第7章 對(duì)數(shù)線性模型

1、第七章 對(duì)數(shù)線性模型 對(duì)數(shù)線性模型 Logit模型描述的是概率與協(xié)變量之間的關(guān)系； 對(duì)數(shù)線性模型用來(lái)描述期望頻數(shù)與協(xié)變量之間 的關(guān)系； 考慮期望頻數(shù)m的取值范圍在0到無(wú)窮之間，故需 要進(jìn)行對(duì)數(shù)變換為 ，使它的取值在 之間； 對(duì)數(shù)線性模型具有以下形式： 不過(guò)，與logit不同的是，對(duì)數(shù)模型中沒(méi)有解釋變量， 是用行列因子的效應(yīng)參數(shù)來(lái)表示。 ( )lnf mm 與 01 1 ln kk mxx 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 設(shè) 它的對(duì)數(shù)線性模型就是對(duì) 進(jìn)行分解，分 解的方法與方差分析中效應(yīng)分解的方法完 全相同。于是有， 其中， 是總的平均， 和 分別是屬性A 在Ai時(shí)和屬性B在Bj時(shí)的效應(yīng)，而 是屬 性

2、A和B的交互作用(關(guān)聯(lián)項(xiàng)或關(guān)聯(lián)參數(shù))。 以上模型是二維列聯(lián)表的飽和模型，其期 望頻數(shù)的估計(jì)就是實(shí)際頻數(shù) 。 (),1, ,1, ijij mE nir jc ln ij m ( )( )( ) ln ija ib jab ij m ( )a i ( )b j ( )ab ij ij n 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 二維列聯(lián)表的非飽和模型為： 其中沒(méi)有交互效應(yīng)，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換可以得到 可見(jiàn)，列聯(lián)表獨(dú)立性成立，故稱(chēng)為獨(dú)立性對(duì)數(shù) 線性模型。其mij的估計(jì)為 一般認(rèn)為，在對(duì)數(shù)線性模型中，當(dāng)?shù)碗A效應(yīng)為 0時(shí)，其高階效應(yīng)也為0.因此，非飽和模型除 以上形式外，還有另外兩種情況： ( )( ) ln ija ib

3、j m ( )( )( )( )a ib ja ib j ij meee / ijij mn nn 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 分別為： 其中，屬性A與B獨(dú)立，或僅有屬性A的效應(yīng)，或僅有屬性B 的效應(yīng)，且期望頻數(shù)的估計(jì)分別為： 獨(dú)立對(duì)數(shù)線性模型是否成立的似然比檢驗(yàn)和皮爾遜卡方檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： ( ) ( ) ln ln ija i ijb j m m , j i ijij n n mm cr 2 22 () 2ln, ijijij ij ijij mnm Gn nm 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 獨(dú)立性對(duì)數(shù)線性模型也可以理解為： 根據(jù)獨(dú)立性條件 ，在兩邊取對(duì) 數(shù)就得到一個(gè)相加關(guān)系，即 依賴(lài)于一 個(gè)與

4、樣本量n有關(guān)的項(xiàng)，一個(gè)與落入第i行的 概率有關(guān)的項(xiàng)，和一個(gè)與落入第j列的概率 有關(guān)的項(xiàng)，因此獨(dú)立性具有形式： 其中，三個(gè)參數(shù)分別對(duì)應(yīng)樣本量的總效應(yīng)、 行因素的效應(yīng)和列因素的效應(yīng)。 因此，獨(dú)立性的原假設(shè)等價(jià)于該模型的原 假設(shè)，獨(dú)立性卡方和似然比檢驗(yàn)，就是該 模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。 ijijij mnpn ln ij m ( )( ) ln ija ib j m 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 從獨(dú)立性模型可知，列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型并 不區(qū)分響應(yīng)變量和解釋變量，對(duì)單元頻數(shù)的建 模，把行和列都看作響應(yīng)變量。 對(duì)數(shù)線性模型的優(yōu)點(diǎn)在于：能定量表示屬性A 在Ai時(shí)和屬性B在Bj時(shí)的效應(yīng)，以及它們之間的 交互效應(yīng)。

5、 【例】對(duì)給出的二維列聯(lián)表(表7.1)，構(gòu)建對(duì)數(shù)線 性模型。 首先根據(jù)原列聯(lián)表可以計(jì)算出期望頻數(shù)估計(jì)值， 進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)， ,df=(3- 1)(3-1)=4, p0.3,故獨(dú)立性成立。 22 4.7200,4.6656G 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 在模型檢驗(yàn)通過(guò)后，來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，方法與 方差分析完全相同 總的效應(yīng)平均為： 屬性A在A1時(shí)的效應(yīng)(行效應(yīng))為： 類(lèi)似地，可得到屬性A在A2，A3時(shí)的效應(yīng)分別為： 屬性B在B1,B2,B3時(shí)的效應(yīng)(列效應(yīng))分別為： (ln17.5ln6.56)/92.69 (1) (ln17.5ln45ln17.5)/32.690.48 a (2)(3) 0.01

