 0)2( n s s ss n s n 時(shí) t n nn n n n nn n n ettc ssssssss sC )1 (1)( 1 )( 1 1 )( 1 2 )( 1(3) 2 2 2 2 22 2 時(shí) 響應(yīng)曲線是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)超調(diào)單調(diào)上升曲線。 響應(yīng)曲線是不衰減的等幅振蕩曲線。 )1(12 1 a, )1(12 1 a 1 1 1 1 2 C(s) 1s 1)4( 22 2 22 1 2 2 2 1 22 2 2 2, 1 nnnn nn n nn s a

16、 s a s sss 一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)根根 e )1(12 1 e )1(12 1 -1c(t) )1( - 22 )1( - 22 2 2 t t n n 響應(yīng)曲線由穩(wěn)態(tài)分量1和兩個(gè)單調(diào)衰減的暫態(tài)分 量組成，是一條無(wú)超調(diào)單調(diào)上升的曲線。 2 2 d d 2 - 1 arctg 1 )tsin( 1 e -1c(t) 01- (5) n t n 時(shí) 一般在0.40.8間響應(yīng)曲線較好 響應(yīng)曲線是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)刹糠纸M成的 發(fā)散振蕩曲線。 圖 3-2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 典型二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征參量阻尼比和自然頻 率 對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程具有重要的影響，其中阻尼比 的影響更大。 在欠阻尼（01

17、）時(shí)，阻尼比越小，超調(diào)量越 大，上升時(shí)間越短。通常取=0.40.8為宜，此時(shí)超調(diào) 量適中，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。在臨界阻尼和過(guò)阻尼（1） 時(shí)，響應(yīng)曲線變成單調(diào)上升的曲線，阻尼比越大，上 升時(shí)間越長(zhǎng)。若二階系統(tǒng)的阻尼比不變， 變化，則 其振蕩特性相同，但響應(yīng)速度不同， 越大，響應(yīng)速 度越快。 結(jié)論：結(jié)論： n n n %100 )( )()( % c ctc )c(|)c(-c(t)| 3.4.4 二階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 1.定義 超調(diào)量 : 上升時(shí)間tr : 峰值時(shí)間tp：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。 振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時(shí)間內(nèi)響應(yīng)過(guò)程穿越其穩(wěn)態(tài)值C( ) 次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。 調(diào)節(jié)時(shí)間：?jiǎn)挝?/p>

18、階躍響應(yīng)進(jìn)入到使下式成立所需時(shí)間。 ，一般取05.002.0 單位階躍響應(yīng)第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。 % 1 arctan 1 ) 1 arctan( 1 t 1 tan: 1 )sin 1 (cos1)c(t , 1)( tt 2 d 2 2 r 2 2 r r n d rd rdrd r t n r t tte tc 得 由此得 即時(shí)當(dāng) 2.性能指標(biāo)的計(jì)算 (1)上升時(shí)間 r t 2 2 pd 2 pdn 2 pdd - 2 pd - n 2 - 1 , .3,2,0 ,0sin 0)cos 1 t(-sin )sin 1 t(cos- 0)cos 1 tsin(-e )sin 1 t(

19、cose- ,0 dt dc(t) )sin 1 (cose-1c(t) n n n ppd pdpd pd d d d pd d t d t tt dd t tt tt t t t t tt p p p n 則取因?yàn)榈谝粋€(gè)峰值時(shí)間 有由 （2）峰值時(shí)間 tp 由最大超調(diào)量的定義式和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)式可得 %100%100sin 1 cos %100sin 1 cos%100 )( )()( 2 2 pnpn pn tt pdpd t p p ee tte c ctc 即 %100% 2 1/ e （3）超調(diào)量% 由前面可知, 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)位于 一對(duì)曲線 2 1 1)

20、( t n e ty 之內(nèi), 這對(duì)曲線稱為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線?？梢圆捎冒j(luò)線代替 實(shí)際響應(yīng)曲線估算過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts, 所得結(jié)果一般略偏大。若允 許誤差帶是, 則可以認(rèn)為ts就是包絡(luò)線衰減到區(qū)域所需的時(shí)間, 則有 2 1 t n e 解得 2 1 1 1 1 1 1 nnt n s （4）調(diào)節(jié)時(shí)間 若取=5%, 并忽略 時(shí), 則得 )9 . 00( 1 1 1 2 n n s t 3 若取=2%, 并忽略 時(shí), 則得 2 1 1 1 n (00.9) n s t 4 根據(jù)振蕩次數(shù)的定義, 有 p s d s t t T t N 2 當(dāng)=5%和=2%時(shí), 可得 %)2( 12 %)5( 15 . 1

