極限教材分析

1、第三冊(選修)第二章極限教材分析本章內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例， 數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性 極限是微積分中的重要概念，極限的思想方法在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用本章的教學(xué)時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例3課時2.2數(shù)列的極限1課時2.3函數(shù)的極限2課時2.4極限的四則運(yùn)算3課時2.5 函數(shù)的連續(xù)性1課時小結(jié)與復(fù)習(xí)2課時一、內(nèi)容與要求（一）本章的教學(xué)內(nèi)容1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練對方法作簡單

2、的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識開始，到對不完全歸納法的認(rèn)識，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識，直到怎么辦結(jié)束第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束把遞推思想的介

3、紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試?yán)斫鈹?shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，可以使學(xué)生對有關(guān)知識的掌握深化一步.2本章引言從我國魏晉時期杰出數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”說起，引出了極限的思想和方法，形象具體地幫助學(xué)生初步認(rèn)識極限，激發(fā)他們學(xué)習(xí)極限的興趣，并由此自然過渡到數(shù)列極限的內(nèi)容數(shù)列的極限是最簡單的一種極限，它可以看作是自變量以取正整數(shù)的形式趨向于無窮時的特殊的函數(shù)極限本章2.2節(jié)中，

4、對于數(shù)列極限的概念分兩個階段討論首先，通過觀察幾個特殊數(shù)列的變化趨勢，歸納出數(shù)列極限的描述式定義；接著，通過深入討論“當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列 中的項無限趨近于一個常數(shù)a”本章在2.3節(jié)中采用直觀描述的方法，給出函數(shù)極限的定性定義讓學(xué)生盡早進(jìn)入微積分主體部分（本書的后續(xù)內(nèi)容）的學(xué)習(xí)3本章在第2.4節(jié)安排了數(shù)列極限的四則運(yùn)算和函數(shù)極限的四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算是建立在極限的概念的基礎(chǔ)上的由于本章不重在研究理論，所以教材中并未給出這些法則的理論依據(jù)，而是重在讓學(xué)生學(xué)會使用這些法則教材安排了一些具有代表性的例題，結(jié)合它們介紹了使用極限四則運(yùn)算法則的基本方法和技巧這些題目的難度都不大，安排它們的目的

5、是讓學(xué)生掌握最基本的極限運(yùn)算4在微積分中我們所研究的函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)的概念是建立在極限的概念的基礎(chǔ)上的因此本章的第2.5節(jié)安排了“函數(shù)的連續(xù)性”在介紹完連續(xù)函數(shù)的概念及性質(zhì)后，又介紹了已經(jīng)學(xué)過的基本初等函數(shù)的連續(xù)性及對于連續(xù)函數(shù)求極限的方法（如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義而且連續(xù)，那么（二）本章的教學(xué)要求1. 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)歸納法原理的了解，關(guān)鍵是講清數(shù)學(xué)歸納法的兩步驟及其作用，數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(kn0，kn*)時，命題成立.(這時命題是否成立不是

6、確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，命題都成立，這是問題的重點(diǎn)和難點(diǎn).2從數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念掌握極限的四則運(yùn)算法則；會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限3了解函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義，知道已學(xué)過的基本初等函數(shù)及由它們經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所產(chǎn)生的函數(shù)在定義域里每一點(diǎn)都連續(xù)；會從幾何直觀上理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題（一）突出重點(diǎn)、把握難點(diǎn)、打好基礎(chǔ)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法分為完全歸納法和不完全歸納法二種由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必

7、須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步極限的概念是續(xù)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)由于極限的概念中關(guān)系到“無限”，而中學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要接觸的是“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題因此，對極限概念如何從變化趨勢的角度來正確理解成為本章的難點(diǎn)為了解決這個難點(diǎn)，我們提出如下建議：第一，結(jié)合具體例子，通過比較數(shù)值的變化及圖象，在“無限趨近”的解釋上多加考慮，首先要讓學(xué)生對它形成正確的初步認(rèn)識，為理解極限概念積累一定的感性認(rèn)識第二，注意從“特殊”到“一般”的歸納，講具體例子時，注意從中提煉、概括涉及極限的本質(zhì)特征，為歸納出一般概念做

8、好準(zhǔn)備；講一般概念時，注意結(jié)合具體例子予以解釋說明，克服抽象理解的困難第三，注意到對極限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一個較長的過程因此，在教學(xué)中要有計劃地、分階段地、由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和理解極限的概念和思想，以定性的認(rèn)識為主，并適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生對極限有一些定量化的認(rèn)識，注意全章教學(xué)的整體效果（二）把握教學(xué)要求理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟一個結(jié)論；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的恒等式 初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力讓學(xué)生掌握極限的初步概念和一些基本的運(yùn)算，理解極限的思想和方法，并不要求一些繁難的運(yùn)算在安排教學(xué)內(nèi)容時，也是從這個出發(fā)點(diǎn)出發(fā)例如在講述極限（數(shù)列極限、函數(shù)極限）的四則運(yùn)算時，教材安排的題目只是一些基本的題目，難度都不大，安排他們主要是讓學(xué)生掌握基本的四則運(yùn)算，加深對概念的理解對于函數(shù)的連續(xù)性，由于一些基本初等函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的概念學(xué)生沒有接觸過，因此，也只是讓學(xué)生知道已學(xué)過的基本初等函數(shù)及由他們經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所產(chǎn)生的函數(shù)在定義域里每一點(diǎn)都連續(xù)，會從幾何直觀上理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值（三）結(jié)合本章內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行思想教育1通過介紹劉徽“割圓術(shù)”，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他畢生研究九章算術(shù)，并做了注釋，