6、,0.49 aa (1)(2)(3) 0.31,0.62,0.31 bbb 二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 根據(jù)以上獨(dú)立模型的結(jié)果可知， 在屬性A的效應(yīng)中，A1的行效應(yīng)最大為0.48，A3的 行效應(yīng)最小為-0.49； 在屬性B的效應(yīng)中，B1和B3的列效應(yīng)相同為-0.31， B2的列效應(yīng)最大為0.62； 因此，對(duì)數(shù)線性模型可以定量給出各種效應(yīng)的 值。 從以上對(duì)數(shù)線性模型的應(yīng)用可以看出，對(duì)數(shù)模 型有假設(shè)前提： 上例是假定每個(gè)因子的效應(yīng)參數(shù)和等于0. 在一些軟件中通常是假定每個(gè)屬性的最后一個(gè)類(lèi)別 的參數(shù)等于0. 高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 與二維列聯(lián)表的情況類(lèi)似，高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)

7、線性模型也分飽和模型、非飽和模型； 對(duì)于三維列聯(lián)表的飽和模型為： 其中，除四個(gè)單因子項(xiàng)外，三個(gè)雙因子項(xiàng)，一 個(gè)三因子項(xiàng)； 而它的非飽和對(duì)數(shù)模型可能有8種情況： 對(duì)于模型 ，等價(jià)于三維列 聯(lián)表中A,B,C相互獨(dú)立，記為(A,B,C)； 對(duì)于模型 , 等價(jià)于A與BC,B與AC,C與AB相互獨(dú)立； ( )( )( )( )()()() ln ijka ib jc kab ijbc jkac ikabc ijk m ( )( )( ) ln ijka ib jc k m ( )( )( ) ln ijka ib jc k m任一二次效應(yīng) 高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 對(duì)于模型 ，等 價(jià)于A給定后B和C條件

8、獨(dú)立， B給定后A和C條件獨(dú) 立， C給定后A和B條件獨(dú)立; 對(duì)于包括所有一次效應(yīng)和三個(gè)二次效應(yīng)的模型，等 價(jià)于所有的獨(dú)立性被拒絕后的三維列聯(lián)表的相關(guān)模， 即兩兩有交互作用，但三個(gè)之間沒(méi)有交互作用去情 形； 【例】對(duì)例5.3普通車(chē)和高檔車(chē)問(wèn)題構(gòu)建對(duì)數(shù)線性 模型(齊次關(guān)聯(lián)模型)。 在高維列聯(lián)表的相關(guān)性討論中，該例中所有的 獨(dú)立性都被拒絕了，因此判斷是相關(guān)模型，形 式為： ( )( )( ) ln ijka ib jc k m任兩個(gè)二次效應(yīng) ( )( )( )( )()() ln ijka ib jc kab ijbc jkac ik m 高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件可以方便得到模型的參

9、數(shù)估計(jì)； 也可以利用迭代法得到的期望頻數(shù)的估計(jì)值(表5.39)，來(lái) 計(jì)算模型的效應(yīng)參數(shù)，方法與二維表相類(lèi)似，與方差分析 中效應(yīng)的計(jì)算完全相同； 與二維表相比，需要注意的是交互作用的計(jì)算方法； 在某一格確定后，要用這一格的均值同時(shí)減去行效應(yīng)、列效應(yīng)和 總效應(yīng)，才是交互效應(yīng)。 在以上齊次關(guān)聯(lián)模型中，條件優(yōu)勢(shì)比與分層因素?zé)o關(guān)，只 與兩個(gè)因子的交互效應(yīng)有關(guān)； 兩因子的交互效應(yīng)決定了條件優(yōu)勢(shì)比； 決定的方式與因子效應(yīng)的計(jì)算有關(guān)； 高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 在上述齊次關(guān)聯(lián)模型下，無(wú)論按哪個(gè)屬性分層 均得到四格表，其對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比為： 因此，條件優(yōu)勢(shì)比與交互效應(yīng)的關(guān)系式為： 當(dāng)按照對(duì)數(shù)模型每個(gè)因子的效應(yīng)參數(shù)和等

10、于0的假 設(shè)前提時(shí)， ； 當(dāng)按照軟件的處理，令最后一類(lèi)的參數(shù)等于0時(shí)， 1122 11221221 1221 (11)(22)(12)(21) lnlnlnlnlnln abababab m m mmmm m m (11)(22)(12)(21) exp abababab (11) exp4 ab (11) exp ab 不完備列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型 對(duì)于先驗(yàn)0的不完備列聯(lián)表，也可以建立對(duì)數(shù) 線性模型； 不完備二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型，與完備列 聯(lián)表的區(qū)別僅在于定義域僅限于非空格，模型 特點(diǎn)和功效與完備表類(lèi)似； 不完備列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型所起的作用，與完備 表類(lèi)似，既是擬獨(dú)立性討論的延伸，又具有應(yīng)用上 的同一性； 不完備三維列聯(lián)表的情況與完備的三維表相類(lèi) 似，需要借助軟件建立對(duì)數(shù)線性模型。 對(duì)數(shù)模型