結(jié)構(gòu)力學(xué)A下★第10章★10-3★單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)

1、單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)( (受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)) )： 結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)。結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)。 tP my Inertia Force Elastic Force ky y k tP 無(wú)阻尼條件下，單自由度體系無(wú)阻尼條件下，單自由度體系 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：強(qiáng)迫振動(dòng)方程： mykyP t m k 2 P t yy m m tP m k y t Harmonic Loads General Dynamic Loads Forced-vibration of SDOF due to Harmonic Loads ( )sin P FtFt Assume

2、d: 2 sin F yyt m Complementary Solution 12 sincosyctct Particular Solution sinyAt 22 sinsin F Att m 22 F A m t m F y sin 1 2 2 2 12 2 2 2 1 sincossin 1 F yctctt m General Solution 2 F m st y The displacement which would be produced by the load F 將荷載最大值將荷載最大值F當(dāng)作靜荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所產(chǎn)生的位移當(dāng)作靜荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所產(chǎn)生的位移 2 F

3、k m m F k F 按自振頻率振動(dòng)按自振頻率振動(dòng) 由于阻尼的存在而迅速衰減由于阻尼的存在而迅速衰減 Transit State Steady State tytctcy st sin 1 1 cossin 2 2 21 初始條件：初始條件： 00 00yyyy 0 0 22 22 11 sincossinsin 11 stst y ytytytyt 由初始條件引起由初始條件引起 伴生自由振動(dòng)伴生自由振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 按荷載頻率振按荷載頻率振 動(dòng)動(dòng) tyy st sin 1 1 2 2 對(duì)于對(duì)于Steady State，任一時(shí)刻的位移為：，任一時(shí)刻的位移為： 最大振幅為：最大振

4、幅為： max ( ) st y ty max ( ) st y t y Magnification factor: 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù): sin st yyt 2 2 1 1 2 2 1 1 123 1 2 3 2 2 1 1 當(dāng)當(dāng)/0時(shí)時(shí),1，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 當(dāng)當(dāng)0 / 1，并且隨并且隨/的增大而增大。的增大而增大。 當(dāng)當(dāng)/ 1時(shí)時(shí),。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無(wú)即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無(wú) 限增大。稱為限增大。稱為“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1時(shí)時(shí),的絕對(duì)值隨的絕對(duì)值隨/的增大而減小。當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小。當(dāng)

5、很大時(shí)，荷載變很大時(shí)，荷載變 化很快，結(jié)構(gòu)來(lái)不及反應(yīng)?；芸?，結(jié)構(gòu)來(lái)不及反應(yīng)。 簡(jiǎn)諧荷載作用下單自由度無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧荷載作用下單自由度無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的特點(diǎn) sin st yyt 振動(dòng)頻率與荷載頻率相同振動(dòng)頻率與荷載頻率相同 y y 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力同時(shí)到達(dá)幅值 0y與干擾力方向相同 2 2 1 1 0y與干擾力方向相反 證明證明y y 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力同時(shí)到達(dá)幅值 sin st yyt 2 sin st yyt sin P FtFt 2 sin Ist F tmyt lEI F 2 st my F 2 st my 2 11 44 st MFlmyl st yF 2 2 1 1 2 1 m 2 2

6、 2 111 44 1 FlmFl 2 2 2 2 1 1 4 1 Fl 2 2 111 44 1 FlFl 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0動(dòng)力反應(yīng)趨于零動(dòng)力反應(yīng)趨于零 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，發(fā)生共振。工程中應(yīng)避免發(fā)生共振發(fā)生共振。工程中應(yīng)避免發(fā)生共振 振幅的控制措施振幅的控制措施 123 1 2 3 1, 增大 可減小振幅剛度方案 1, 減小 可減小振幅柔度方案 2m2m FP(t)10sint W Natural Frequency m 1 EI l 48 3 srad812.60 Force Frequency srad n 36.52 60 5002 60 2 magnification factor

7、866. 3 1 1 2 Max Displacement and Max Dynamic Moment maxWF yyy Wst yy P WF m00776. 0 maxWF MMM 11 44 P WlF l mkN 66.58 例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,FP=20kN,=80s-1 求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。 2m EI m k FPsint 2m kEI l 2 1 2 1 48 3 21 EI l EI l EI l 192 5 19248 333 1 3 16.134 5 1921

8、 s ml EI m 552. 1 1 1 22 333 3 max 5 51.552 20 105 4 5.75 10 192192 90 10 PP l yFFm EI max 11 ()1.55220431.04. 44 P MFlkN m 例：簡(jiǎn)支梁（例：簡(jiǎn)支梁（I28b），慣性矩），慣性矩I=7480cm4，W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。 在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量Q=35kN，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=500r/min。由于有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)。由于有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn) 生離心力生離心力FP=10kN，F(xiàn)P的豎向分量為的豎向分量為FPsint。忽略梁的質(zhì)量，。忽略梁的

9、質(zhì)量， 試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長(zhǎng)試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長(zhǎng)l=4m） S QlEIg 1 343 4 .57400359807480101 . 24848 S n 1 3 .526050014. 32602 88. 5 4 .573 .521 1 1 1 2222 EI Pl EI Ql yst st 4848 33 max W lPQ W Pl W Ql 4 )( 44 max st g 175.6MPa 必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質(zhì) 點(diǎn)上受干擾力作用的情況。對(duì)于干擾力不作用于質(zhì)點(diǎn)的單自由 度體系，以及多自由度體系，

