高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)16 正弦定理和余弦定理（含2017高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精考點(diǎn)16 正弦定理和余弦定理1、 選擇題1。（2017全國(guó)乙卷文科t11）abc的內(nèi)角a,b，c的對(duì)邊分別為a,b，c。已知sinb+sina（sinc-cosc)=0,a=2，c=，則c=（)a.b。c。 d.【命題意圖】本題主要考查三角公式的應(yīng)用,重點(diǎn)考查正弦定理在解決三角形問(wèn)題中的應(yīng)用.【解析】選b。由題意得sin（a+c)+sina(sinccosc）=0,sinacosc+cosasinc+sinasincsinacosc=0,即sinc(sina+cosa）=sincsin=0,所以a=.由正弦定理=得=,即sinc=，得c=,故選b?！痉此伎偨Y(jié)】在解有關(guān)

2、三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息。一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí),要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到。2.(2017山東高考理科t9）在abc中,角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c,若abc為銳角三角形，且滿(mǎn)足sinb（1+2cosc)=2sinacosc+cosasinc，則下列等式成立的是(）a.a=2bb。b=2ac。a=2bd.b=2a【命題意圖】本題考查三角恒等變換及正弦定理的應(yīng)用，意在考查考生對(duì)數(shù)學(xué)式子的變形能力與運(yùn)算

3、推理能力.【解析】選a。2sinacosc+cosasinc=sinacosc+(sinacosc+cosasinc)=sinacosc+sinb=sinb+2sinbcosc，即sinacosc=2sinbcosc，由于abc為銳角三角形,所以cosc0,sina=2sinb，由正弦定理可得a=2b。二、填空題3.(2017全國(guó)丙卷文科t15）abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a,b，c.已知c=60,b=，c=3,則a=?！久}意圖】本題考查正弦定理,考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力.【解析】由題意:=，即sinb=，結(jié)合bc可得b=45，則a=180bc=75。答案:754.(2017全國(guó)甲卷文t

4、16）abc的內(nèi)角a,b，c的對(duì)邊分別為a,b，c，若2bcosb=acosc+ccosa,則b=?！久}意圖】正弦定理和三角恒等變換,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸能力及運(yùn)算求解能力.【解析】由正弦定理可得2sinbcosb=sinacosc+sinccosa=sin（a+c）=sinb，所以cosb=，又因?yàn)?b，所以b=。答案: 【方法技巧】有關(guān)解三角形的問(wèn)題(1)此題型為高考高頻考點(diǎn),命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題。(2）解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”。三、解答題5.(2017北京高考理科t15)在ab

5、c中，a=60，c=a。（1)求sinc的值。（2)若a=7,求abc的面積?！久}意圖】本題主要考查解三角形的內(nèi)容，意在培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力與分析圖形的能力.【解析】（1)根據(jù)正弦定理=，所以sinc=sin60=.（2)當(dāng)a=7時(shí),c=a=3,因?yàn)閟inc=,ca，所以cosc=,在abc中,sinb=sin-（a+c）=sin（a+c)=sinacosc+cosasinc=+=,所以sabc=acsinb=73=6.【答題模版】1。看到邊角混合等式，想到利用正弦、余弦定理將“邊、角相混合”的等式轉(zhuǎn)化為“邊和角的單一”形式.2.看到邊a,b，c的平方關(guān)系想到余弦定理的變形形式.6.（2017

6、全國(guó)丙卷理科t174)abc的內(nèi)角a，b,c的對(duì)邊分別為a，b，c,已知sina+cosa=0,a=2，b=2。(1）求c.（2)設(shè)d為bc邊上一點(diǎn)，且adac，求abd的面積?！久}意圖】本題主要考查正弦定理和余弦定理，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【解析】（1)因?yàn)閟ina+cosa=0，所以sina=cosa，所以tana=-。因?yàn)閍(0，），所以a=。由余弦定理得a2=b2+c22bccosa，代入a=2，b=2得c2+2c-24=0，解得c=6（舍去)或c=4，所以c=4.（2)由（1）知c=4.因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosc，所以16=28+4222cosc,所以cosc