21、 2 2 N N （5） 振蕩次數(shù)N 若已知%, 考慮到 , 即 2 1/ % e 2 1 %1 n 求得振蕩次數(shù)N與最大超調(diào)量之間的關(guān)系為 %)2( %1 2 %)5( %1 5 . 1 n N n N (3.36) (3.37) 對(duì)典型二階系統(tǒng)，選擇參數(shù)使 3.4.5 二階工程最佳參數(shù) 707. 0 2 1 此時(shí)將 代入二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式 ，則開環(huán)傳遞函數(shù) GK(s)和閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)可分別寫成 n n T 2 1 2 1 ) 1(2 )( TsTs K sGK 122 1 )( 22 TssT s 根據(jù)暫態(tài)性能指標(biāo)的定義，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的暫態(tài) 性能指標(biāo)為： 超調(diào)量 上升時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間

22、 4.3%100%e% 2 1 - T n 7.4 1 t 2 r %)2(8Tt s %)5(6Tt s 以上一組參數(shù)就是二階工程最佳參數(shù)。 3.4.6 計(jì)算舉例 例3-1：設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中 K 10。 求該系統(tǒng)的(1)自然頻率n ，阻尼比，超調(diào)量%和調(diào) 節(jié)時(shí)間ts；（2）如果要求 0.707，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng) 參數(shù) K值? 由圖可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與標(biāo)準(zhǔn)形式相對(duì)照 于是得 自然頻率 阻尼比由 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間 (2）當(dāng)要求 0.707時(shí)，由2n 1，得 由此可以看出，要實(shí)現(xiàn)二階工程最佳參數(shù)的要求，必須降低開環(huán)增益. Kss K s 2 )( 22 2 2 )( nn n

23、 ss s 16. 3K n 得12 n 158.0 2 1 n %06100%e% 2 1 - )(6 3 st n s 5 . 0, 2 1 2 nn K 解：解： 例3-2：設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)的 超調(diào)量等于15%，峰值時(shí)間為0.8s。試確定系統(tǒng)參 數(shù)K和Td，并計(jì)算系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr和 調(diào)節(jié)時(shí)間ts。 由圖可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與標(biāo)準(zhǔn)形式相對(duì)照得 及 由已知條件得 ， 即 解出 再由 解出 所以 最后計(jì)算得 KsKTs K sR sC s d )1 ()( )( )( 2 K n dn KT12 517.0 %15100%e% 2 1 - 178. 0

24、05.21 1588. 4517. 0212 K T n d 05.21588. 4 22 n K 解：解： 897. 1 15. 0 1 ln 1 2 st n p 8 . 0 1 2 )05. 0(26. 1 588. 4517. 0 33 st n s srad n /588. 4 517. 018 . 0 2 st n r 538. 0 517. 01588. 4 517. 0arccos 1 22 .K , 1 %3 .16% c(t) , :33 之值及內(nèi)反饋系數(shù) 益試確定前置放大器的增 秒峰值時(shí)間 和調(diào)量 有超具階躍響應(yīng) 要求該系統(tǒng)的單位如圖所示已知某控制系統(tǒng)方框圖例 p t r

25、ad/s 3.6363. 3 1 2 1 0.55 . 0 %3 .16%100 2 1/ % p % ) 1 (: n n p t e np t 得 又 得 由 及計(jì)算出二階系統(tǒng)參數(shù)和由已知解 0.263 32. 1 10 2 101 n 2 2 2 2 s 2 R(s) C(s) (3) 10)101( 2 s 10K R(s) C(s) , (2) K K n n s n n Ks 解得解得 與標(biāo)準(zhǔn)形式比較與標(biāo)準(zhǔn)形式比較 并化成標(biāo)準(zhǔn)形式并化成標(biāo)準(zhǔn)形式求閉環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù) 例例3-4 原控制系統(tǒng)如下圖所示，引入速度反饋后的控制系統(tǒng) 如圖(b)所示。已知在圖(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

26、的超調(diào)量 %=16.4%，峰值時(shí)間tp=1.14s，試確定參數(shù)K和Kt，并計(jì)算 系統(tǒng)在(a) 和(b)的單位階躍響應(yīng)c(t)。 例3-25圖 解：對(duì)于 圖(b)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與典型二階系統(tǒng)相比較，有 而已知%=16.4% tp=1.14s 根據(jù) 求得 KsKKs K sG sR sC t B )1 ( )( )( )( 2 K n tn KK12 %4 .16%100% 2 1 e 5 . 0 st n p 01. 1 1 2 再根據(jù) 求得 將 代入(3-55)得 其單位階躍響應(yīng)為 srad n 16. 3 16. 35 . 0 n 和 216. 0 12 10 2 K K K n