10、均不能采用這一方法。 當(dāng)FP(t)沒(méi)有作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)？ sin P FtFt m EI 0.5l0.5l sin P FtFt 1PP r Ft 1PP r Ft 1PP r Ft 11 k y 111 0 PP myk yr Ft my 1P r 為單位力為單位力FP(t)1作用作用(y0)，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)m上沿運(yùn)動(dòng)方向所需的力上沿運(yùn)動(dòng)方向所需的力 1 5 16 PP rF 11 3 3EI k l 3 35 sin 16 P EI myyFt l sin P FtFt m EI 0.5l0.5l y t sin P FtFt my 111PP y tmyFt 1P 荷載荷載FP1作用時(shí)，作用時(shí)

11、， 沿質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生沿質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生 的位移的位移 11 11 1 k 1 11 11 P P myk yFt 1m2m FP(t)10sint W 1m Natural Frequency m 1 EI l 48 3 srad812.60 Force Frequency srad n 36.52 60 5002 60 2 magnification factor 866. 3 1 1 2 Max Displacement and Max Dynamic Moment maxWF yyy P WF m00776. 0 maxWF MMM 11 44 P WlF l mkN 66.58 思路

12、：將荷載看成是由一系列沖量疊加而成，求出每個(gè)沖量 引起的位移后將這些位移相疊加即為動(dòng)荷載引起的位移。 (1) 設(shè)體系在初始時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，有瞬時(shí)沖量S作用 P SFt 初速度： m S v 0 tctcy cossin 21 初位移：y00 t m S y sin t FP(t) FP t Forced-vibration of SDOF due to General Dynamic Loads 在在t0時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量S所引起的動(dòng)力響應(yīng)所引起的動(dòng)力響應(yīng) (2) 設(shè)體系在初始時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，在t= 時(shí)有瞬時(shí)沖量S作用 P SF d t FP（t） FP d sin S y

13、tt m t m S y sin 在在t時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量S所引起的動(dòng)力響應(yīng)所引起的動(dòng)力響應(yīng) (3) 任意動(dòng)荷載FP(t)的動(dòng)力反應(yīng) 0 1 ( )( )sin() t p y tFtd m sin S y tt m ( ) sin() p Fd dyt m Duhamel積分： P dsFd 如初始位移y0和初始速度0不為零，則總位移應(yīng)為 0 0 0 1 ( )cossin( )sin() t p y tyttFtd m vSuddenly Applied Constant Load vSuddenly Applied Load with a Limited Duration

14、vLinear Increment Loads Example: vSuddenly Applied Constant Load 0 0,0 ( ) ,0 p P t F t Ft 當(dāng) 當(dāng) t0： 0 0 2 0 1 ( )sin()(1cos)(1cos) t P Pst F y tFtdtyt mm 0 2 P stP F yF m 在靜荷載FP作用下所產(chǎn)生的靜位移 FP(t) t FP max ( ) 2 st y t y 突加荷載所引起的最大位移比相應(yīng)的靜位移增大1倍 yst y(t) t 0 23 質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng) vSuddenly Ap

15、plied Load with a Limited Duration 0 0,0 ( ), 0, pP t F tF 當(dāng) 當(dāng)0tu 階段I(0tu)：此階段的荷載情況與突加荷載相同 FP(t) t P u (1 cos) st y tyt 階段(tu)： 1、此階段無(wú)荷載作用，因此體系為自由振動(dòng)。以階段I終 了時(shí)刻(t=u)的位移y(u)和速度(u)作起始位移和起 始速度，可按自由振動(dòng)的解直接寫出。 2、按Duhamel積分計(jì)算 0 0 11 ( )sin()0 sin() ut P u y tFtdtd mm 0 cos ()cos P F tut m 2sinsin() 22 st uu

16、yt Max-Response of System 第一種情況是uT/2(加載持續(xù)時(shí)間大于半個(gè)自振周期)。 最大反應(yīng)發(fā)生在階段I，動(dòng)力系數(shù)為動(dòng)力系數(shù)為=2=2 第二種情況是uT/2。 最在反應(yīng)發(fā)生在階段II，動(dòng)力位移的最大值 1 cos0 2sinsin () 22 st st yttu y t uu yttu max 2sin 2 st u yy 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)2sin2sin 2 uu T 1 2sin 2 1 2 2 uu TT u T 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與結(jié)構(gòu)的參數(shù)與結(jié)構(gòu)的參數(shù)(T)和動(dòng)荷參數(shù)和動(dòng)荷參數(shù)(u)間的關(guān)系曲線間的關(guān)系曲線 T u 1/6 1 1/2 2 spectrum of magnification factor vLinear Increment Loads 0 0 , ( ) , P r rp Pr F ttt tF t Ftt 0 1sin , ( ) 1 1sinsin() , str r strr r t yttt t y t yttttt t 當(dāng) 當(dāng) FP(t) t P0 tr spectrum of magnification factor 01.02.03.04.0 T tr 1.4 1.2 1.0 1