土木工程材料原理與方法11-無損檢測方法簡介-2010

1、東南大學材料學院 龐超明 Email: 辦公電話：52090638 手機土木工程材料試驗原理與(設計)方法 2 后悔是一種耗費精神的情緒。后悔是一種耗費精神的情緒。 后悔是比損失更大的損失，比錯誤更大后悔是比損失更大的損失，比錯誤更大 的錯誤，所以不要后悔。的錯誤，所以不要后悔。 帶交互作用的方差分析帶交互作用的方差分析 一一無重復作用無重復作用 二二有重復作用有重復作用 其他正交設計中的方差分析其他正交設計中的方差分析 一一混合水平混合水平 二二虛擬水平虛擬水平 一元回歸分析一元回歸分析 一一原理、方法原理、方法 二二相關性檢驗相關性檢驗 3 土木工程材料試驗原理與

2、(設計)方法 4 交互作用正交表實質：交互作用占因素列 如占兩列，則交互作用的變差平方和等于 兩列變差平方和，即SABS（AB）1S（AB） 2，總STS因S交SE。 其兩因素交互作用列的自由度等于兩因素 自由度的乘積，即fABfAfB。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 每試驗號重復多次，與無重復基本相同每試驗號重復多次，與無重復基本相同 注意幾點：注意幾點： 計算計算K K1 1,K,K2 2用各試驗重復用各試驗重復n n次數據之和；次數據之和； 計算計算S S的的“水平重復數水平重復數”為為“水平重復數與重水平重復數與重 復試驗次數之積；復試驗次數之積； 誤差誤差S Se e：空列誤差

3、：空列誤差S Se1 e1和重復試驗誤差 和重復試驗誤差S Se2 e2。 。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 5 6 混合型、擬水平正交設計：各列水平數不同，f不 相等。 混合型：正交表L8(424)， 一STQP ， 二兩水平因素 ，f2-11 三四水平因素 f4-13。 2 2 8 1 x kk x )( 8 1 2 2 2 1 KKSg 2 8 1 2 4 2 3 2 2 2 1 )( 8 1 )( 2 1 i ig xKKKKS 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 7 正交表L9(34) 因素C第2水平虛擬一個水平，則此虛擬水 平 ，f2-11 其他水平 ，f3-12 2 8 1

4、 9 1 6 2 2 3 2 1 ) i i x( KK S 2 8 1 2 3 2 2 2 1 )( 9 1 )( 3 1 i i xKKKS 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 原理：最小二乘法：曲線距所有點距離的平原理：最小二乘法：曲線距所有點距離的平 方和最小方和最小 方法：方法：y yi ia abxbxi ii i(i=1,2,n)(i=1,2,n)，忽，忽 略略i i, ,求求a a，b b 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 8 Lxx Lxy x n x yx n yx b ii iiii 令 2 2 1 1 n i i n i i x n b y n xbya 11 1 相

5、關系數相關系數r r檢驗檢驗 方差分析方差分析F F檢驗檢驗 把把x x看成單因素看成單因素S ST TS Sg gS Se e， ，f f（回）（回）=1 =1，fe=n-2fe=n-2。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 9 LyyLxx Lxy Lyy Lxxb S S r T g 2 n i n i iT y n yyyLyyS 1 22 1 2 1 LxxbxayyyS n i ii n i iie 2 1 2 1 2 bLyy)()( xyxx n i i n i ig bLLLxxbxxbyyS 22 1 22 1 2 b)()( 10 溫度155產品的得率及其波動區(qū)間？ =-

6、2.735+0.483x=- 2.735+0.483155=72.1 殘差的標準差 預測結果的置信區(qū)間y-t*S,y+t*S, 如要求預測 結果P95%，則t2.0，如P99，則t3.0 標準差S的修正 i bxay 955. 0 8 3 . 7 2 n bLxyLyy f S S e e Lxx xx n SS x 2 0 )(1 1 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 一元回歸的預報與控制一元回歸的預報與控制 一元非線性回歸：常用一元非線性回歸：常用5 5種曲線、示例種曲線、示例 二元回歸二元回歸 一一二元線性原理、計算、檢驗二元線性原理、計算、檢驗 二二二元線性示例二元線性示例 三三二元

