第七章數(shù)值微分與數(shù)值積分初次修改稿1

1、1 第七章第七章 數(shù)值微分與數(shù)值積分數(shù)值微分與數(shù)值積分 1 數(shù)值微分數(shù)值微分 2 NewtonCotes求積公式求積公式 3 復化求積公式復化求積公式 4 Romberg求積公式求積公式 5 Gauss型求積公式型求積公式 2 利用離散點上函數(shù)的信息求函數(shù)導數(shù)近似值利用離散點上函數(shù)的信息求函數(shù)導數(shù)近似值 的方法的方法, 稱為稱為數(shù)值微分數(shù)值微分. 差商型求積公式差商型求積公式 插值型求積公式插值型求積公式 1 數(shù)值微分數(shù)值微分 3 由導數(shù)定義由導數(shù)定義 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 當當h很小時很小時, 可用可用差商差商近似導數(shù)近似導數(shù). 4 差商型求導公式差商型求導公式

2、 (3)中心差商公式中心差商公式 0, )()( )( h h xfhxf xf , )()( )( h hxfxf xf . 2 )()( )( h hxfhxf xf (1) 向前差商公式向前差商公式 (2) 向后差商公式向后差商公式 5 幾何意義幾何意義 hx x hx A B C h xfhxf kBC )()( h hxfxf kAB )()( h hxfhxf kAC 2 )()( B點切線斜率點切線斜率)(x f 從幾何直觀看從幾何直觀看: 中心差商效果最好中心差商效果最好 6 截斷誤差截斷誤差 )( 2 )( )()( )( 1 hOh hxf h xfhxf xf )( 2

3、)( )()( )( 2 hOh hxf h hxfxf xf )( 12 )()( 2 )()( )( 22 3 )3( 3 )3( hOh hxfhxf h hxfhxf xf 其中其中 1,0 321 由由Taylor公式可得公式可得 7 二階導數(shù)的中心差商公式二階導數(shù)的中心差商公式 2 )()(2)( )( h hxfxfhxf xf 截斷誤差截斷誤差 )( 12 )()(2)( )( )4( 2 2 f h h hxfxfhxf xf 8 近似計算近似計算 b a dxxfI)( 數(shù)值積分數(shù)值積分 9 依據(jù)微積分基本定理依據(jù)微積分基本定理, 只要找到被積函數(shù)只要找到被積函數(shù) f (x

4、)的的 原函數(shù)原函數(shù) F (x), F (x)=f (x), 便有便有 )()()(aFbFdxxf b a 為什么還要對積分進行近似計算為什么還要對積分進行近似計算 大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù) 實驗測量或數(shù)值計算給出的通常是一張函數(shù)表實驗測量或數(shù)值計算給出的通常是一張函數(shù)表, 即被積函數(shù)的表達式未知即被積函數(shù)的表達式未知. 數(shù)值積分數(shù)值積分 10 依據(jù)積分中值定理依據(jù)積分中值定理 就是說，底為就是說，底為b a 而高為而高為 f ( ) 的矩形面積恰恰等的矩形面積恰恰等 于所求曲邊梯形于所求曲邊梯形 f (x)的面積的面積. )()(

5、abfdxxf b a 取取a, b內(nèi)若干個節(jié)點內(nèi)若干個節(jié)點xk 處的高度處的高度 f (xk ), 通過加通過加 權平均的方法生成平均高度權平均的方法生成平均高度 f ( ), 這類求積公式稱這類求積公式稱 機械求積公式機械求積公式 式中式中 xk 稱為稱為求積節(jié)點求積節(jié)點, Ak 稱為稱為求積系數(shù)求積系數(shù), 亦稱伴隨亦稱伴隨 節(jié)點的權節(jié)點的權. n k kk b a xfAdxxf 0 )()( 數(shù)值積分基本思想數(shù)值積分基本思想 11 2 Newton-Cotes 公式公式 基本思想基本思想: 利用利用插值多項式插值多項式 ).()(xfxLn b a n b a dxxLdxxffI.)