27、t n )6074. 2sin(154. 11 )1sin( 1 1 1)( 58. 1 2 2 te tetc t n t n 對(duì)于系統(tǒng)(a)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與典型二階系統(tǒng)比較有 系統(tǒng)的最大超調(diào)量 峰值時(shí)間 其單位階躍響應(yīng)為 10 10 )( )( )( 22 ssKss K sR sC sGB 158. 0 16. 310 srad n %60%100% 2 1 e st n p 01. 1 1 2 )9 .8012. 3sin(016. 11)( 5 . 0 tetc t t 1sine 1 )1)(1( Lc(t) 1)(0 sinLc(t) 0)( 2 c(s) 2- 2 n 2

28、2 2 n 1 - n 2 n 2 2 n 1 - 2 2 2 n n n t nnnn n nn jsjs t s ss 3.4.7 二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) （1）無(wú)阻尼 脈沖響應(yīng) （2）欠阻尼 脈沖響應(yīng) 12 )1( )1( Lc(t) 1)( )( Lc(t) 1)( )1()1( 2 n 2 12 2 12 1 - 2 2 n 2 n 1 - 22 2 n 2 n tt nn nn t n nn n ee s s te s （3）臨界阻尼 脈沖響應(yīng) （4）過(guò)阻尼 脈沖響應(yīng) 1 arctan 1 arctan )1sin( -1 2 -1c(t) 10 1 )( 2 )( R(s) C(s)

29、 2 2 2 2 22 22 2 n n n t n nn n z te s sR ss zs 3.4.8 具有閉環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式 當(dāng) 時(shí)，對(duì)欠阻尼情況 222 n 2 1 )( 222 1 2 2 )1()( 02. 0 ln4 05. 0 ln3 %1002% 1 1 nn n z l s n z l s n p n r zl z t t e t t 這里 對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)為 閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)的相對(duì)位置 閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程特性的影響閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程特性的影響 當(dāng)阻尼比一定時(shí)，z值越小，則值越大，零點(diǎn)越靠近 虛軸，系統(tǒng)的振蕩

30、性越強(qiáng)。反之， z值越大，則值越小，零點(diǎn) 離虛軸越遠(yuǎn)，影響也越小。由于閉環(huán)零點(diǎn)的存在，系統(tǒng)的振蕩 性增加。 )1sin( -1 2 -1c(t) 2 2 22 te n t n 結(jié)論： 1.閉環(huán)零點(diǎn)可以加速二階系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程(起始段)； 2.使系統(tǒng)阻尼減小，超調(diào)量增大； 3.合理的取值范圍為 。 5)(2z n z n 3.5 3.5 二階系統(tǒng)的性能改善二階系統(tǒng)的性能改善 1. 利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與特征參數(shù)之間關(guān)系來(lái)改善性能利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與特征參數(shù)之間關(guān)系來(lái)改善性能 45)-(4 1, 1 2 1 , 12)( )( 12121 1 22 K TKKKK T T TssT K sR sY 46

31、)-(4 1 , )1( 1 2 , 1 12)( )( 21 21 2121 21 21 21 22 KK KK K TTKK TT KK TT T TssT K sR sY 可得以下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與特征參數(shù)之間的定性關(guān)系：可得以下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與特征參數(shù)之間的定性關(guān)系： 1）當(dāng)當(dāng)0 1時(shí)時(shí)，若開環(huán)放大系數(shù)，若開環(huán)放大系數(shù)K1或或K1K2 ，則，則 、 T 或或K ， % 和和Ns ，振蕩加劇，系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，振蕩加劇，系統(tǒng)穩(wěn)定性下降 ； 2）當(dāng)當(dāng)0 1時(shí)，時(shí)，若開環(huán)放大系數(shù)若開環(huán)放大系數(shù)K1或或K1K2 ，則，則 ， T 使使 n ， 響應(yīng)加快，調(diào)節(jié)時(shí)間響應(yīng)加快，調(diào)節(jié)時(shí)間ts ； 4）當(dāng)當(dāng) 1

32、時(shí)時(shí)，若系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，若系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T1或或T1T2 ，則，則 ，T ， n ， 過(guò)渡時(shí)間長(zhǎng)，調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)渡時(shí)間長(zhǎng)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts 。 47)-(4 1 , 1 , 1 12)( )( 1 1 1 1 1 1 22 K K K KK T T TssT K sR sY 例3-5 隨動(dòng)系統(tǒng) ，K=16，T=0.25，(1)求系統(tǒng)的n； (2) ，%，nd和ts，(3) 若=0.5，求K，計(jì)算%，nd 和ts。 22 2 2 2)( )( nn n ssKsTs K sR sY 解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：解：閉環(huán)傳遞函數(shù)： KTTK n 21 ， 1 825. 016 )1( s n 自自然然振振蕩蕩角角頻