7、非線性二元非線性 多元線性回歸多元線性回歸 正交設計中的回歸及示例正交設計中的回歸及示例 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 11 12 非線形關系，曲線，轉化為線性。 首先確定曲線回歸方程的類型 一拋物線、雙曲線、對數、指數、冪函數、s形？ 二方法1：理論推斷 三方法2：大量的實踐經驗數據 通過數學變換，轉化為線性方程本質仍求線形 回歸方程。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 13 從圖形中判斷出為雙曲線方程，可設 令y=1/y，x1/x，則yabx 一元線性回歸：a、b y1/y，x1/x，即可 x b a y 1 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 14 對數方程：對數方程：y ya

8、ablgxblgx 令令x=lgxx=lgx，則，則y ya abx bx 指數方程：指數方程：y=aey=aebx bx, , 一一取對數取對數 lnylnylnalnabxbx，令，令yylnylny，aa lna lna 二二yyaabx bx 三三正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線 2 2 1 2 1 )( nx exf 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 15 冪函數：冪函數：y yaxaxb b 同時取對數同時取對數 lgylgylgalgablgx blgx 令令yylgylgy，aalgalga，xxlgxlgx，則，則ttaabxbx S S型曲線：型曲線： 令令yy1/ y1/ y，

9、xxe e-x -x ，則 ，則yya abx bx x bea y 1 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 冪函數：冪函數：y yaxaxb b 同時取對數同時取對數 lgylgylgalgablgx blgx 令令yylgylgy，aalgalga，xxlgxlgx，則，則ttaabxbx S S型曲線：型曲線： 令令yy1/ y1/ y，xxe e-x -x ，則 ，則yya abx bx 常見的五種曲線方程轉化為直線方程的過程與方常見的五種曲線方程轉化為直線方程的過程與方 法，本質還是求線性回歸。法，本質還是求線性回歸。 16 x bea y 1 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 試

10、驗表明：混凝土試驗表明：混凝土28d28d抗壓強度抗壓強度f f28 28(MPa) (MPa)與與 混凝土的灰水比混凝土的灰水比(C/W)(C/W)之間的關系近似直線之間的關系近似直線 混凝土試驗中，習慣水灰比混凝土試驗中，習慣水灰比(W/C)(W/C) 8 8組試驗結果：組試驗結果：Y Yi i為抗壓強度為抗壓強度f f28 28，X Xi i為灰水比 為灰水比 (C/W)(C/W)，水灰比取倒數，水灰比取倒數 線性回歸分析線性回歸分析 17 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 i iW/CW/C(C/W) X(C/W) Xi iY Yi iX Xi i2 2Y Yi i2 2X Xi i

11、Y Yi i 1 10.400.402.5002.50036.336.36.2506.2501318131890.7590.75 2 20.450.452.2222.22235.335.34.9374.9371246124678.4478.44 3 30.500.502.0002.00028.228.24.0004.000795.2795.256.4056.40 4 40.550.551.8181.81824.024.03.3063.306576.0576.043.6343.63 5 50.600.601.6671.66723.023.02.7792.779529.0529.038.3438.

12、34 6 60.650.651.5381.53820.620.62.3662.366424.4424.431.6831.68 7 70.700.701.4291.42918.418.42.0422.042338.6338.626.2926.29 8 80.750.751.3331.33315.015.01.7771.777225.0225.020.0020.00 14.50714.507200.8200.827.45727.4575452.25452.2385.53385.53 AverAver1.8131.81325.1025.10 18 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 即即f f28

13、28 -8.64-8.6418.6118.61（C/WC/W） 19 813. 1 8 507.141 1 n i i X n X10.25 8 8 .2001 1 n i i Y n Y 4 .21 8 8 .200507.14 53.383 1 iiii yx n yxLxy 15. 1 8 507.14 457.27 1 2 2 2 ii x n xLxx 61.18 15. 1 40.21 Lxx Lxy b 64. 8813. 1*61.1810.25 xbya xbxay i 61.1864. 8 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 92.411 8 8 .200 0 .5452)