6、()()( 其中其中Ln(x)是是n階階Lagrange插值多項式，用插值多項式，用Ln (x)的的 積分近似積分近似 f (x)的積分，即的積分，即 插值型求積公式插值型求積公式 12 b a n kjjjk j k dx xx xx A ,0 )( )( 由由 決定決定, 與與 無關無關. 節(jié)點節(jié)點 f (x) 在在a, b上取上取 a x0 x1 0, 使得使得|,|max 0 k nk 則稱該求積公式是則稱該求積公式是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 求積公式的穩(wěn)定性求積公式的穩(wěn)定性 39 若求積公式是穩(wěn)定的若求積公式是穩(wěn)定的, 則則 f (x)的觀察值的較小的的觀察值的較小的 誤差引起的求積結果的誤差

7、也是較小的誤差引起的求積結果的誤差也是較小的. 求積公式求積公式 沒有把沒有把 f (x)的誤差的誤差“放大放大”很多很多. 40 ), 1 , 0( )(nkfxf kk n k kkknn fxfAfIfI 0 ) )() ()( 證明證明 因此復化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定的因此復化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定的. 當當 ).( 2 )1( 2 ab h hn h 定理定理 復化梯形公式是復化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的的. n k kkk fxfA 0 )( n k k A 0 41x0 x2 x f (x) x4hhxn 2hxn mn n ab h2, . hx3x1xn 1 復化復化Simpson

8、公式公式 分片二次多項式近似分片二次多項式近似 42 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a, b劃分為劃分為n=2m等分等分, 步長步長 h=( b a )/n, 分點分點 xk= a+kh ( k=0, 1, , n). 在每個在每個 小區(qū)間小區(qū)間 x2k 2 , x 2k ( k=1, , m)上用上用Simpson公式：公式： k k x x kkk kk xfxfxf xx dxxf 2 22 )()(4)( 6 )( 21222 222 )()(4)( 3 21222kkk xfxfxf h 復化復化Simpson公式公式 k=1, , m 43 1 11 122 )(4)(2)()( 3 m k

9、 m k kk xfxfbfaf h = Sn( f ) m k x x b a dxxfdxxffI k k 1 2 22 )()()( )()(4)( 3 21222 1 kkk m k xfxfxf h 復化復化Simpson公式公式 44 )()()(fSfIfR nn 當當 f (x)在在a, b上具有四階連續(xù)導數(shù)時上具有四階連續(xù)導數(shù)時, ),(),()( 1 )4()4( bamff m k k ),( 222kkk xx 故得故得 ),(),( 180 )( )( 90 )( )4( 4 )4( 5 baf hab f mh fRn 復化復化Simpson公式的截斷誤差公式的截斷

10、誤差 m k k f h 1 )4( 5 ),( 90 45 由復化由復化Simpson公式的截斷誤差知公式的截斷誤差知, 誤差階為誤差階為 h4, 收斂性是顯然的收斂性是顯然的, 事實上事實上,只要只要 f (x) Ca, b則則 可得到可得到收斂性收斂性, 即即 .)()(limdxxffS b a n n 由于求積系數(shù)均為正由于求積系數(shù)均為正, 與復化梯形公式一樣的與復化梯形公式一樣的 證法可得復化證法可得復化 Simpson公式是公式是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的的. 46 例：例：計算計算dx x 1 0 2 1 4 解：解： )1()(2)0( 16 1 7 1 8 fxffT k k 8

11、k xk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0( 24 1 oddeven 8 fxfxffS kk 8 k xk 其中其中= 3.141592502 運算量運算量 基本相同基本相同 顯然用復化顯然用復化Simpson公式計算精度較高公式計算精度較高, 這與它們這與它們 的誤差階的結論是相符的的誤差階的結論是相符的. 47 例例 對于函數(shù)對于函數(shù), sin )( x x xf 給出給出n=8的函數(shù)表的函數(shù)表, 試用試用 復化梯形公式及復化復化梯形公式及復化Simpson公式計算積分公式計算積分 1 0 . sin dx x x I 解解 i x)( i xf 0.0 0.