7、=,所以sinc=，所以tanc=.在rtcad中，tanc=，所以=,即ad=。則sadc=2=，由(1)知sabc=bcsina=24=2,所以sabd=sabcsadc=2-=.7.(2017全國(guó)甲卷理科t17)abc的內(nèi)角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sin(a+c)=8sin2.(1)求cosb.(2）若a+c=6，abc的面積為2,求b?！久}意圖】考查三角恒等變換、三角形面積公式以及余弦定理,意在考查學(xué)生的化歸思想方法和求解運(yùn)算能力?！窘馕觥浚?)由題設(shè)及a+b+c=得sinb=8sin2,故sinb=4(1cosb),上式兩邊平方,整理得17cos2b-32cosb+1

8、5=0，解得cosb=1(舍去），cosb=,(2）由cosb=得sinb=,故sabc=acsinb=ac，又sabc=2,則ac=，由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c22accosb=(a+c）2-2ac（1+cosb）=362=4，所以b=2。【方法技巧】有關(guān)解三角形的問(wèn)題（1）此題型為高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題,主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題。（2）解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”,另外要注意a+c，ac，a2+c2三者的關(guān)系。8.(2017全國(guó)乙卷理科t17)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a,b,c，已

9、知abc的面積為.(1）求sinbsinc。(2)若6cosbcosc=1,a=3,求abc的周長(zhǎng).【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理,余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用?！窘馕觥?1）因?yàn)閍bc面積s=且s=bcsina，所以=bcsina，所以a2=bcsin2a，由正弦定理得sin2a=sinbsincsin2a,由sina0得sinbsinc=.(2）由（1)得sinbsinc=,又cosbcosc=，因?yàn)閍+b+c=,所以cosa =cos=-cos=sinbsin c-cosbcosc =,又因?yàn)閍,所以a=,sina=，cosa=,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9

10、,由正弦定理得b=sinb,c=sinc，所以bc=sinbsinc=8，由得b+c=,所以a+b+c=3+,即abc的周長(zhǎng)為3+.【反思總結(jié)】在處理解三角形問(wèn)題時(shí),要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角,求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值,這類(lèi)問(wèn)題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式,如y=asin(x+）+b,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求

11、具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可。9。(2017天津高考理科t15)在abc中,內(nèi)角a,b，c所對(duì)的邊分別為a,b，c。已知ab,a=5,c=6,sinb=.（1）求b和sina的值。（2）求sin的值?！久}意圖】本題考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換?？疾閷W(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。【解析】（1)abc中,ab,sinb=，所以cosb=,由余弦定理得，b2=a2+c22accosb=13,所以,b=,由正弦定理得，sina=.（2)由(1)知sina=,又ac,cosa=,sin2a=2sinacosa=，cos2a=1-2sin2a=,所以,sin=sin2acos+cos2

12、asin=.【誤區(qū)警示】在上述解題過(guò)程中，若忽略了大邊對(duì)大角這一性質(zhì)，就會(huì)出現(xiàn)角a、角b的余弦值為負(fù)值的情況,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.10。（2017天津高考理科t15）在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b，c。已知asina=4bsinb,ac= (a2-b2c2).(1）求cosa的值。(2)求sin（2ba)的值。【命題意圖】本題考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換?？疾閷W(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！窘馕觥浚?）由asina=4bsinb,及=，得a=2b.由ac= （a2b2-c2),及余弦定理,得cosa=-.（2)由（1)可得sina=,代入asina=4bsinb，得si

13、nb=.由（1)知，a為鈍角，所以cosb=，于是sin2b=2sinbcosb=，cos2b=12sin2b=,故sin（2ba)=sin2bcosa-cos2bsina=-=-。11.(2017山東高考文科t17）在abc中，角a,b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=3，=-6，sabc=3，求a和a。【命題意圖】本題考查向量的數(shù)量積公式、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力和運(yùn)算求解能力。【解析】因?yàn)?6，所以bccosa=6,又sabc=3,所以bcsina=6,因此tana=1，又0a，所以a=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c22bccosa,得a2=9+8232=29，所以a=。12。（2017浙江高考t14）已知abc，ab=ac=4，bc=2。點(diǎn)d為ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn),bd=2,連接cd,則bdc的面積是,cosbdc=。【命題意圖】本題主要