14、( 1 2 1 22 n i y n yLyy 20 983. 0 92.41115. 1 40.21 LyyLxx Lxy r 取可信度取可信度99%99%，r(n-2)r(n-2)r(6)r(6)0.8340.834，rrrr0.01 0.01(6) (6) 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 f fT Tn-1n-17 7； 回歸回歸 18.618.621.421.4398.04398.04， f fg gP P1 1； SeSeS ST TSgSg412.1-398.04412.1-398.0414.0614.06 f fe en-P-1n-P-16 6。 21 1 .412 1 2

15、n c iyyT yyLS bLxyLxxbSg 2 方差來源方差來源平方和平方和 自由自由 度度 均方均方F F臨界值臨界值顯著性顯著性 回歸回歸S Sg g 398.04398.041 1398.04398.04170.1170.1F F0.01 0.01(1,6) (1,6) 13.7513.75 * * * 殘差殘差S Se e 14.0614.066 62.342.34 總和總和S ST T 412.1412.17 7 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 22 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 23 24 自變量自變量x x1 1、 、x x2

16、2，因變量為 ，因變量為y y存在線性關系存在線性關系 Y Ya ab b1 1x x1 1b b2 2x x2 2，忽略，忽略，則二元線性回歸，則二元線性回歸 方程：方程：y ya ab b1 1x x1 1b b2 2x x2 2 式中：式中：a a為常數，為常數，b b1 1、 、b b2 2為 為y y對對x x1 1、 、x x2 2的偏回歸系數， 的偏回歸系數， 反映反映x x1 1、 、x x2 2對 對y y影響的程度。影響的程度。 一系列測定值一系列測定值(x(x11 11， ，x x21 21,y ,y1 1), (x), (x12 12， ，x x22 22,y ,y2

17、2),),， (x(x1n 1n， ，x x2n 2n,y ,yn n) ) 最小二乘法確定最小二乘法確定a a、b b1 1和和b b2 2。 二元殘差二元殘差S Se e： S Se e最小，即對最小，即對a a，b b1 1和和b b2 2求偏導數求偏導數0 0 25 n j jjje xbxbayS 1 2 2211 )( n j jjj e xbxbay a S 1 2211 0)(2 n j jjjj e xxbxbay b S 1 12211 1 0)(2 n j jjjj e xxbxbay b S 1 22211 2 0)(2 n j n j jjj yxbxba 11 22

18、11 )( n j n j ij n j jj n j jj yxxxbxbxa 11 1 1 212 1 2 111 n j n j ij n j j n j jjj yxxbxxbxa 11 2 1 2 22 1 2112 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 2211 1 2 2 1 1 1 1 xbxbyx n b x n b y n a n j j n j j n ij j 將a代入 類似一元回歸，令 a，b1和b2代回方程，即可 26 n j jjj n j j n j j yyxxxxxxbxxb 1 1 1 2 2 1 1 12 1 2 1 11 )()( )()( n j jj

19、j n j j n j j yyxxxxxxbxxb 1 2 2 2 2 1 1 12 1 2 2 22 )()( )()( 0, 21 b S b S ee L11 L22 L12L21 L1y L2y 2 11 2 1 2 )( 1 )( n j j n j j n j jyy y n yyyL 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 12212211 122221 1 LLLL LLLL b yy 12212211 211112 2 LLLL LLLL b yy 對對x x1j 1j和 和x x2j 2j， ，Y Yj jaab b1 1x xi ib b2 2x x2 2， ，Y Yj j

