2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（三十九）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)跟蹤檢測(三十九）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積一、題點(diǎn)全面練1下列說法中正確的是（)a有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱b側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐c側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體d底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：選d認(rèn)識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故a，c都不夠準(zhǔn)確,b中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確2下列說法中正確的是（)a各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐b以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐c棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該

2、棱錐可能是六棱錐d圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線解析：選d當(dāng)一個(gè)幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成時(shí)，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故a錯(cuò)誤;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線,所得幾何體就不是圓錐,故b錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故c錯(cuò)誤選d.3若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為,半徑為l的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比為()a32b21c43 d53解析：選c底面半徑rll，故圓錐的s側(cè)l2，s表l22l2，所以表面積與側(cè)面積的比為43。

3、4已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2,則該球的表面積為（)a. b16c9 d。解析：選a如圖，設(shè)球心為o,半徑為r，則在rtaof中,（4r）2(）2r2，解得r，所以該球的表面積為4r242。5下列說法中正確的是_(填序號）底面是矩形的四棱柱是長方體；直角三角形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐;四棱錐的四個(gè)側(cè)面可以都是直角三角形解析：命題不是真命題，若側(cè)棱不垂直于底面,這時(shí)四棱柱是斜四棱柱;命題不是真命題，直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐,如果繞著它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體則是兩個(gè)具有共同底面的圓錐;命題是真命題，如圖所示，

4、在四棱錐p。abcd中,底面abcd是矩形，pa平面abcd,則可以得到四個(gè)側(cè)面都是直角三角形答案：6。如圖，abo是利用斜二測畫法畫出的abo的直觀圖，已知aby軸，ob4，且abo的面積為16，過a作acx軸,則ac的長為_解析：因?yàn)閍by軸，所以abo中，abob。又因?yàn)閍bo的面積為16，所以abob16。因?yàn)閛bob4,所以ab8，所以ab4。因?yàn)閍cob于c，所以ac4sin 452。答案：27一個(gè)圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個(gè)圓臺的母線長為_cm。解析：如圖，過點(diǎn)a作acob，交ob于點(diǎn)c.在rtabc中，ac12（cm），

5、bc835 （cm)ab13(cm)答案:138.如圖，在正三棱柱abc。a1b1c1中，ab4，aa16.若e,f分別是棱bb1，cc1上的點(diǎn),則三棱錐aa1ef的體積是_解析：因?yàn)樵谡庵鵤bca1b1c1中，aa1bb1，aa1平面aa1c1c，bb1平面aa1c1c，所以bb1平面aa1c1c，從而點(diǎn)e到平面aa1c1c的距離就是點(diǎn)b到平面aa1c1c的距離，作bhac,垂足為點(diǎn)h，由于abc是正三角形且邊長為4，所以bh2，從而三棱錐a。a1ef的體積va.a1efve.a1afsa1afbh6428.答案:89已知球的半徑為r,在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱的底面半徑與高為何值時(shí)

6、，它的側(cè)面積最大?側(cè)面積的最大值是多少?解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為s,則2r2r2，即h2.因?yàn)閟2rh4r442r2,當(dāng)且僅當(dāng)r2r2r2，即rr時(shí)，取等號，即當(dāng)內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為r時(shí)，其側(cè)面積的值最大，最大值為2r2.10。如圖是一個(gè)以a1b1c1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為abc，已知a1b1b1c12,a1b1c190,aa14，bb13，cc12，求：（1）該幾何體的體積；(2)截面abc的面積解:(1)過c作平行于a1b1c1的截面a2b2c，交aa1,bb1分別于點(diǎn)a2,b2.由直三棱柱性質(zhì)及a1b1c190可知b2c平

7、面abb2a2，則該幾何體的體積vva1b1c1.a2b2cvc。abb2a2222(12)226。(2）在abc中，ab，bc，ac2.則sabc2.二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一）易錯(cuò)專練不丟怨枉分1三棱柱abc。a1b1c1的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱aa1底面abc，若球o與三棱柱abc.a1b1c1各側(cè)面、底面均相切，則側(cè)棱aa1的長為（)a。 b.c1 d。解析:選c因?yàn)榍騩與直三棱柱的側(cè)面、底面均相切，所以側(cè)棱aa1的長等于球的直徑設(shè)球的半徑為r，則球心在底面上的射影是底面正三角形abc的中心，如圖所示因?yàn)閍c,所以adac。因?yàn)閠an ,所以球的半徑rmdadtan，所以aa12r21。

8、2（2018洛陽聯(lián)考）已知球o與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球o的體積為()a。 b.c. d。解析：選a將正四面體補(bǔ)成正方體,則正四面體的棱為正方體面上的對角線,因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以正方體的棱長為2。因?yàn)榍騩與正四面體的各棱都相切，所以球o為正方體的內(nèi)切球，即球o的直徑為正方體的棱長2，則球o的體積vr3.3。如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)p出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)p處若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于_ m.解析:把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)p的母線展開，其圖象為如圖所示的扇形，由題意op4,pp4，則cospo

9、p，所以pop。設(shè)底面圓的半徑為r，則2r4,所以r.答案:（二)交匯專練-融會巧遷移4與數(shù)學(xué)文化交匯魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),它的外觀是如圖所示的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱,六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積至少為_（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留）解析：該球形容器最小時(shí)，兩個(gè)正四棱柱組成的四棱柱與球內(nèi)接,此時(shí)球的直徑2r等于四棱柱的體對角線，即2r,故球形容器的表面積為4r230。答案：305與線面角交匯（2018全國卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為s

10、,母線sa，sb所成角的余弦值為，sa與圓錐底面所成角為45,若sab的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_解析:如圖，sa與底面成45角,sao為等腰直角三角形設(shè)oar,則sor，sasbr.在sab中，cos asb,sin asb,ssabsasbsin asb（r)25，解得r2,sar4,即母線長l4，s圓錐側(cè)rl2440。答案：406與折疊問題交匯在邊長為4的正方形abcd內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分所示），將剩下的部分折疊成底面邊長為的正四棱錐s。efgh(如圖2所示）,則正四棱錐sefgh的體積為_解析:設(shè)圖1中bef的高為h1，則bd2h1，在四棱錐s.efgh中，

11、斜高為h1,設(shè)四棱錐s。efgh的高為h2,由bd42h1，h1，h2 2，vs。efghs四邊形efghh222.答案:7與函數(shù)交匯有一矩形abcd硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)）,邊ab的長為6分米，其鄰邊足夠長現(xiàn)從中截取矩形efhg(如圖甲所示)，再剪去圖中陰影部分，剩下的部分恰好能折成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)）,其中oemf是以o為圓心、eof120為圓心角的扇形，且弧，分別與邊bc,ad相切于點(diǎn)m，n.（1)當(dāng)be的長為1分米時(shí)，求折成的包裝盒的容積;(2)當(dāng)be的長是多少分米時(shí)，折成的包裝盒的容積最大？解：(1）在題圖甲中，連接mo交ef于點(diǎn)t.設(shè)oeofomr分米，在rtoet中,因?yàn)閑oteof60，所以ot，則mtomot.從而bemt，即r2be2。故所得柱體的底面積ss扇形oefsoefr2r2sin 120平方分米又柱體的高eg4分米,所以vseg立方分米故當(dāng)be長為1分米時(shí)，折成的包裝盒的容積為立方分米(2)設(shè)bex分米,則r2x分米，所以所得柱體的底面積ss扇形oefsoefr2r2sin 1