2020版高考數(shù)學二輪復(fù)習專題五解析幾何第1講直線與圓學案文蘇教版

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1講直線與圓 2019考向?qū)Ш娇键c掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171直線方程與兩直線的位置關(guān)系第12題本講命題熱點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長、切線問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識2圓的方程3直線與圓的位置關(guān)系第13題1必記的概念與定理（1）直線方程的五種形式點斜式：yy1k（xx1)(直線過點p1(x1，y1),且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)斜截式：ykxb（b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)兩點

2、式：（直線過點p1(x1，y1），p2(x2,y2），且x1x2,y1y2,不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線）截距式:1（a、b分別為直線的橫、縱截距,且a0，b0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線）一般式：axbyc0(其中a,b不同時為0）(2)圓的方程的兩種形式圓的標準方程：（xa)2(yb)2r2圓的一般方程：x2y2dxeyf0（d2e24f0）2記住幾個常用的公式與結(jié)論(1）點到直線的距離公式點p(x1，y1)到直線l:axbyc0的距離d(2）兩條平行線間的距離公式兩條平行線axbyc10與axbyc20間的距離d(3)若直線l1和l2有斜截式方程l1yk1xb1，l2y

3、k2xb2，則直線l1l2的充要條件是k1k21(4)設(shè)l1a1xb1yc10，l2a2xb2yc20則l1l2a1a2b1b20(5）方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是：b0；ac0；d2e24af0（6)常用到的圓的幾個性質(zhì)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長,弦心距，圓半徑）；圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程3需要關(guān)注的易錯易混點(1）在判斷兩

4、條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在，兩條直線都有斜率時，可根據(jù)斜率的關(guān)系作出判斷，無斜率時,要單獨考慮(2)在使用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時，直線方程必須先化為axbyc0的形式，否則會出錯直線方程與兩直線的位置關(guān)系典型例題 （1）（2018高考江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，a為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點,b（5，0），以ab為直徑的圓c與直線l交于另一點d若0,則點a的橫坐標為_(2）(2019徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x（b3)y50互相平行，則2a3b的最小值為_【解析】（1)因為0，所以abcd

5、，又點c為ab的中點,所以bad45設(shè)直線l的傾斜角為,直線ab的斜率為k,則tan 2,ktan3又b（5,0)，所以直線ab的方程為y3（x5)，又a為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點,聯(lián)立直線ab與直線l的方程,得解得所以點a的橫坐標為3（2）法一：由兩條直線平行得且，化簡得a0，得b3，故2a3b3b3（b3)9133(b3）13225，當且僅當3（b3)，即b5或b1（舍去）時等號成立,故（2a3b)min25法二：由兩條直線平行得且，化簡得1，故2a3b(2a3b)1313225，當且僅當且1，即ab5時等號成立，故（2a3b）min25【答案】（1)3(2）25（1）在求直線方程

6、時，應(yīng)選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(2）求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究對點訓練1直線4axy1與直線(1a）xy1互相垂直，則a_解析 由題可得：4a(1a）10，即4a24a10,故a答案 2（2019南京、鹽城高三模擬）在平面直角坐標系xoy中，直線l1：kxy20與直線l2：xky20相交于點p,則當實數(shù)k變化時，點p到直線xy40的距離的最大值為_解析 由題意可得直線l1恒過定點a（0,2)，直

7、線l2恒過定點b（2,0)，且l1l2，則點p的軌跡是以ab為直徑的圓，圓的方程為（x1)2（y1）22圓心(1，1）到直線xy40的距離為2，則點p到直線xy40的距離的最大值為3答案 3圓的方程典型例題 （1）在平面直角坐標系xoy中，以點（1，0)為圓心且與直線mxy2m10（mr)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_(2）(2019南通市高三第一次調(diào)研測試)在平面直角坐標系xoy中，已知b，c為圓x2y24上兩點，點a（1,1)，且abac，則線段bc的長的取值范圍為_【解析】(1)直線mxy2m10經(jīng)過定點(2，1)當圓與直線相切于點（2，1）時，圓的半徑最大,此時半徑r滿足r

8、2(12)2(01）22，故所求圓的標準方程為（x1）2y22（2）設(shè)bc的中點為m(x，y），因為ob2om2bm2om2am2，所以4x2y2(x1)2（y1）2,化簡得,所以點m的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又a與的距離為，所以am的取值范圍是，所以bc的取值范圍是，【答案】（1)（x1)2y22（2），在解題時選擇設(shè)標準方程還是一般方程的一般原則是：如果由已知條件易得圓心坐標、半徑或可用圓心坐標、半徑列方程（組）,則通常選擇設(shè)圓的標準方程，否則選擇設(shè)圓的一般方程對點訓練3圓c經(jīng)過坐標原點和點（4,0)，且與直線y1相切,則圓c的方程是_解析 因為圓c經(jīng)過原點o(0，0）和點p（4，0)

