信號與系統(tǒng)實驗三

1、實驗三、連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析一、實驗目的(1) 深刻理解和掌握拉普拉斯變換的運算方法及其性質；(2) 熟練掌握利用部分分式展開的方法求解拉普拉斯逆變換，并能利用MATLAB實現(xiàn)；(3) 理解復頻域系統(tǒng)函數(shù)的意義，并能熟練畫出其頻譜；(4) 利用復頻域系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布對連續(xù)時間系統(tǒng)進行復頻域分析原理和方法。二、實驗原理(1) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是分析連續(xù)時間信號的有效手段。信號的拉普拉斯變換定義為：其中，若以為橫坐標（實軸），為縱坐標（虛軸），復變量就構成了一個復平面，稱為平面。(2) 部分分式展開法求拉普拉斯逆變換如果是的實系數(shù)有理真分式，則可寫為：式中分母多項式稱為系統(tǒng)的特征

2、多項式，方程稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為系統(tǒng)的固有頻率（或自然頻率）。為將展開為部分分式，要先求出特征方程的個特征根，這些特征根稱為極點。根據(jù)的極點或特征根的分布情況，可以將展開成不同的部分分式。利用Matlab中的residue函數(shù)可得復雜的域表示式的部分分式展開式，其調(diào)用形式為：r,p,k=residue(num,den)其中，num(numerator)、den(denominator)分別為分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量,r為所得部分分式展開式的系數(shù)向量，p為極點，k為分式的直流分量。示例1：無重階極點情況求函數(shù)的拉普拉斯逆變換。源程序：num = 1 0;den = 1

3、6 8;r,p,k = residue(num, den);運行結果為：r2 1p4 2k=0由運行結果可知，有2個極點，分別是p4 2，所對應的系數(shù)向量分別是r2 1，因此可得的展開式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉普拉斯逆變換為：示例2：有重階極點且是以零極點形式表示的情況求函數(shù)的拉氏逆變換。F(s)的分母不是多項式，可以利用conv函數(shù)將現(xiàn)在的因子相乘的形式轉換為多項式的形式，然后再調(diào)用residue函數(shù)。源程序如下：num = 1;a=conv(1 -1,1 -1);den = conv(1 0, a);r,p,k = residue(num, den);運行結果為：r-1 1 1

4、p1 1 0k=0由運行結果可知，有1個單極點和一個重極點，所對應的系數(shù)向量分別是r0，1，1，因此可得的展開式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉普拉斯逆變換為：示例3：求函數(shù)的拉氏逆變換。同樣，的分母不是多項式，可以利用conv函數(shù)將現(xiàn)在的因子相乘的形式轉換為多項式的形式，然后再調(diào)用residue函數(shù)。源程序如下：num = 1 0 -4;den = conv(1 0 4, 1 0 4);r,p,k = residue(num, den);運行結果為：r-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip-0.0000

5、+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000ik=0由運行結果可知，有2個重極點，所對應的系數(shù)向量分別是r0，0.5，0，0.5，因此可得的展開式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉氏逆變換為：(3)連續(xù)系統(tǒng)復頻域分析拉普拉斯變換可以將連續(xù)系統(tǒng)從時域轉化到復頻域進行分析，將描述系統(tǒng)的時域微積分方程變換為復頻域的代數(shù)方程，便于運算和求解。在復頻域中描述系統(tǒng)的代數(shù)方程一般可表示為：即系統(tǒng)響應在復頻域中也可以分解成零輸入響應和零狀態(tài)響應。(4)系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應函數(shù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應的象函數(shù)與激勵的象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即：系統(tǒng)函數(shù)只與