20、與回歸值 與回歸值y y 殘差平方和殘差平方和S Se e。 代入代入b b1 1、 、b b2 2： ：S Sg gL L1y 1yb b1 1 L L2y 2yb b2 2 27 n j jj n j jg xxbxxbyyS 1 2 222 1 11 1 2 )()()( n j n j jjj n j j xxbxxxxbbxxb 11 2 22 2 222 1 121 1 2 1 1 2 1 )()(2)( 2 2222112 2 111 2bLbbLbL n c iyyT yyLS 1 2 yy yy T g L blbl S S R 2211 臨界值，自變量個數臨界值，自變量個數

21、P P2 2。 R R接近接近1 1，越理想，越理想 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 推廣到多元線形回歸得推廣到多元線形回歸得 m m自變量數，自變量數，R R取值取值0 01 1之間。之間。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 28 yy m i iiy T g L bl S S R 1 在采用氨水抑制大麥發(fā)芽時，用赤酶素促進在采用氨水抑制大麥發(fā)芽時，用赤酶素促進 酶制造啤酒，發(fā)現大麥的吸氨量與大麥中原酶制造啤酒，發(fā)現大麥的吸氨量與大麥中原 含水量及吸氨時間有關含水量及吸氨時間有關 試求吸氨量與含水量、吸氨時間之間的關系試求吸氨量與含水量、吸氨時間之間的關系 由于同減一個數不影響殘差平方

22、和，為簡化由于同減一個數不影響殘差平方和，為簡化 計算，將含水量與吸氨時間的數據分別各減計算，將含水量與吸氨時間的數據分別各減 去去38.538.5與與215215 29 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 序號序號1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111 含水量含水量 x x1i 1i 36.536.5 36.536.5 36.536.5 38.538.5 38.538.5 38.538.5 40.540.5 40.540.5 40.540.5 38.538.5 38.538.5 吸氨時吸氨時 間間x x2i 2i 21521525025018018025025

23、0180180215215180180215215250250215215215215 吸氨量吸氨量y yi i6.26.27.57.54.84.85.15.14.64.64.64.62.82.83.13.14.34.34.94.94.14.1 52.052.0 x x1i 1i-38.5 -38.5-2-2-2-2-2-20 00 00 02 22 22 20 00 00 0 x x2i 2i-215 -2150 03535-35-353535-35-350 0-35-350 035350 00 00 0 X X1j 1j* *X X2j2j 0 0-70-7070700 00 00 0-7

24、0-700 070700 00 00 0 X X1j 1j* *Y Yj j -12.4-12.4-15.0-15.0 -9.6-9.60 00 00 05.65.66.26.28.68.60 00 0-16.6-16.6 X X2j 2j* *Y Yj j 0 0 262.5262.5 -168-168179179-161-161 0 0 -98-980 0151151 0 00 0164.5164.5 30 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 31 2400 .24)( 1 2 1 1 1 2 111 n j j n j j x n xL 735007350)( 1 2 1 2 1 2 2

25、22 n j j n j j x n xL 000)( 1 1 2 1 1 1 212112 n j j n j j n j jj xx n xxLL 006 .16)( 1 11 1 1 11 n j j n j j n j jjy yx n yxL 5 .16405 .164)( 1 11 2 1 22 n j j n j j n j jjy yx n yxL 69. 0 0073500 .24 05 .16473506 .16 12212211 122221 1 LLLL LLLL b yy 022. 0 0073500 .24 06 .160 .245 .164 12212211 21

26、1112 2 LLLL LLLL b yy 57.95215022. 05 .13869. 0 11 52 2211 xbxbya 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 吸氨量吸氨量y yi i6.26.27.57.54.84.85.15.14.64.64.64.62.82.83.13.14.34.34.94.94.14.1 52.052.0 x x1i 1i-38.5 -38.5-2-2-2-2-2-20 00 00 02 22 22 20 00 00 0 x x2i 2i-215 -2150 03535-35-353535-35-350 0-35-350 035350 00 00 0 X X

27、1j 1j* *X X2j2j 0 0-70-7070700 00 00 0-70-700 070700 00 00 0 X X1j 1j* *Y Yj j -12.4-12.4-15.0-15.0 -9.6-9.60 00 00 05.65.66.26.28.68.60 00 0-16.6-16.6 X X2j 2j* *Y Yj j 0 0 262.5262.5 -168-168179179-161-161 0 0 -98-980 0151151 0 00 0164.5164.5 y y95.5795.570.69x0.69x1 10.022x0.022x2 2。 32 0 .17 11