33、頻率率 st en e ns d 5 . 1)825. 0/(33 06. 5 %45.44%100% 25. 025. 0162/1)2( 2 2 25. 01 5 . 0 25. 01 25. 0 調(diào)調(diào)節(jié)節(jié)時(shí)時(shí)間間： 衰衰減減比比： 系系統(tǒng)統(tǒng)超超調(diào)調(diào)量量： 阻阻尼尼系系數(shù)數(shù)： st s en e sTK ns n d 5 . 1)45 . 0/(33 425. 04 55.37 %32.16%100% 4)4(1 5 . 0)3( 1 5 . 01 5 . 01 5 . 0 12 2 2 調(diào)調(diào)節(jié)節(jié)時(shí)時(shí)間間： 自自然然振振蕩蕩角角頻頻率率： 衰衰減減比比： 超超調(diào)調(diào)量量： 則則 若若 說(shuō)明：

34、超調(diào)量下降，而衰減比大幅度增加，說(shuō)明振蕩明顯說(shuō)明：超調(diào)量下降，而衰減比大幅度增加，說(shuō)明振蕩明顯 減弱，但調(diào)節(jié)時(shí)間不變，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能得到改善。減弱，但調(diào)節(jié)時(shí)間不變，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能得到改善。 2.利用速度反饋來(lái)改善性能利用速度反饋來(lái)改善性能 48)-(4 2 )1( )1( )1( 1 )1( )( )( )( 22 2 2 nn n d d ss KsKTs K Tss sK Tss K sR sY sT 49)-(4 2 1 KT K T K d n ， 速度反饋控制可通過(guò)改變速度速度反饋控制可通過(guò)改變速度 反饋參數(shù)反饋參數(shù) d來(lái)調(diào)整阻尼系數(shù)來(lái)調(diào)整阻尼系數(shù) ， 為改善系統(tǒng)的性能提供了

35、另一為改善系統(tǒng)的性能提供了另一 個(gè)手段。個(gè)手段。 例3-6：在例4-1的系統(tǒng)中 加入速度反饋，要求阻尼 系數(shù)=0.5，且不改變結(jié) 構(gòu)參數(shù)K和T，確定d， 求上例中的各項(xiàng)指標(biāo). 1 825. 016 0625. 0 16 125. 0165 . 0212 s s K KT n d KT K T K d n 2 1 ， st n ns d 75. 0)85 . 0/(33 55.37 %32.16% 調(diào)節(jié)時(shí)間：調(diào)節(jié)時(shí)間： 衰減比：衰減比： 超調(diào)量：超調(diào)量： 加入速度反饋后，超加入速度反饋后，超 調(diào)量下降，衰減比增調(diào)量下降，衰減比增 加，同時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間被加，同時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間被 進(jìn)一步縮短，系統(tǒng)的進(jìn)一步縮短

36、，系統(tǒng)的 瞬態(tài)響應(yīng)性能得到較瞬態(tài)響應(yīng)性能得到較 大改善。大改善。 在實(shí)際控制系統(tǒng)中，在實(shí)際控制系統(tǒng)中，一般取一般取0.4 0.8，對(duì)應(yīng)的超調(diào)量在，對(duì)應(yīng)的超調(diào)量在 1.52% %a0a3 例例 3-6 已知系統(tǒng)特征方程 方程無(wú)缺項(xiàng)，且系數(shù)大于零。列勞斯表： 勞斯表中第一列元素大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即 所有特征根均s平面的左半平面。 0611126 234 ssss 6 61 455 6 6 61 6 116 121 116 6121 0 1 2 3 4 s s s s s 的個(gè)數(shù)。別該特征方程正實(shí)部根試用Routh判據(jù)判 054s3s2ss 設(shè)有下列特征方程 7-例3 234 5 s 0 6 s

37、 5 1s 0 4 2 s 5 3 1 s :列寫 :解 0 1 52-411 2 4-32 2 3 4 勞斯陣列 符號(hào)改變一次 符號(hào)改變一次 。故有兩個(gè)實(shí)部為正的根 次陣列第一列符號(hào)改變二 R Ro ou ut th h , 例例 3-8 已知系統(tǒng)的特征方程 ， 試判斷系統(tǒng)的正的特征根的個(gè)數(shù)。 解：解：它有一個(gè)系數(shù)為負(fù)的，根據(jù)勞斯判據(jù)知系統(tǒng)不穩(wěn)定。 但究竟有幾個(gè)右根，需列勞斯表： 勞斯表中第一列元素符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有2個(gè)右半 平面的根 064 23 ss 6 5.2 64 11 0 1 2 3 s s s s 2. Routh判據(jù)的特殊情況（幾點(diǎn)說(shuō)明） 、為簡(jiǎn)化計(jì)算，用一個(gè)正整數(shù)同時(shí)乘以或

