第四講單自由度系統(tǒng)的受迫振動

1、2.2.1 振動微分方程振動微分方程 2.2.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅B、相位差的討論、相位差的討論 2.1.3 旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動 2.1.4 支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動 k m 0 sinft 簡諧激振力簡諧激振力tFFsin 0 振振力的幅值，力的幅值， 為激振力的圓頻率。為激振力的圓頻率。 以平衡位置以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直軸鉛直 向下為正，物塊運(yùn)動微分方程為向下為正，物塊運(yùn)動微分方程為 ： tFkxxcxmsin 0 tfxxnxsin2 0 2 0 具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程具有粘性阻尼的單自由度受

2、迫振動微分方程，是二階，是二階 常系數(shù)線性非齊次常微分方程。常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 2.2.1 2.2.1 振動微分方程振動微分方程 m F f m c n m k 0 0 2 0 ,2 , 例：例：，F(xiàn)0 0為激為激 m ck tFFsin 0 簡諧激勵的響應(yīng)全解簡諧激勵的響應(yīng)全解 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的運(yùn)動微分方程有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的運(yùn)動微分方程 微分方程全解：微分方程全解： 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解 )()( 21 txtxx tfxxnxsin2 0 2 0 00 (0)(0)0 xxxxt和時(shí)， tf

3、xxnxsin2 0 2 0 02 2 0 xxnx 非齊次通解非齊次通解齊次通解齊次通解非齊次特解非齊次特解 = 齊次齊次 非齊次非齊次 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運(yùn)動微分方程的全解 )()( 21 txtxx tnAx nt22 01 sine tBtxsin 2 x1(t)有阻尼自由振動運(yùn)動微分方程的解有阻尼自由振動運(yùn)動微分方程的解: 受迫振動的構(gòu)成：受迫振動的構(gòu)成： 0246810 -2 -1 0 1 2 B0 瞬態(tài)振動 完整受迫振動穩(wěn)態(tài)振動 t tBtxsin)( P 可以看出：可以看出：穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅與滯后相位差均穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅與滯后

4、相位差均 與初始條件無關(guān)與初始條件無關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵的特性。，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵的特性。 2.1.1 振動微分方程振動微分方程 2222 0 0 )2()(n f B 222 0 1 2 arctan 2 arctan r r n 00 (0)(0)0 xxxxt和時(shí) tfxxnxsin2 0 2 0 代入代入 其中初始條件：其中初始條件： 特解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）的求解：特解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）的求解： 將將 得到：得到： 相位差；其中相位差；其中r是是 激勵的頻率與系統(tǒng)激勵的頻率與系統(tǒng) 的固有頻率之比的固有頻率之比 0 r 穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅 系統(tǒng)的唯一穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的唯一穩(wěn)態(tài)

5、響應(yīng)為： 2 2 2 0 2 arctansin mk c t cmk F x 忽略阻尼時(shí)（忽略阻尼時(shí)（c c=0)=0)： t mk F t f tx sinsin 2 0 22 0 0 2 同理，扭轉(zhuǎn)振動微分方程為同理，扭轉(zhuǎn)振動微分方程為： tMkcJ sin 0 扭轉(zhuǎn)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為扭轉(zhuǎn)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： 2 2 2 0 2 arctansin Jk c t cJk M t 0 B B 2 2 2 21 1 rr 2 2 2 0 2 00 2 2 0 2 0 22 2 2 0 21 2)1 ( rr B n k F cmk F B k Ff B 0 2 0 0 0 000 2 ,

6、 m c n r 對振幅和相位進(jìn)行無綱量化處理：對振幅和相位進(jìn)行無綱量化處理： 等效于等效于F0靜止作用在靜止作用在 彈簧上產(chǎn)生的靜變形彈簧上產(chǎn)生的靜變形 令：振幅放大因子令：振幅放大因子 r 222 0 1 2 arctan 2 arctan r rn 幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線 r相頻響應(yīng)曲線相頻響應(yīng)曲線 2.2.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅B、相位差的討論、相位差的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 11的區(qū)域的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū)高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，響應(yīng)與，響應(yīng)與 激勵反相；阻尼影響也不大。激勵反相；阻尼影響也不大。 0 3、r 1的附近區(qū)域的附近區(qū)域(共振

7、區(qū)共振區(qū))， 急劇增大并在急劇增大并在 r1略為略為偏左偏左 處有峰值。通常將處有峰值。通常將r1，即，即 0稱為共振頻率。稱為共振頻率。阻尼影響顯阻尼影響顯 著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上， 無論阻尼大小，無論阻尼大小， r1時(shí)，總有，時(shí)，總有， /2 ,這也是共振的重要這也是共振的重要 現(xiàn)象。現(xiàn)象。 例例 題題 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。 由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為 e， 偏心質(zhì)量為偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速。轉(zhuǎn)子以勻角速轉(zhuǎn)動如圖轉(zhuǎn)

8、動如圖 示，試求電機(jī)的運(yùn)動。彈性基礎(chǔ)的作用相示，試求電機(jī)的運(yùn)動。彈性基礎(chǔ)的作用相 當(dāng)于彈簧常量為當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動時(shí)的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動時(shí) 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 解：解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O， x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力 有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛 加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。 2.2.3 2.2.3 旋轉(zhuǎn)失衡旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動引起的強(qiáng)迫振動 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有 0sin)( 2 st tmexMxkMgxc tmekxxcxMsin 2 )sin(2 22 0 te

9、 M m xxnx ,2 2 0 M c n M k ，= f0 2 e M m 例例 題題 (1) 電機(jī)作受迫振動的運(yùn)動方程為電機(jī)作受迫振動的運(yùn)動方程為 )sin(tBx 2222 2 2222 2 22 2 22 0 2 4)1 (4)1 ( 4 rr r b rr r M me n M me B 222 0 1 2 arctan 2 arctan r rn b B 2222 2 4)1 (rr r M me b 例例 題題 0 f 將將（1）代入代入P41（2.54）、（）、（2.55）得到：）得到： M me 例例 題題 當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率當(dāng)激振力的頻率

10、即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率0 時(shí)，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。時(shí)，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。 )()(yxcyxkxm 例例 題題 2.2.4 2.2.4 支撐運(yùn)動支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動引起的強(qiáng)迫振動 例：例：在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性 欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物，物 塊的質(zhì)量為塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為，彈簧的彈性常量為k。 設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動，設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動， 且支撐的運(yùn)動為且支撐的運(yùn)動為 , 試求物塊的運(yùn)動規(guī)律。試求物塊的運(yùn)動規(guī)律。 tatysin)( 解：解：建立物塊的運(yùn)動微分方程：建立物塊的運(yùn)動微分方程： mxcxkxcyky 利用復(fù)指數(shù)法求解，用利用復(fù)指數(shù)法求解，用 代換代換 t a j e taysin t Btx j e)( 并設(shè)方程的解為并設(shè)方程的解為 cmk jck e a B j j 2 222 2 2 2 2 2 2 )2()1 ( )2(1 rr r a cmk ck aB