12、125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0 1.0 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8414709 0.8771925 應用復化梯形公式求得應用復化梯形公式求得 T8=0.9456909 應用復化應用復化Simpson公式求得公式求得 S8=0.9460832 準確值準確值 I=0.9460831 兩者運算量基本相同兩者運算量基本相同 48 trapz: 復化梯形公式求積分復化梯形公式求積分. 用法用法: trapz(X, Y), 其中其中X, Y為相同維數(shù)的向量為相

13、同維數(shù)的向量. 例例: X=0.125:0.125:1.0; Y=sin(X)./X; X=0,X; Y=1,Y; trapz(X,Y) ans = 0.94569086358270 Matlab函數(shù)函數(shù) 49 例例 若用復化求積公式計算積分若用復化求積公式計算積分dxeI x 1 0 的近似值的近似值, 若要求計算結果有若要求計算結果有4位有效數(shù)字位有效數(shù)字, n應取多大應取多大? 解解 , 11 1 0 dxeIe x .105 . 0 4 1 , 0, 1| )(| )( xexf xk 復化梯形公式的誤差復化梯形公式的誤差 )( )( 12 | 2 fab h R T .83.40 n

14、 若用復化梯形公式求積分若用復化梯形公式求積分, n取取41能達到精度要求能達到精度要求. 2 12 1 n 4 10 2 1 50 故應取故應取n=4. 該例表明該例表明, 為達到相同的精度為達到相同的精度, 用復化用復化Simpson 公式所需的計算量比復化梯形公式要少公式所需的計算量比復化梯形公式要少, 這也說明這也說明 了復化了復化Simpson公式的精度高公式的精度高. 復化復化Simpson公式的誤差公式的誤差 )()( 180 | )4( 4 fab h RS .25. 3 n 4 180 1 n 4 10 2 1 51 復化復化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法 將區(qū)

15、間將區(qū)間a, b分成分成n=2m等分等分, 記記 , 2m m ab h .)(2)()( 2 12 1 2 m k m m khafbfaf h T m ), 2 , 1 , 0( m 稱稱 為為梯形值序列梯形值序列. 2m T 52 m h T T m m 2 1 2 2 所有新增加節(jié)點的函數(shù)值之和所有新增加節(jié)點的函數(shù)值之和 其中其中 . 2m m ab h 復化復化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法 53 以以n=8, m=3為例為例. 記記 fk= f (xk) x0 x2x4x6x3 x1 x5x7x8 )(2 16 7654321808 fffffffff ab T )(

16、2 16 64280 fffff ab 7531 8 ffff ab 2 4 T 所有新增加節(jié)點的函數(shù)值之和所有新增加節(jié)點的函數(shù)值之和. 3 h 54 復化梯形公式余項的后驗估計復化梯形公式余項的后驗估計 );,(),( 12 11 2 bafh ab TI n );,(),( 212 22 2 2 baf hab TI n f ( 1 ), f ( 2 ) 分別是分別是 f (x) 在在a, b上的上的n個點與個點與 2n 個點處的算術平均值個點處的算術平均值 (每個小區(qū)間上取一個點每個小區(qū)間上取一個點). 當當n較大時較大時, 有有 .)( 1 )()( 21 dxxf ab ff b a

17、 55 因此因此, 若事先給定誤差限若事先給定誤差限 , 則當則當 .3| 2 nn TT 時時, 就可停止計算就可停止計算, 并認為并認為 T2n是滿足精度要求的近是滿足精度要求的近 似值似值. ; 4 1 2 n n TI TI );()( 21 ff ).( 3 1 22nnn TTTI 56 復化復化Simpson公式的逐次分半算法公式的逐次分半算法 將區(qū)間將區(qū)間a, b分成分成 n=2m 等分等分, 記記 , 2m m ab h evenodd 2 )(2)(4)()( 3 k m k m m khafkhafbfaf h S m , 2 , 1 m 稱稱 為為Simpson序列序列