38、除以某一行的各項(xiàng)， 不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。 2、對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，說(shuō)明有特征根位于復(fù)平面的右側(cè)，在 復(fù)平面右側(cè)特征根的數(shù)目，就等于勞斯陣中第一列系數(shù)符號(hào)改 變的次數(shù)。 3、勞斯陣中出現(xiàn)某一行的第一列項(xiàng)為零，而其余各項(xiàng)不全為零， 這時(shí)可以用一個(gè)有限小的正數(shù)來(lái)代替為零的那一項(xiàng)，然后按照 通常方法計(jì)算勞斯陣中的其余各項(xiàng)。列出勞斯陣以后，觀察第 一列數(shù)值，當(dāng)0時(shí)，含項(xiàng)的符號(hào)與上、下行符號(hào)進(jìn)行比較， 若系數(shù)符號(hào)相反，就說(shuō)明有符號(hào)改變。 4、勞斯陣中出現(xiàn)全零行，表明系統(tǒng)存在一些大小相等，符號(hào) 相反的實(shí)根或一些共軛虛根。為繼續(xù)計(jì)算勞斯陣，將不為零的 最后一行的各項(xiàng)組成一個(gè)輔助方程，由該方程對(duì)s求導(dǎo)數(shù)，用 求導(dǎo)

39、得到的各項(xiàng)系數(shù)來(lái)代替為零行的各項(xiàng)，然后繼續(xù)按勞斯陣 的計(jì)算方法寫出以下各行。 a.某行第1列元素為零，其余不為零，或不全為零。 例3-5：設(shè)系統(tǒng)特征方程為 ，試判別 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0133 234 ssss 解： （1）特征方程各項(xiàng)系數(shù)大于0； （2）列勞斯陣 當(dāng)0時(shí)， ，該項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，因此，勞斯陣中 第一列系數(shù)符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)特征根位 于復(fù)平面右側(cè)。 1 3 3 1(0 33 111 0 1 2 3 4 s s s s s 代替）用 0 3 3 勞斯判據(jù)的特殊情況 例3-9 設(shè)系統(tǒng)特征方程為 ，試判別 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0122 234 ssss 解： （1）特征方程各項(xiàng)系

40、數(shù)大于0； （2）列勞斯陣 當(dāng)0時(shí)， ，該項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，因此，勞斯陣中 第一列系數(shù)符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)特征根位 于復(fù)平面右側(cè)。 1 2 2 10 22 111 0 1 2 3 4 s s s s s 0 2 2 例3-10 設(shè)系統(tǒng)特征方程為 ， 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 01422)( 2345 ssssssD 解： 列勞斯表為 勞斯表中第1列元素不全為正數(shù)且符號(hào)改變了2次，所以系統(tǒng) 不穩(wěn)定，有2個(gè)特征根位于s平面的右側(cè)。 1 2 1 1 11 4 2 1 0 142 121 0 1 2 3 4 5 s s s s s s b.勞斯表某行全為零 說(shuō)明特征方程中存在一些大小相等，但方向相

41、反的根。 例3-11 給定控制系統(tǒng)特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：由系統(tǒng)的特征方程計(jì)算勞斯表如下 044956 2 3456 ssssss 00 451 451 4961 3 4 5 6 s s s s 勞斯陣中s3行的各項(xiàng)全部為零，為此用不為零的最后一行(s4 行) 的各項(xiàng)組成輔助方程為 045)( 24 sssF 0104 )( 3 ss ds sdF 將輔助方程對(duì) s 求導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)數(shù)方程 用導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代 s3行中為零的項(xiàng)，并計(jì)算以 下各行的系數(shù)，得勞斯陣為 新勞斯陣的第一列系數(shù)全為正，即系統(tǒng)特征方程中沒(méi)有位 于復(fù)平面右側(cè)的根。由于出現(xiàn)全零行，表明存在共軛虛根，這 些根可由輔助

42、方程求出。 令 解得兩對(duì)共軛虛根為 045)( 24 sssF 0)4)(1( 22 ss 2, 4, 32, 1 jsjs 4 6 . 3 45 . 2 104 451 451 4961 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 另外兩個(gè)根是 2 2 2 1 6, 5 js 例3-12 給定控制系統(tǒng)特征方程為 ，試判 別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：由系統(tǒng)的特征方程計(jì)算勞斯表如下 01601610 2 3 sss 00 16010 161 1 2 3 s s s 勞斯陣中s1行的各項(xiàng)全部為零，為此用不為零的最后一行(s2 行) 的各項(xiàng)組成輔助方程為 016010)( 2 ssF 020

