高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.2.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，弄清它們的圖象間的對稱關(guān)系.2。利用圖象比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異。3。利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)解決一些簡單問題。知識鏈接在同一坐標(biāo)中，作出函數(shù)y2x與ylog2x的圖象，兩圖象關(guān)于直線yx對稱.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.反函數(shù)（1）互為反函數(shù)的概念當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時,可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量。稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).(2）反函數(shù)的記法：函數(shù)yf（x)的反函數(shù)通常用yf1(x）表示.2。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)

2、系（1）指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象關(guān)于yx對稱.要點一求反函數(shù)例1寫出下列函數(shù)的反函數(shù)：（1)ylg x；(2)ylogx；(3）y()x；（4)yx。解（1）ylg x的底數(shù)為10，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y10x.(2)ylogx的底數(shù)為，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)yx.(3)y(）x的底數(shù)為，它的反函數(shù)為對數(shù)函數(shù)ylogx(x0).（4）yx的底數(shù)為，它的反函數(shù)為對數(shù)函數(shù)ylogx(x0).規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)。跟蹤演練1求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）ylog2x；(2)yx;(3)y5x1.解（1

3、)由ylog2x，得yr，x2y，f1(x）2x，xr。(2）由yx，得xlogy且y0.f1(x)logx(x0）.（3）由y5x1，得x且yr，f1(x），xr.要點二互為反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用例2已知函數(shù)yaxb（a0且a1)的圖象過點（1，4)，其反函數(shù)的圖象過點（2,0)，求a，b的值。解yaxb的圖象過點(1,4)，ab4.又yaxb的反函數(shù)圖象過點（2，0)，點(0,2)在原函數(shù)yaxb的圖象上.a0b2。聯(lián)立得a3，b1.規(guī)律方法互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖象上任一成對的相應(yīng)點也關(guān)于yx對稱,所以若點（a，b)在函數(shù)yf(x)圖象上，則點（

4、b,a）必在其反函數(shù)yf1（x)圖象上。跟蹤演練2已知f(x）log3x，則f1（4)_。答案81解析由log3x4,得x3481。即f1（4）3481。要點三指、對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用例3設(shè)方程2xx30的根為a，方程log2xx30的根為b，求ab的值。解將方程整理得2xx3，log2xx3。如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y2x的圖象與直線yx3交點a的橫坐標(biāo)，b是對數(shù)函數(shù)ylog2x的圖象與直線yx3交點b的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y2x與ylog2x互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線yx對稱，由題意可得出a、b兩點也關(guān)于直線yx對稱，于是a、b兩點的坐標(biāo)為a(a，b)，b（b，a）.而a、b都在直線y

5、x3上,ba3(a點坐標(biāo)代入），或ab3,故ab3。規(guī)律方法形如axkxb（a0且a0)或logaxkxb(a0且a1）的方程的求解常借助于函數(shù)圖象，求兩函數(shù)圖象的交點。跟蹤演練3函數(shù)f（x）lg xx3的零點所在區(qū)間為(）a.（0,1） b。(1，2）c.(2，3） d。（3，)答案c解析在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)ylg x與yx3的圖象。它們交點的橫坐標(biāo)x0顯然在區(qū)間(1，3）內(nèi)，由此可排除a，d。至于選b還是選c,由于手工畫圖精確性的限制，單憑直觀很難做出判斷.實際上這是要比較x0與2的大小.當(dāng)x2時，lg xlg 2,x31，由于lg 21,因此x02,從而得到x0(2，3)，故

6、選c.1。函數(shù)ylogx(x0)的反函數(shù)是（)a。yx，x0 b。y(）x，xrc.yx2，xr d。y2x，xr答案b解析互為反函數(shù)的一組對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同。2。若函數(shù)yf（x)是函數(shù)yax（a0，且a1)的反函數(shù)，且f（2）1，則f（x）等于（)a.log2x b。 c。logx d.2x2答案a解析yax的反函數(shù)f（x)logax，則1loga2，a2.3。已知函數(shù)yax與ylogax（a0且a1)，下列說法不正確的是()a.兩者的圖象關(guān)于直線yx對稱b.前者的定義域、值域分別是后者的值域、定義域c.兩函數(shù)在各自的定義域內(nèi)的增減性相同d。yax的圖象經(jīng)過平移可得到y(tǒng)logax的

7、圖象答案d解析由反函數(shù)的定義及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的對稱關(guān)系可知a、b、c選項均正確。4。已知y（)x的反函數(shù)為yf（x），若f(x0），則x0等于()a。2 b.1 c。2 d。答案c解析y（）x的反函數(shù)是f(x）logx，f（x0)logx0。x0（）2.5.已知f（x）a是r上的奇函數(shù),則f1的值是_。答案2解析由f（x)為奇函數(shù)知a1,f（x）由，得x2.1.對數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù)。它們的圖象關(guān)于直線yx對稱。2。求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)本著以下步驟完成:(1）求出原函數(shù)的值域,這就是反函數(shù)的定義域；(2）從yf(x)中解出x；（3)x、y互換并注明反函數(shù)定義域.3。反函數(shù)的定義域是原函