18、. 2m S 57 ; 16 1 2 n n SI SI );,(),( 180 11 )4(4 bafh ab SI n );,(),( 2180 22 )4( 4 2 baf hab SI n );()( 2 )4( 1 )4( ff ).( 15 1 22nnn SSSI 因此因此, 若事先給定誤差限若事先給定誤差限 , 則當則當 .15| 2 nn SS 時可停止計算時可停止計算, 取取 S2n為滿足精度要求的近似值為滿足精度要求的近似值. 復化復化Simpson公式余項的后驗估計公式余項的后驗估計 58 nnnnn TTTTTI 3 1 3 4 )( 3 1 222 4 Romber

19、g求積公式求積公式 啟示啟示: 是否用是否用 復化梯形公式余項的后驗估計表明復化梯形公式余項的后驗估計表明 nn TT 3 1 3 4 2 逼近逼近 I ( f ) 比用比用 T2n要好要好. 事實上有事實上有 . 3 1 3 4 22nnn STT 即梯形值序列的巧妙線性組合得到即梯形值序列的巧妙線性組合得到Simpson序列序列! 59 以以n=4為例加以說明為例加以說明. 記記 fk= f (xk), )(2 16 7654321808 fffffffff ab T )(2 8 642804 fffff ab T 8 ab kaxk )(422 8 4 7654321808 ffffff

20、fff ab T .3)4( 488 TTS )( 2)( 4 8 642753180 fffffffff ab 48 4TT 60 ).( 15 1 22nnn SSSI . 15 16 )( 15 1 2 22 nn nnn SS SSSI 逼近逼近 I ( f ) 比用比用 S2n要好要好. 回答回答: 是的是的, 記記,15)16( 22nnn SSC 15)16( 2nn SS 則它恰為復化則它恰為復化Cotes公式公式; 且有如下誤差估計式且有如下誤差估計式 ).(| )(| 6 2 hOfIC n 復化復化Simpson公式余項的后驗估計表明公式余項的后驗估計表明 問題問題: 是

21、否用是否用 61 . 63 1 63 64 22nnn RCC 類似地可以得到類似地可以得到 2n R其中其中被稱為被稱為Romberg序列序列. ).(| )(| 8 2 hOfIR n 截斷誤差截斷誤差: 62 1 T 2 T 4 T 8 T 16 T 32 T 2 S 4 S 8 S 16 S 32 S 4 C 8 C 16 C 32 C 8 R 16 R 32 R 3 4 2 2 nn n TT S 15 16 2 2 nn n SS C 63 64 2 2 nn n CC R 停機準則停機準則: 梯形值序列梯形值序列 Simpson序列序列 Cotes序列序列 Romberg序列序列

22、 Romberg求積公式求積公式 63 例例 計算計算. sin 1 0 dx x x I 2)1()0( 1 ffT =0.9207355 )5 . 0( 2 1 2 1 12 fTT =0.9397933 ) 4 3 () 4 1 ( 4 1 2 1 24 ffTT =0.9445135 =0.9456909 ) 8 7 () 8 5 () 8 3 () 8 1 ( 8 1 2 1 48 ffffTT 解解先求梯形值序列先求梯形值序列 64 n n T n S n C n R 2 4 1 8 0.9207355 0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.9461459

23、 0.9560869 0.9460833 0.9460830 0.94608310.9460831 3 4 2 2 nn n TT S 15 16 2 2 nn n SS C . 63 64 2 2 nn n CC R 利用只有兩三位有效數(shù)字利用只有兩三位有效數(shù)字 的的T1, ,T8 經(jīng)過三次外推得經(jīng)過三次外推得 到到7位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 可見加速的可見加速的 效果十分顯著效果十分顯著. 用用Romberg算法計算如下算法計算如下 65 理論依據(jù)理論依據(jù): 復化梯形公式的余項展開復化梯形公式的余項展開. 記記),(hTTn 定理定理 設設,)(baCxf 則則 k kh hhIhT 24