43、)( s ds sdF 將輔助方程對(duì) s 求導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)數(shù)方程 用導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代 s3行中為零的項(xiàng)，并計(jì)算以 下各行的系數(shù)，得勞斯陣為 新勞斯陣的第一列系數(shù)全為正，即系統(tǒng)特征方程中沒(méi)有位 于復(fù)平面右側(cè)的根。 由于出現(xiàn)全零行，表明存在共軛虛根，這些根可由輔助方 程求出。 令 解得共軛虛根為 016010)( 2 ssF 4 2, 1 js 160 020 1601 161 0 1 2 3 s s s s 系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。 例例3-13 系統(tǒng)的特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：列勞斯表： 勞斯表中第一列元素符號(hào)改變一次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且 有一個(gè)右半平面的根，由F(s)=0

44、得 084632 2345 sssss 8 3 .33 83 128)(0128 862)(862 431 0 1 2 33 244 5 s s s sssFs sssFs s 0862 24 ss 2 1 4 , 32 , 1 jss 例3-14 設(shè)系統(tǒng)特征方程 ， 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：（1）特征方程各項(xiàng)系數(shù)大于0； （2）列勞斯陣 勞斯陣中 s3 行的各項(xiàng)全部為零，為此用不為零的最后一行 ( s4 行)的各項(xiàng)組成輔助方程為 將輔助方程對(duì) s 求導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)數(shù)方程 0462348242 2 345 sssss 000 46482 23241 3 4 5 s s s 046482)( 24

45、 sssF 0968 )( 3 ss ds sdF 解解：系統(tǒng)特征方程為 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須： （1）特征方程各項(xiàng)系數(shù)大于0，即要求K0； （2）列勞斯陣 第一列各項(xiàng)系數(shù)應(yīng)大于零，于是有 6K0，即K6。 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍應(yīng)為0K6，臨界開環(huán)增 益為Kp6。 例例3-15 已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ， 試確定系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益。 Ksss K s 23 )( 23 023 23 Ksss Ks K s Ks s 0 1 2 3 3 6 3 21 3.Routh判據(jù)的應(yīng)用 例例3-16 設(shè)系如圖所示，試確定是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。 若系統(tǒng)以 的頻率作等幅振蕩，試確定振蕩時(shí)K和

46、 的值。 解解：由圖可求得系統(tǒng)的特征方程為 列勞斯表如下 0) 1()2( 23 KsKss 1 0 ) 1()2( 1 21 0 1 2 3 Ks KK s Ks Ks 2 n 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須：001K0) 1()2(KK 所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍為 2 1 K K 1K 若系統(tǒng)以 的頻率作等幅振蕩，則2 n 0) 1()2(KK 1 2 K K 可得 則系統(tǒng)存在 0) 1( 2 Ks 2 1 2, 1 Kj K js 有一對(duì)純虛根 又由已知條件，系統(tǒng)以 的頻率作等幅振蕩，則2 n 22 K 所以系統(tǒng)以 的頻率作等幅振蕩時(shí)的參數(shù)值為 75. 0 2 1 K K 2K 2 n 0

47、a a 0 a a a a a a 0 a a a a 0 3-n-1n 4-n2-nn 5-n3-n -1n 3 2-nn 3-n-1n 2 11 n a 0 a a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 a a 0 0 0 0 a a 0 0 0 0 a a a 0 0 0 a a a 0 0 0 a a a a 0 0 a a a a 02 1 0 2-nn 3-n-1n 4-n2-nn 5-n3-n-1n 6-n4-n2-nn 7-n5-n3-n-1n n 4.Hurwitz判據(jù) 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為： 則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是由特征方程的系數(shù)ai(i=1

48、,2,n) 構(gòu)成的主行列式及其主對(duì)角線上的各階主子式均為正，即 0a 0asasasa n01 -1n -1n n n : 0,105s3ss2s 713 234 解 判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 試用赫爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為例 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 0450 5 1 0 10 3 2 0 5 1 10 0451051015 5 1 0 10 3 2 0 5 1 07103 3 2 5 1 01 10 3 2 0 0 5 1 0 0 10 3 2 0 0 5 1 4 3 214 例3-18 系統(tǒng)的特征方程為 試用赫爾維茨判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。 解：列出行列式 由赫爾維茨判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要