28、52 82.262)( 1 2 2 11 2 n j j n j jyy y n yL 94. 0 17 022. 05 .164)69. 0(6 .16 2211 Lyy bLbl R yy f fn np p1 111-2-111-2-18 8；置信度；置信度9595， R R0.05 0.05(8)=0.632 (8)=0.632，rRrR0.05 0.05(8 (8）。有意義的。）。有意義的。 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 ，f fT Tn n1 11010； 回歸回歸 -16.6-16.6(-0.69)(-0.69)164.5164.50.0220.022 15.07315.0

29、73，f fg gP P2 2； 殘差殘差SeSeS ST TSgSg17.0-15.073=1.92717.0-15.073=1.927，f fe en-P-1n-P-18 8。 33 0 .17 1 2 n c iyyT yyLS 2211 bLbLS yyg 方差來源方差來源平方和平方和自由度自由度均方均方F F臨界值臨界值顯著性顯著性 回歸回歸S Sg g15.07315.0732 27.547.5431.4231.42 F F0.01 0.01(2,8) (2,8) 8.658.65 * * * 殘差殘差S Se e1.9271.9278 80.240.24 總和總和S ST T17

30、.017.01010 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 與一元非線性回歸，先將其線性化。按處理與一元非線性回歸，先將其線性化。按處理 二元回歸方法處理，求二元回歸方法處理，求a a、b b1 1、 、b b2 2，建立回歸 ，建立回歸 方程，進行顯著性方程，進行顯著性R R或或F F檢驗。檢驗。 34 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 35 原理：最小二乘法原理：最小二乘法 確定確定a a、bj bj ，SeSe對對a a和和 bibi求偏導數等于求偏導數等于0 0。 L L11 11b b1 1 L L12 12b b2 2 L L1m 1mb bm

31、m L L1y 1y L L21 21b b1 1 L L22 22b b2 2 L L2m 2mb bm m L L2y 2y L Lm1 m1b b1 1 L Lm2 m2b b2 2 L Lmm mmb bm m L Lmy my 其中其中 36 )( 1 )( )( 1111 n j kj n j ij n j kjij k kj n j i ijik xx n xxxxxxL )( 1 )( )( 1111 n j j n j ij n j jijj n j i ijiy yx n yxyyxxL 2 11 2 )( 1 n j j n j jyy y n yL 土木工程材料試驗原理

32、與(設計)方法 正規(guī)方程組正規(guī)方程組AbAbB B A A為方陣且行列式，常數項矩陣為方陣且行列式，常數項矩陣B B。 通過克萊姆法則、矩陣求逆法、消元法，求解通過克萊姆法則、矩陣求逆法、消元法，求解 b bA A-1 -1B B。 。 要求計算：要求計算：B B、A A、A A 1 1。由線性方程組求出參 。由線性方程組求出參 數數a a，b b1 1，b b2 2，b bm m之后，即可確定多元線性之后，即可確定多元線性 回歸方程。回歸方程。 37 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 正交設計特點：均衡分散、整齊可比性正交設計特點：均衡分散、整齊可比性 建立多元線性回歸，較之普通多元線性回

33、歸簡單。建立多元線性回歸，較之普通多元線性回歸簡單。 優(yōu)勢在于：優(yōu)勢在于： 一一因素、水平的選擇，保持等差級數且水平數因素、水平的選擇，保持等差級數且水平數 為奇數時，可以消除回歸系數間的相關性。為奇數時，可以消除回歸系數間的相關性。 二二回歸系數直觀，可直接判斷因素的顯著性?；貧w系數直觀，可直接判斷因素的顯著性。 l回歸系數回歸系數0 0，無顯著影響。去掉！無需重算。，無顯著影響。去掉！無需重算。 38 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 高強砼，擬通過復合摻用礦渣、石膏和鐵粉來提高強砼，擬通過復合摻用礦渣、石膏和鐵粉來提 高混凝土的抗壓強度。高混凝土的抗壓強度。 因素及水平：礦渣摻量為因素