24、2 2 1 )( 其中系數(shù)其中系數(shù) k ( k=0, 1, )是與是與 h 無關的常數(shù)無關的常數(shù). T (h) 逼近逼近 I 的速度是的速度是 O ( h2 )階階. 66 , 3 )()2(4 )( 26 2 4 11 k kh hhI hThT hT 當區(qū)間當區(qū)間a, b 2n等分時等分時, 則有則有), 2 ( 2 h TT n 在定理中以在定理中以 h/2 代替代替 h 得得 , 21642 2 4 2 2 1 k k hhh I h T 上式乘以上式乘以4減去減去 T(h) 再除以再除以3, 記之為記之為 T1(h), 得得 T1 (h) 逼近逼近 I 的速度是的速度是 O ( h4

25、 )階階, 效果比效果比 T (h)好好, 它它 不是別的不是別的, 就是就是Simpson序列序列. 67 類似地類似地 k kh hhI hThT hT 28 2 6 1 11 2 15 )()2(16 )( , 162 26 2 4 11 k kh h h I h T 上式乘以上式乘以16減去減去 T1(h) 再除以再除以15, 記之為記之為 T2(h), 得得 T2 (h) 逼近逼近 I 的速度是的速度是 O ( h6 )階階, 效果比效果比 T1 (h)好好, 它不是別的它不是別的, 就是就是Cotes公式序列公式序列. 68 對對Cotes公式序列進行同樣處理得到公式序列進行同樣處

26、理得到Romberg 公式序列公式序列. Richardson外推加速方法外推加速方法 也稱為也稱為Romberg求積算法求積算法 收斂性說明收斂性說明: 如果如果 f (x) 充分光滑充分光滑, 那么梯形公那么梯形公 式序列式序列, Simpson公式序列公式序列, Cotes公式序列公式序列, Romberg公式序列均收斂到所求的積分值公式序列均收斂到所求的積分值. 對于對于 f (x)不充分光滑的函數(shù)也可用不充分光滑的函數(shù)也可用Romberg算算 法計算法計算, 只是收斂慢一些只是收斂慢一些. 也可以直接使用復化也可以直接使用復化 Simpson公式計算公式計算. 69 例例 用用Bom

27、berg算法計算積分算法計算積分. 1 0 23 dxxI 解解 23 )(xxf 在在0, 1上僅是一次連續(xù)可微上僅是一次連續(xù)可微 用用Romberg算法計算結果見下表算法計算結果見下表 n n T n S n C n R 2 4 1 8 16 32 0.5 0.426777 0.407018 0.401812 0.400463 0.400118 0.402369 0.400432 0.400077 0.400014 0.400002 0.400302 0.400054 0.400009 0.400002 0.400050 0.400009 0.400002 70 . )()( 1 n k

28、kk b a xfAdxxf 5 Gauss型求積公式型求積公式 基本思想基本思想 設計求積公式設計求積公式: 在節(jié)點數(shù)在節(jié)點數(shù) n 固定時固定時, 適當?shù)剡x取求積節(jié)點適當?shù)剡x取求積節(jié)點 xk 與求與求 積系數(shù)積系數(shù) Ak , 使求積公式具有使求積公式具有最高的代數(shù)精確度最高的代數(shù)精確度. 71 例例 確定確定x1, x2, A1, A2, 使求積公式使求積公式 )()()( 2211 1 1 xfAxfAdxxf 具有最高次的代數(shù)精確度具有最高次的代數(shù)精確度. x2x1 1 選取選取 (A1 , A2 , x1 , x2)使該求積公式對使該求積公式對 f (x) = 1, x, x2, x3