49、條件是： )0( 0 032 2 1 3 0 aasasasa 3 123 01 00 0 a aaa aa 0 0 0 233 3021 23 01 2 11 a aaaa aa aa a 或?qū)懗上到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為 a00 a10 a20 a30 a1a2-a0a30 例例3-19 由一個(gè)積分環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)如 圖所示，試分析系統(tǒng)的放大系數(shù)K及時(shí)間常數(shù)T1和T2的大小對(duì)系 統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，T1和T2為兩 個(gè)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)， 。 3.6.4 控制系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 解解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 則系統(tǒng)的特征方程為 KsTsTs

50、K s ) 1)(1( )( 21 0,0 21 TT 0)() 1)(1()( 2 21 3 2121 KssTTsTTKsTsTssD 可以求得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為 即系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 21 11 0 TT K 2121 , 0TKTTTK 記 21 11 TT Kc 并稱Kc為這個(gè)系統(tǒng)的臨界開環(huán)放大系數(shù)。此時(shí)系統(tǒng)特征方程必 有位于虛軸上的根。如果控制系統(tǒng)特征方程的所有特征根中有 實(shí)部為零的根，而其余特征根均具有負(fù)實(shí)部，工程上稱這樣的 系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的。 （b） （a） 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響：系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響： 00 1 TK和 3、令T2=0，則特征方程將簡(jiǎn)化

51、為 1、若T1和T2為定值，則Kc為確定的正數(shù)。此時(shí)，如果開環(huán) 放大系數(shù)K的值若超過(guò)這個(gè)值，在系統(tǒng)變得不穩(wěn)定?？梢?jiàn)增 大開環(huán)放大系數(shù)K不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。 2、由式(b)可以看出，無(wú)論是T1或T2增大都會(huì)使Kc減小。因 此，如果K的值已經(jīng)確定，則T1或T2增大都可能破壞式(a)而 使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。故可見(jiàn)，增大時(shí)間常數(shù)也不利于穩(wěn)定性。 0)( 2 1 KssTsD 則系統(tǒng)穩(wěn)定的條件變?yōu)?臨界開環(huán)放大系數(shù)Kc變?yōu)闊o(wú)窮大。因此系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)的數(shù) 目增多，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 控制系統(tǒng)參數(shù)控制系統(tǒng)參數(shù)K,T1,T2對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響的結(jié)論：對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響的結(jié)論： 3、減少系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的個(gè)數(shù)，即降低

52、系統(tǒng)的階次，有利于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性的提高。 1、增大控制系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K，將使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變 差，甚至可能使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。 2、增大控制系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，會(huì)導(dǎo)致 系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)Kc下降，減小系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。 3.6.5 3.6.5 相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量 相對(duì)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的特征根在s平面的左半平 面且與虛軸有一定的距離 ，并稱為穩(wěn)定裕量。 為了能應(yīng)用上述的代數(shù)判據(jù)，通常將s平面的虛軸左移一 個(gè)距離，得新的復(fù)平面s1，即令s1=s+或s=s1-得到以s1 為變量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代數(shù)判據(jù)判別新特征 方程式的穩(wěn)定性，若新特征方程式的所有

53、根均在s1平面的左半 平面，則說(shuō)明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-的 左側(cè)。 例例 3-20 檢驗(yàn)特征方程式 是否有根在s右半平面，以及有幾個(gè)根在s=-1垂線的右邊。 解： 列勞斯表： 由勞斯判據(jù)知，系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根均在s的左半平面。 0413102 23 sss 4 2 .12 410 132 0 1 2 3 s s s s 令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式 列勞斯表： 勞斯表中第一列元素符號(hào)改變一次，表示系統(tǒng)有一個(gè)根 在s1右半平面，也就是有一個(gè)根在s=-1垂線的右邊(虛軸的左 邊)，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量不到1。 0142)( 1 2 1 3 1 ssssD 1 2 1 1

54、4 12 0 1 1 1 2 1 3 1 s s s s : 14)-3-?(P98K,-1s K Routh,213 解 至范圍應(yīng)取多大問(wèn)垂線之左部位于 閉環(huán)極點(diǎn)全的取值范圍。如果要求的開環(huán)增益 判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定試應(yīng)用設(shè)系統(tǒng)如圖所示例 s 14 -560 s 14 s 40 1 s : 04014s :40K.K, )10)(4( )( : 0 1 2 3 23 K K K Kss Ksss K s 相應(yīng)的勞斯表為 程由上式得系統(tǒng)的特征方式中 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函為 14K0 560K0 0 14 K-560 0K , * * * 即 應(yīng)有為使系統(tǒng)穩(wěn)定 4.8K0.675 19227 27-K

