第2章 初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型 2.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 2.2 汽車剎車距離汽車剎車距離 2.3 核軍備競賽核軍備競賽 2.4 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效 2.5 實物交換實物交換 2.6 啟帆遠航啟帆遠航 2.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析問題分析 模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳 連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù) 曲面

2、曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三 只腳同時著地。只腳同時著地。 通過旋轉(zhuǎn)的方式調(diào)整椅子的位置通過旋轉(zhuǎn)的方式調(diào)整椅子的位置 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性 x B A D C O D C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地 距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù) 四個距離四個距離 (四只腳四只腳) A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f

3、( ) B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( ) 兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零 正方形正方形ABCD 繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn) 正方形正方形 對稱性對稱性 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 對任意對任意 , f( ), g( ) 至少一個為至少一個為0 數(shù)學數(shù)學 問題問題 已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0)

4、 = g( 0) = 0. 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只腳著地至少三只腳著地 模型求解模型求解 給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法 將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。 由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6米米) “2秒準則秒準則”與與“10英里英里/小時加一車身小時加一車身”規(guī)則規(guī)則 不同不同 剎剎 車車 距距 離離 反應時

5、間反應時間 司機司機 狀況狀況 制動系統(tǒng)制動系統(tǒng) 靈活性靈活性 制動器作用力、車重、車速、道路、氣候制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質(zhì)量成正比，最大制動力與車質(zhì)量成正比， 使汽車作勻減速運動。使汽車作勻減速運動。 車速車速 常數(shù)常數(shù) 反反 應應 距距 離離 制制 動動 距距 離離 常數(shù)常數(shù) 假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應距離等于反應距離 d1 與制動距離與制動距離 d2 之和之和 2. 反應距離反應距離 d1與車速與車速 v成正比成正比 3. 剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F， F作功等于汽車動能的改變作功等于汽車動能的改變;

6、vtd 11 F d2= m v2/2F m 2 1 kvvtd t1為反應時間為反應時間 21 ddd 且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比 2 2 kvd 反應時間反應時間 t1的經(jīng)驗估計值為的經(jīng)驗估計值為0.75秒秒 參數(shù)估計參數(shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k 2 1 kvvtd模模 型型 最小二乘法最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間計算剎車距離、剎車時間 “2秒準則秒準則”應修正為應修正為 “t 秒準秒準 則則” 22 1 06. 075. 0vvkvvtd模模 型型 2.3 核軍備競賽核軍備競賽 軍軍 備備 競競 賽賽

7、背背 景景 幾乎所有的現(xiàn)代戰(zhàn)爭都以反復無常的軍備競賽作為幾乎所有的現(xiàn)代戰(zhàn)爭都以反復無常的軍備競賽作為 前導。有力的證據(jù)表明前導。有力的證據(jù)表明, ,強國之間的軍備競賽強國之間的軍備競賽, ,以軍事能以軍事能 力方面的迅速提升為特征力方面的迅速提升為特征, ,是戰(zhàn)爭的預警指示器。在一是戰(zhàn)爭的預警指示器。在一 篇篇19791979年的文章中年的文章中, ,加拿大加拿大British ColumbiaBritish Columbia大學的大學的 Michael WallaceMichael Wallace研究了在研究了在1816181619651965年間年間9999件國際爭件國際爭 端。他發(fā)現(xiàn)端。

8、他發(fā)現(xiàn), ,有反復軍備競賽在前的有反復軍備競賽在前的2828次爭端中次爭端中,23,23次升次升 級為戰(zhàn)爭級為戰(zhàn)爭, ,而沒有軍備競賽先行的而沒有軍備競賽先行的7171次爭端中次爭端中, ,只有只有3 3次次 導致戰(zhàn)爭。導致戰(zhàn)爭。 前蘇聯(lián)和美國在冷戰(zhàn)時期致力于核軍備競賽前蘇聯(lián)和美國在冷戰(zhàn)時期致力于核軍備競賽, ,那時那時, , 政治和軍事戰(zhàn)略家們問道：對于蘇聯(lián)核武庫在數(shù)量和技政治和軍事戰(zhàn)略家們問道：對于蘇聯(lián)核武庫在數(shù)量和技 術(shù)改進方面的種種變化，美國應當如何反應？為回應此術(shù)改進方面的種種變化，美國應當如何反應？為回應此 難題，多少武器是充足的？難題，多少武器是充足的？ 軍軍 備備 競競 賽賽

9、背背 景景 前任美國參謀長聯(lián)席會議主席，Maxwell D. Taylor將軍為美國戰(zhàn)略核力量提出如下核威懾目標核威懾目標： 戰(zhàn)略核力量擁有實施大規(guī)模破壞的絕無僅有的能力，它們應戰(zhàn)略核力量擁有實施大規(guī)模破壞的絕無僅有的能力，它們應 當承擔一項威懾蘇聯(lián)的特殊任務，使之怯于采取任何形式的當承擔一項威懾蘇聯(lián)的特殊任務，使之怯于采取任何形式的 戰(zhàn)略核沖突。為了使威懾效力達到最大限度，它們必須能夠戰(zhàn)略核沖突。為了使威懾效力達到最大限度，它們必須能夠 在大規(guī)模的第一次打擊之后生存下來，而且還能夠破壞足夠在大規(guī)模的第一次打擊之后生存下來，而且還能夠破壞足夠 的敵方目標，也就是摧毀對于決定戰(zhàn)爭與和平的國家領(lǐng)導