6、描述系統(tǒng)的微分方程系數(shù)有關，即只與系統(tǒng)的結構、元件參數(shù)有關，而與外界因素（激勵、初始狀態(tài)等）無關。系統(tǒng)函數(shù)為復頻域中的函數(shù)，因此也存在著相頻特性和幅頻特性。而在系統(tǒng)分析時，經(jīng)常采用的是系統(tǒng)的頻率響應。系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應之間存在一定的關系。對于連續(xù)系統(tǒng)，如果其系統(tǒng)函數(shù)的極點均在左半開平面，那么它在虛軸上也收斂，從而得到系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)為：如果已經(jīng)知道系統(tǒng)的零極點分布，則可以采用幾何矢量法求出系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)，畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線（參考第七章第一節(jié)系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應函數(shù)部分）。如果利用Matlab來求解系統(tǒng)的頻率響應特性曲線，也可以用impulse函數(shù)求出系統(tǒng)的沖激響應，然后再

7、利用freqs函數(shù)直接計算系統(tǒng)的頻率響應。它們的調(diào)用形式分別為：sys=tf(b,a)，y=impulse(sys,t)。其中tf函數(shù)中的b和a參數(shù)分別為LTI系統(tǒng)微分方程右端和左端各項系數(shù)向量，分別對應著系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)；implulse函數(shù)直接求解系統(tǒng)沖激響應。freqs函數(shù)直接計算系統(tǒng)的頻率響應，其調(diào)用形式為H=freqs(b,a,w)。其中b為頻率響應函數(shù)分子多項式系數(shù)向量，a為分母多項式系數(shù)向量，它們也分別對應著系統(tǒng)函數(shù)相應的系數(shù)向量；w為需要計算的頻率抽樣點向量。值得注意的是，這種方法的前提條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點全部在復平面的左半開平面，因此必須先對系統(tǒng)函數(shù)的零極點進

8、行分析和判斷，只有滿足了條件才可以如此求解。(5) 系統(tǒng)函數(shù)的零極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)通常是一個有理分式，其分子和分母均為多項式。如上所述，分母多項式的根對應著其極點，而分子多項式的根則對應著其零點。若連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點已知，系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。即系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布完全決定了系統(tǒng)的特性。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布來分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是零極點分析的重要應用之一。在復頻域中，連續(xù)系統(tǒng)的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)的所有極點均位于復平面的左半平面內(nèi)。因此，只要考察系統(tǒng)函數(shù)的極點分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在Matlab中，求解系統(tǒng)函數(shù)的零極點實際上是求解多項式的根，可調(diào)用roots函數(shù)來求出。

9、求出零極點后，可以直接畫出零極點圖也可以調(diào)用pzmap(sys)函數(shù)來畫出由sys所描述的系統(tǒng)的零極點分布圖。示例4：零極點圖的繪制已知系統(tǒng)函數(shù)為：，畫出該系統(tǒng)的零極點分布圖。源程序如下：num=1 -1;den=1 2 2;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-2 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2

10、);pzmap(sys);運行結果為：從運行結果可以看出，兩種方法所畫出的零極點圖是一致的。示例5：已知系統(tǒng)函數(shù)為：，利用Matlab畫出該系統(tǒng)的零極點分布圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出該系統(tǒng)的單位沖激響應和幅頻響應。源程序如下：num=1;den=1 2 2 1;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title(Impulse Response);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num

11、,den);figure(3);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(Magenitude Response);運行結果為：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i即該系統(tǒng)函數(shù)的極點都位于s平面的左半平面，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其極點分布圖、單位沖激響應和幅頻響應分別如下圖所示。三、實驗內(nèi)容與步驟(1)求函數(shù)的拉氏逆變換。r = -0.5000 - 0.2500i -0.5000 + 0.2500i 1.0000 p = -0.0000 + 2.0000i

12、 -0.0000 - 2.0000i -1.0000 k = (2) 已知連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試用Matlab畫出系統(tǒng)的零極點圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。num=1 0 -4;den=1 2 -3 2 1;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2);pzmap(sys); (3) 已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，求出系統(tǒng)的沖激響應和系統(tǒng)的幅頻響應。num=1 4;den=conv(1,0,1 3 2);sys=tf(num,den);t=0:0.1:9;y=impu