29、 時等號成立時等號成立. 1 72 )()()( 2211 1 1 xfAxfAdxxf 3 1 3 1 1 1 0 3 2 0 21 1 2 1 2 1 3 22 3 1 1 1 1 33 2 22 2 1 1 1 1 22 221 1 1 1 2 1 1 1 x x A A xAxAdxxxf xAxAdxxxf xAxAxdxxf AAdxf ) 3 1 () 3 1 ()( 1 1 ffdxxfI 對對 f = 1, x, x2, x3 積分精確成立積分精確成立 四個方程四個未知數(shù)四個方程四個未知數(shù) 73 梯形公式與梯形公式與Gauss求積公式的比較求積公式的比較 對對1, x求積公式

30、精確求積公式精確 成立成立(1(1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度) ) 對對1, x, x2, x3求積公式精求積公式精 確成立確成立(3 次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度) 74 )()()()( :3 332211 1 1 xfAxfAxfAdxxfn x3x11x2 1 選取選取(A1, A2 , A3 , x1, x2 , x3) 使該求積公式對使該求積公式對 f (x) = x0, x1, x2, x3, x4, x5 時等號成立時等號成立. 區(qū)間區(qū)間 1, 1上的上的Gauss求積公式求積公式 75 3/5 0 3/5 5/9 8/9 5/9 0 5 2 0 3 2 0 21 1 3 2 1 3

31、 2 1 5 33 5 2 1 1 2 5 11 55 4 33 4 2 1 1 2 4 11 44 3 33 3 2 1 1 2 3 11 33 2 33 2 2 1 1 2 2 11 22 332 1 1 211 3 1 1 21 x x x A A A xAxAxAdxxxf xAxAxAdxxxf xAxAxAdxxxf xAxAxAdxxxf xAxAxAxdxxf AAAdxf ) 5 3 ( 9 5 )0( 9 8 ) 5 3 ( 9 5 )( 1 1 fffdxxfI 對對 f = x0, x1, x2, x3, x4, x5 求積公式等號成立求積公式等號成立 76 syms

32、A1 A2 A3 x1 x2 x3 eq1=A1+A2+A3-2 eq2=A1*x1+A2*x2+A3*x3 eq3=A1*x12+A2*x22+A3*x32-2/3 eq4=A1*x13+A2*x23+A3*x33 eq5=A1*x14+A2*x24+A3*x34-2/5 eq6=A1*x15+A2*x25+A3*x35 A1,A2,A3,x1,x2,x3=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6) Matlab求解求解 77 )()()()( 2211 1 1 nn xfAxfAxfAdxxf 選取選取(A1, A2, , An , x1, x2 , , xn)使該求積公

33、式對使該求積公式對f (x) = x0, x1, x2, , x2n 1時等號成立時等號成立. . 區(qū)間區(qū)間 1, 1上的上的Gauss求積公式求積公式 78 0 12 1 3 2 0 21 1 1212 2 1 1 2 12 11 1212 2222 2 1 1 2 22 11 2222 22 2 1 1 2 2 11 22 2 1 1 211 1 1 21 n nn nnnn n nn nnnn nn nn n xAxAxAdxxxf xAxAxA n dxxxf xAxAxAdxxxf xAxAxAxdxxf AAAdxf 2n個方程個方程2n個未知數(shù)個未知數(shù), 非線性方程非線性方程,

34、解是否存在唯解是否存在唯 一？若存在一？若存在, 如何求解？如何求解？ 對對 f = x0, x1, x2, , x2n 1求積公式等號成立求積公式等號成立 79 . )()()( 1 n k kk b a xfAdxxfx 研究最一般情形的帶權積分研究最一般情形的帶權積分: 具有具有2n1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度, 則稱這組節(jié)點則稱這組節(jié)點 xk為為 Gauss 點點, 上述公式稱為帶權函數(shù)上述公式稱為帶權函數(shù) (x)的的Gauss型型求求 積公式積公式. 定義定義 如果一組節(jié)點如果一組節(jié)點x1, x2, , xn a, b能使求積公式能使求積公式 n k kk b a xfAdxxfx 1