10、人的敵方目標，也就是摧毀對于決定戰(zhàn)爭與和平的國家領(lǐng)導人 十分敏感的有效政府、社會和經(jīng)濟，從而消滅蘇聯(lián)。十分敏感的有效政府、社會和經(jīng)濟，從而消滅蘇聯(lián)。 為了實現(xiàn)Taylor將軍提出的目標，他陳述了以下 內(nèi)容： 我們需要的武器數(shù)量將足以摧毀這個體系內(nèi)部若干我們需要的武器數(shù)量將足以摧毀這個體系內(nèi)部若干 特定目標。作為一個安全因素，我們應當增添額外的武器，特定目標。作為一個安全因素，我們應當增添額外的武器， 以求補償在第一次打擊中可能蒙受的損失以及武器性能的不以求補償在第一次打擊中可能蒙受的損失以及武器性能的不 確定性?？偟奈淦餍枨罅繎敶篌w上少于我們現(xiàn)在的軍火庫確定性?？偟奈淦餍枨罅繎敶篌w上少于我

11、們現(xiàn)在的軍火庫 中可供使用的數(shù)量。中可供使用的數(shù)量。 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存 在暫時的平衡狀態(tài)。在暫時的平衡狀態(tài)。 當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導 彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個 數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。 問問 題題 以雙方以雙方( (戰(zhàn)略戰(zhàn)略) )核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。 假定雙方

12、采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部 核導彈攻擊己方的核導彈基地；核導彈攻擊己方的核導彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈， 給對方重要目標以毀滅性的打擊。給對方重要目標以毀滅性的打擊。 在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈 只能攻擊對方的一枚核導彈。只能攻擊對方的一枚核導彈。 摧毀一枚導彈的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊摧毀一枚導彈的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊 精度和另

13、一方的防御能力決定。精度和另一方的防御能力決定。 模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 圖圖 的的 模模 型型 y=f(x)甲方有甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù)枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù) x=g(y)乙方有乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù)枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù) 當當 x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值 xyy 0 x y y0 0 xyxfyy 00 )( y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲 方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù) x1x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y

14、0 y0 y=f(x)y=f(x) 乙安全區(qū)乙安全區(qū) 甲甲 安安 全全 區(qū)區(qū) 雙方雙方 安全區(qū)安全區(qū) P平衡點平衡點(雙方最少導彈數(shù)雙方最少導彈數(shù)) 乙安全線乙安全線 精細精細 模型模型 乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導彈攻擊乙方一枚甲方一枚導彈攻擊乙方一枚 導彈，導彈未被摧毀的概率。導彈，導彈未被摧毀的概率。 sx枚導彈未摧毀，枚導彈未摧毀，yx枚導彈未被攻擊。枚導彈未被攻擊。 xy y0=sx+yx x=yy0=sy 乙的乙的xy個被攻擊個被攻擊2次，次，s2(xy)個未摧毀；個未摧毀； y (xy)=2y x個被攻擊個被攻擊1次，次，s(2y x )個未摧毀個未摧毀 y0= s2(x

15、y)+ s(2y x ) x=2yy0=s2y yx2y x s s ss y y 2 1 )2( 0 y= y0+(1-s)x y=y0/s y=y0/s2 yxa s y s y y / 00 a交換比交換比(甲乙導彈數(shù)量比甲乙導彈數(shù)量比) x=a y, 精細精細 模型模型 x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2 y0威懾值威懾值s殘存率殘存率 y=f(x) y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線 y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡 s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平 x y 0 y0 xy, y= y0+(1-s)x x=y x=2y yx2y,x s s ss

16、 y y 2 1 )2( 0 甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標 乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) mmmm yyxx, 甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。 ),( mm yxP （其它因素不變）（其它因素不變） 乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移 模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架 乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變 甲方殘存率變大甲方殘存率變大

17、威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變 x減小，甲安全線減小，甲安全線 x=g(y)向向y軸靠近軸靠近 mmmm yyxx, x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) ),( mm yxP 模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少 PP 雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標 ( x , y仍為雙方核導彈的數(shù)量仍為雙方核導彈的數(shù)量 ) 雙方威懾值減小，殘存率變小雙方威懾值減小，殘存率變小 y0減小減小 y下移且變平下移且變平 x y 0 y0 x0 P(x

