高中數(shù)學 考點30 直接證明與間接證明（含2014高考試題）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點30 直接證明與間接證明一、選擇題1.（2014山東高考理科4）用反證法證明命題:“已知為實數(shù),則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ )a、方程沒有實根.b、方程至多有一個實根.c、方程至多有兩個實根。d、方程恰好有兩個實根。【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0，1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根?！窘馕觥窟xa?！耙阎獮閷崝?shù),則方程至少有一個實根的反面是“方程沒有實根?！惫蔬xa.2。（2014山東高考文科4）與（2014山東高考理科4）相同用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時

2、，要做的假設是( ）a、方程沒有實根.b、方程至多有一個實根.c、方程至多有兩個實根。d、方程恰好有兩個實根。【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0，1，2.因此至少有一個實根包含1根或兩根,它的反面為0根.【解析】選a.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根。故選a.二、解答題3。(2013北京高考理科20）已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為an，第n項之后各項,的最小值記為bn，dn=anbn（1）若an為2,1，4，3，2,1,4，3,是一個周期為4的數(shù)列（即對任意nn,),寫出d1，d2，d3，d4

3、的值；（2）設d為非負整數(shù)，證明：dn=d(n=1，2，3）的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(3）證明:若a1=2，dn=1（n=1,2,3)，則an的項只能是1或2，且有無窮多項為1【解題指南】（1)根據(jù)dn的定義求。(2)充分性：先證明an是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明an是不減數(shù)列，再利用定義證明等差。(3）可通過取特殊值和反證法進行證明?！窘馕觥浚?）,，.（2） 充分性：若為公差為的等差數(shù)列,則.因為是非負整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列。，（n=1,2,3，）.必要性:若,假設是第一個使得的項，則,，,這與矛盾.所以是不減數(shù)列。，即，是公差為的等差數(shù)列.（3）首

4、先中的項不能是0，否則，與已知矛盾。中的項不能超過2，用反證法證明如下：若中有超過2的項，設是第一個大于2的項，中一定存在項為1，否則與矛盾。當時，否則與矛盾。因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，此時，矛盾.綜上中沒有超過2的項。綜合，中的項只能是1或2.下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下：若為最后一個1，則，矛盾.因此1有無數(shù)個. 4。（2013北京高考文科20）給定數(shù)列a1,a2，,an.對i=1，2，nl，該數(shù)列前i項的最大值記為ai，后n-i項ai+1，ai+2，,an的最小值記為bi，di=aibi。（1）設數(shù)列an為3,4，7，1，寫出d1，d2，d3的值。（2）設a1，a2

5、，an（n4)是公比大于1的等比數(shù)列,且a10.證明：d1,d2,dn-1是等比數(shù)列.（3)設d1,d2,dn1是公差大于0的等差數(shù)列,且d10，證明:a1，a2，an-1是等差數(shù)列.【解題指南】（1）利用di的公式，求d1，d2，d3的值.（2)先求出dn的通項，再利用等比數(shù)列的定義證明dn是等比數(shù)列。（3）先證明an是單調(diào)遞增數(shù)列，再證明an是數(shù)列an的最小項，最后證明an是等差數(shù)列.【解析】(1)，。(2)由是公比大于1的等比數(shù)列，且a10，可得的通項為且為單調(diào)遞增數(shù)列。于是當時,為定值.因此d1，d2，dn1構(gòu)成首項，公比的等比數(shù)列。（3）若d1，d2,dn1是公差大于0的等差數(shù)列,則0d1d2dn-1，先證明a1,a2，,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列，否則，設ak是第一個使得akak-1成立的項，則ak1=ak，bk1bk，因此dk1=ak1bk1akbk=dk，矛盾。因此a1，a2,，an1是單調(diào)遞增數(shù)列.再證明an為數(shù)列an中的最小項，否則設akan(k=1,2，,n-1)，顯然k1，否則d1=a1b1=a1-b1a1-a1=0，與di0矛盾.因而k2，此時考慮dk-1=ak-1bk1=ak1ak0，矛盾。因此，an為數(shù)列an中的最小項.綜上,dk=akbk=ak-an(k=1,2，,n1),于是ak=dk+an,從而a1，a2，an-