55、s 11 27)-(K-165 s 27-K 11 s 15 1 s 0)27(1511s ,1s ,1 * * 0 1 * 1 1 * 2 1 3 1 * 1 2 1 3 1 1 K Routh Kss s ss 則解得 表為相應(yīng)的 得代入原特征方程則令 垂線之左平面上全部位于若要求閉環(huán)極點(diǎn)在 一對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求一對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求 1、系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；、系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的； 2、系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求；、系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求； 3、系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。、系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。 二控制系統(tǒng)的自然狀況二控制系統(tǒng)的自然狀況

56、 一般來(lái)講，根據(jù)應(yīng)用的需求或者對(duì)象本身的特性，被控對(duì)一般來(lái)講，根據(jù)應(yīng)用的需求或者對(duì)象本身的特性，被控對(duì) 象既可以是穩(wěn)定的也可以是不穩(wěn)定的。象既可以是穩(wěn)定的也可以是不穩(wěn)定的。 反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)和常用傳遞函數(shù)。反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)和常用傳遞函數(shù)。 如何定義系統(tǒng)的穩(wěn)定性？如何定義系統(tǒng)的穩(wěn)定性？ 如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定？如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定？ 反饋控制系統(tǒng)的特性如何？有什么優(yōu)勢(shì)？反饋控制系統(tǒng)的特性如何？有什么優(yōu)勢(shì)？ 3.7 反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及計(jì)算反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及計(jì)算 )()()( 0 tctct 1.誤差與偏差 3.7.1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義 系統(tǒng)輸出量的期望值c0(t)與實(shí)際輸出c(t)之

57、差定義為反饋系 統(tǒng)響應(yīng)r(t)的誤差信號(hào)，即 對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，其輸入量r(t) 的值即為輸出量期望值，即 )()( 0 trtc 代入上式得 )()()()()()( 0 tetctrtctct 單位反饋系統(tǒng)的偏差和誤差是相等的，偏差的穩(wěn)態(tài)值ess就 是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ss ，即 ssss e )(te 偏差 )()( C(s)(s)CH(s) H(s)C(s)(s)H(s)CE(s) (s)H(s)CR(s) (s)H(s)C-R(s)0 0 0 0 0 ssH 因因而而 對(duì)于非單位反饋系統(tǒng) )()()()(sCsHsRsE 偏差為零時(shí)的輸出量即為期望值，即 非單位反饋系統(tǒng)的偏差和誤差之間并

58、不相等，但具有確定 的關(guān)系。 穩(wěn)態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號(hào)(t)的穩(wěn)態(tài)分量，記作ss(t)。 動(dòng)態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號(hào)(t)的暫態(tài)分量，記作ts(t)。 ),()()(ttt tsss 對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)，0)( tt ts 2.穩(wěn)態(tài)誤差 說(shuō)明： 1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來(lái)定義的，它是輸出的希望值與實(shí)際 值之差，這種方法定義的誤差在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但 在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義。 2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來(lái)定義的，它是系統(tǒng)輸入信號(hào)與主 反饋信號(hào)之差，這種方法定義的誤差，在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測(cè) 量的，因而具有一定的物理意義。 3）對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的。 4）有

59、些書上對(duì)誤差、偏差不加區(qū)分，只是從不同的著眼點(diǎn) （輸入、輸出點(diǎn)）來(lái)定義。 5）影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素有很多，如系統(tǒng)的機(jī)構(gòu)、參數(shù)以及 輸入量的形式等。 3.7.2 給定輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的誤差分析 (s)G1 1 )( )( (s) K sR sE e R(s) (s)G1 1 R(s) G(s)H(s)1 1 E(s) K 對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)而言，有 令 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，根據(jù)拉氏變換的終值定理和穩(wěn)態(tài)誤差的 定義，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 )(1 )( lim)(lim)(lim 00 sG ssR ssEtee K sst ss 穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s）以及輸入信

60、號(hào) R(s)的形式有關(guān)。 ) 1( ) 1(K ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1K( S)G 1 m 1i i 21 21 K( vn j j v vn v m sTs s sTsTsTs sss 系統(tǒng)型別 1、穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為 稱為零型系統(tǒng) 稱為 I 型系統(tǒng) 稱為 II 型系統(tǒng) 系統(tǒng)的型別以 來(lái)劃分 0 1 2 優(yōu)點(diǎn)：1可以根據(jù)已知的輸入信號(hào)形式，迅速判 斷是否存在穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。 2系統(tǒng)階數(shù)m,n的大小與系統(tǒng)型別無(wú)關(guān)，且 不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。 )()(lim)(s lim 0s0s ss sRsssE e 。控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值時(shí)試求當(dāng)輸入信號(hào)