18、m,ym) x=g(y) y=f(x) P P 殘存率變小殘存率變小 y增加且變陡增加且變陡 雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析 ?PP 模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x) ?PP 2d 墻墻 室室 內(nèi)內(nèi) T1 室室 外外 T2 dd 墻墻 l 室室 內(nèi)內(nèi) T1 室室 外外 T2 問問 題題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層 玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假假 設(shè)設(shè) 熱量傳播只有傳導，沒有對流熱量傳播只有傳導，沒有對流 T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導過

19、程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù) 建建 模模 熱傳導定律熱傳導定律 d T kQ Q1 Q2 Q 單位時間單位面積傳導的熱量單位時間單位面積傳導的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù) 2.4 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效 dd 墻墻 l 室室 內(nèi)內(nèi) T1 室室 外外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導的熱量記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1 Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 k1玻璃的熱傳導系數(shù)玻璃的熱傳導系數(shù) k2空氣空氣的熱傳導系數(shù)的熱傳導系數(shù) d TT k l TT k d T

20、T kQ bbaa2 12 1 11 d l h k k hs sd TT kQ , )2( 2 121 11 建模建模 記單層玻璃窗傳導的熱量記單層玻璃窗傳導的熱量Q2 d TT kQ 2 21 12 2d 墻墻 室室 內(nèi)內(nèi) T1 室室 外外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導的熱量之比雙層與單層窗傳導的熱量之比 d l h k k hs sQ Q , 2 2 2 1 2 1 21 QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32 對對Q1比比Q2的減少量的減少量 作最保守的估計，作最保守的估計， 取取k1/k2 =16 d l h hQ Q , 18 1

21、 2 1 )2( 21 11 sd TT kQ 建模建模 h Q1/Q2 42 0 0.06 0.03 0.02 6 模型應用模型應用 取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03 即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多 材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比， 可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。 結(jié)果分析結(jié)果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳 導系數(shù)導系數(shù) k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。 實際房間通過天花板、墻壁、地面等損失的熱量更多。實際房間通過天花板、墻壁、地面等損失的

22、熱量更多。 d l h hQ Q , 18 1 2 1 雙層窗的功效不會如此之大雙層窗的功效不會如此之大 問問 題題 甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要， 商定相互交換一部分。研究實物交換方案。商定相互交換一部分。研究實物交換方案。 y x p . 用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有 X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占 有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的 數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖： 若不考慮雙方對若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點的偏愛，則矩形內(nèi)任一點 p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有

23、都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo 2.5 實物交換實物交換 x y yo y1 y2 0 x1x2xo p1 p2 . . 甲的無差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模 如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2) 具有同樣的滿意程度，即具有同樣的滿意程度，即p1, p2 對甲是無差別的，對甲是無差別的， M N 將將所有與所有與p1, p2無差別的點連接無差別的點連接 起來，得到一條起來，得到一條無差別曲線無差別曲線MN 線上各點的滿意度相同線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對線的形狀反映對X,Y的

24、偏愛程度，的偏愛程度， N1 M1 p3(x3,y3). 比比MN各點滿意度更高的點如各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線，在另一條無差別曲線M1N1上。上。 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。 y x p1. y x p2 . c1 y 0 x f(x,y)=c1 無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交 在在p1點占有點占有x少、少、y多，多， 寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取 較少的較少的 x; 在在p2點占有點占有y少、少、x多，多， 就要以較多的就要

25、以較多的 x換取換取 較少的較少的 y。 甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作 f(x,y)=c1c1滿意度滿意度 （f 等滿意度曲線）等滿意度曲線） x y O g(x,y)=c2 c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同 性質(zhì)（形狀可以不同）性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑雙方的交換路徑 x y yo O xo f=c1 O x y g=c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標坐標 系系xOy, 且反向）且反向） 甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1 A B p P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必 在在AB（交換路徑

26、）上（交換路徑）上 因為在因為在AB外的任一點外的任一點p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點上的點p 兩族曲線切點連線記作兩族曲線切點連線記作AB A B p 交換方案的進一步確定交換方案的進一步確定 交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y) 0 x x0, 0 y y0矩矩 形內(nèi)任一點形內(nèi)任一點 交換路交換路 徑徑AB 雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族 等價交等價交 換原則換原則 X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換用貨幣衡量其價值，設(shè)交換 前前x0, y0價值相同，則等價交換原價值相同，則等價交換原 則下交換路徑為：則下交換路徑為： C D (x0,0),

27、(0,y0) 兩點的連線兩點的連線CD AB與與CD的的 交點交點p 設(shè)設(shè)X單價單價a, Y單價單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 帆船在海面上乘風遠航，確定帆船在海面上乘風遠航，確定 最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向 簡化問題簡化問題 AB 風向風向 北北 航向航向 帆船帆船 海面上東風勁吹，設(shè)帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船 要從要從A點駛向正東方的點駛向正東方的B點，點， 確定起航時的航向確定起航時的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.6 啟帆遠航啟帆遠航 模型分析模型分析 風風(通過帆通過帆)對船的推力對船的推力w 風對船體部分的阻力風對船體部分