35、 )()()( Gauss型型求積公式求積公式 80 . 12, 1 , 0,)( 1 nmxAdxxx m k n k k b a m 由上述由上述 2n個方程確定全部個方程確定全部 的的2n個待定參數(shù)個待定參數(shù) xk , Ak ( k=1, , n), 使求積公式至少具有使求積公式至少具有 2n 1次代數(shù)精次代數(shù)精 確度確度. 但上述方程組是非線性方程組但上述方程組是非線性方程組, 求解十分困求解十分困 難難. 一般利用一般利用 正交多項式正交多項式來求出來求出Gauss點與求積系點與求積系 數(shù)數(shù). Gauss型型求積公式求積公式 對對 f = x0, x1, x2, , x2n 1求積公

36、式等號成立求積公式等號成立 81 定理定理 一求積公式的節(jié)點一求積公式的節(jié)點 x1, x2, , xn是高斯點的充是高斯點的充 分必要條件是以這些節(jié)點為根分必要條件是以這些節(jié)點為根(零點零點)的多項式的多項式 與任何次數(shù)不超過與任何次數(shù)不超過n1的多項式的多項式P(x)帶權正交帶權正交 )()()( 21nn xxxxxxx b a n dxxxPx. 0)()()( 高斯求積基本定理高斯求積基本定理 82 b a j dxxlx)()(0 2 高斯求積公式的穩(wěn)定性定理高斯求積公式的穩(wěn)定性定理 定理定理 高斯求積公式的系數(shù)高斯求積公式的系數(shù)Ak (k=1, 2, , n)全是正全是正 的，因而

37、高斯求積公式是穩(wěn)定的的，因而高斯求積公式是穩(wěn)定的. 證明證明 對于拉格朗日插值基函數(shù)對于拉格朗日插值基函數(shù) lj(x) (j=1, , n), 有有 n k kjk xlA 1 2 )( . j A 83 .)()()( 1 lim b a n k kk n dxxfxxfA 高斯求積公式的收斂性定理高斯求積公式的收斂性定理 定理定理 設設 f (x) C a, b, 則高斯求積公式是收斂的則高斯求積公式是收斂的. 84 高斯求積公式中高斯點和求積系數(shù)的確定高斯求積公式中高斯點和求積系數(shù)的確定 確定高斯求積公式中的兩組不同性質(zhì)的待定系數(shù)確定高斯求積公式中的兩組不同性質(zhì)的待定系數(shù) xk , Ak

38、 (k=1, 2, , n)采用不同的方法：采用不同的方法： 由由a, b上帶權上帶權(x)正交的正交的n次多項式的零點確定次多項式的零點確定 高斯點高斯點 xk (k=1, 2, n); 由由n 1次代數(shù)精確度條件確定求積系數(shù)次代數(shù)精確度條件確定求積系數(shù)Ak (k=1, , n). 85 在在 1,1上權函數(shù)為上權函數(shù)為1的積分的積分 的高斯求積的高斯求積 公式的求積節(jié)點公式的求積節(jié)點(高斯點高斯點)即為即為n次勒讓德多次式次勒讓德多次式Pn (x) 的零點的零點. 1 1 )(dxxf ).0(2)( 1 1 fdxxf 高斯高斯-勒讓德求積公式勒讓德求積公式 n=1時，時，P1(x)=x, 高斯點高斯點x1=0, 求積系數(shù)求積系數(shù)A1=2, 一點高斯一點高斯-勒讓德求積公式為中矩形公式勒讓德求積公式為中矩形公式 86 ). 3 1 )( 3 1 ( 2 1 )13( 2 1 )( 2 2 xxxxP 1 1 . 3 1 3 1 )(ffdxxf n=2 兩點高斯兩點高斯-勒讓德求積公式為：勒讓德求積公式為： 高斯高斯-勒讓德求積公式勒讓德求積公式 高斯點高斯點 3 1 , 3