34、及水平：礦渣摻量為10%10%、15%15%、20%20%，石膏摻，石膏摻 量為量為2.0%2.0%、3.5%3.5%、5.0%5.0%，鐵粉摻量為，鐵粉摻量為3%3%、6%6%、9%9% 正交表正交表L L9 9(3(34 4) ) 要求：要求： (1)(1)建立多元線性回歸方程；建立多元線性回歸方程； (2)(2)作回歸方程的顯著性檢驗；作回歸方程的顯著性檢驗； (3)(3)預報當礦渣摻量預報當礦渣摻量18%18%、石膏摻量、石膏摻量2.0%2.0%、鐵粉摻量、鐵粉摻量5%5%時混時混 凝土強度的置信區(qū)間。凝土強度的置信區(qū)間。 39 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 設混凝土的抗壓強度設

35、混凝土的抗壓強度y y與礦渣摻量與礦渣摻量x1x1、石膏、石膏 摻量摻量x2x2、鐵粉摻量、鐵粉摻量x3x3之間，近似的具有線性之間，近似的具有線性 關系，則有關系，則有 40 3322110 xbxbxbby 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 41 最小二乘法，方程組，求最小二乘法，方程組，求b1b1、b2b2、b3b3及及b0b0。 正交試驗，可簡化處理數據。將正交試驗，可簡化處理數據。將x x、y y分別減分別減 去各自平均值，列表計算。去各自平均值，列表計算。 3 3 2 2 1 10 3333232131 2323222121 1313212111 xbxbxbyb lblblbl

36、 lblblbl lblblbl y y y 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 土木工程材料試驗原理與(設計)方法 42 序號序號 X X1 1X X2 2X X3 3y yX X1 12 2X X2 22 2X X3 32 2y y2 2X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X1 1y yX X2 2y yX X3 3y y 1 1-5-5 -1.5-1.5-3-3-6.6-6.62525 2.252.259 9 43.5643.56 7.57.54.54.5151533.033.09.99.919.819.8 2 2-5-50 00 0-2.1-2.

37、125250 00 04.414.410 00 00 010.510.50 00 0 3 3-5-51.51.53 3-7.3-7.32525 2.252.259 9 53.2953.29 -7.5-7.5 4.54.5-15-1536.536.5 -10.95-10.95-21.9-21.9 4 40 0-1.5-1.50 02.62.60 02.252.250 06.766.760 00 00 00 0-3.9-3.90 0 5 50 00 03 35.95.90 00 09 9 34.8134.810 00 00 00 00 017.717.7 6 60 01.51.5-3-3-6.6-

38、6.60 02.252.259 9 43.5643.560 0-4.5-4.50 00 09.99.919.819.8 7 75 5-1.5-1.53 37.67.62525 2.252.259 9 57.7657.76 -7.5-7.5 -4.5-4.5151538.038.0 -11.4-11.4 22.822.8 8 85 50 0-3-33.63.625250 09 9 12.9612.960 00 0-15-1518.018.00 0-10.8-10.8 9 95 51.51.50 02.92.92525 2.252.250 08.418.417.57.50 00 014.514.5

39、4.354.350 0 0 00 00 00 0150150 13.513.5 5454 265.5265.5 2 2 0 00 00 0150.5150.5 -21.9-21.9 47.447.4 L1y 1y 150.5-0150.5-0150.5150.5L11 11 15012 12 L21 21 0-00-00 0 L2y 2y -21.9-0-21.9-0-21.9-21.9L22 22 13.5-013.5-013.513.5L23 23 L32 32 0-00-00 0 L3y 3y 47.4-047.4-047.447.4L33 33 54-054-05454L31 31 L13 13 0-00-00 0 9 1 9 1 9 1 1 i i i ir i iirry yx n yxl 2 9 1 9 1 2 1