9、，所以線段op的垂直平分線x2過圓c的圓心,設(shè)圓c的方程為（x2)2（yb）2r2，又圓c過點o(0，0）且與直線y1相切，所以b222r2，且|1br，解得b，r，所以圓c的方程為（x2)2答案 (x2)2直線與圓的位置關(guān)系典型例題 (1）在平面直角坐標系xoy中，直線x2y30被圓(x2）2(y1)24截得的弦長為_(2）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知以m為圓心的圓m:x2y212x14y600及其上一點a（2，4)設(shè)圓n與x軸相切，與圓m外切,且圓心n在直線x6上，求圓n的標準方程;設(shè)平行于oa的直線l與圓m相交于b,c兩點，且bcoa，求直線l的方程；設(shè)點t（t，0）滿足：存在圓

10、m上的兩點p和q，使得，求實數(shù)t的取值范圍【解】(1)圓心為(2，1），半徑r2圓心到直線的距離d,所以弦長為22故填（2)圓m的標準方程為（x6）2（y7)225，所以圓心m（6，7），半徑為5由圓心n在直線x6上，可設(shè)n(6，y0）因為圓n與x軸相切，與圓m外切，所以0y07，于是圓n的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01因此,圓n的標準方程為(x6)2（y1）21因為直線loa,所以直線l的斜率為2設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心m到直線l的距離d因為bcoa2，而mc2d2，所以255，解得m5或m15故直線l的方程為2xy50或2xy150設(shè)p（x1，y1)，q（x

11、2，y2)因為a（2，4)，t（t，0），所以(）因為點q在圓m上，所以(x26）2(y27）225（)將（)代入()，得（x1t4）2(y13）225于是點p（x1,y1)既在圓m上，又在圓x（t4）2（y3）225上，從而圓（x6)2（y7）225與圓x（t4)2(y3)225有公共點,所以5555，解得22t22因此,實數(shù)t的取值范圍是22，22（1）討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時,要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個圓心距離與半徑差與和的比較(2）直線與圓相切時利用“切

12、線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式通過過圓外一點的圓的切線條數(shù)可以判斷此點和圓的位置關(guān)系過圓外一點求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點距離利用勾股定理處理對點訓練4(2019蘇州市高三調(diào)研測試)在平面直角坐標系xoy中,已知過點m（1，1）的直線l與圓（x1）2（y2）25相切,且與直線axy10垂直,則實數(shù)a_解析 當直線l的斜率不存在時,直線x1與圓不相切當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k,則l：y1k（x1),因為直線kxy1k0與圓相切，圓心的坐標為（1，2），半徑為,則,化簡得k24k40，解得k2,又直線l與直線axy10垂直，所

13、以a,則a答案 5（2019南通高三模擬）在平面直角坐標系xoy中,過點p（2,0）的直線與圓x2y21相切于點t,與圓（xa)2（y）23相交于點r，s，且ptrs,則正數(shù)a的值為_解析 因為圓（xa）2(y)23的圓心(a，）在第一象限，且與x軸相切，故切線pt必過第一、二、三象限，由op2，ot1得tpo30，從而切線pt的方程為y(x2)，線段pt，圓心（a，)到直線pt的距離為，故rs2,從而2,解得a4或2(舍去）答案 41若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析 由題意知 1，解得k答案 （, )2(2019揚州期末)圓(x2)2y24與圓（x2)2(y

14、1)29的位置關(guān)系為_解析 兩圓圓心分別為(2，0），(2,1），半徑分別為2和3，圓心距d因為32d32，所以兩圓相交答案 相交3已知動直線l0：axbyc20（a0，c0)恒過點p（1，m)，且q（4，0)到動直線l0的最大距離為3,則的最小值為_解析 動直線l0：axbyc20（a0,c0)恒過點p（1,m),所以abmc20又q（4，0)到動直線l0的最大距離為3，所以 3,解得m0所以ac2又a0,c0，所以（ac)，當且僅當c2a時取等號答案 4已知以原點o為圓心的圓與直線l：ymx（34m），（mr）恒有公共點，且要求使圓o的面積最小，則圓o的方程為_解析 因為直線l:ymx（3

15、4m）過定點t（4，3)，由題意，要使圓o的面積最小，則定點t(4，3）在圓上,所以圓o的方程為x2y225答案 x2y2255(2019南京高三模擬）在平面直角坐標系xoy中，圓m：（xa)2（ya3）21（a0）,點n為圓m上任意一點若以n為圓心，on為半徑的圓與圓m至多有一個公共點，則a的最小值為_解析 由題意可得圓n與圓m內(nèi)切或內(nèi)含，則on2恒成立,即|onmin|om|12，om3,即a2（a3)29,又a0，得a3，則a的最小值是3答案 36（2019蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研）已知直線l：mxy2m10，圓c：x2y22x4y0，當直線l被圓c所截得的弦長最短時，實數(shù)m_解析 直線l被

16、圓c：（x1)2(y2)25所截得的弦長最短，即圓心c到直線l的距離最大,d，當d取最大值時,m0，此時d，當且僅當m1，即m1 時取等號,即d取得最大值，弦長最短答案 17(2019江蘇省六市高三調(diào)研)在平面直角坐標系xoy中，已知圓c1：（x4)2（y8）21，圓c2：（x6）2(y6)29若圓心在x軸上的圓c同時平分圓c1和圓c2的圓周,則圓c的方程是_解析 因為所求圓的圓心在x軸上，所以可設(shè)所求圓的方程為x2y2dxf0用它的方程與已知兩圓的方程分別相減得,(d8)x16yf790，（d12)x12yf630，由題意，圓心c1(4，8),c2（6,6)分別在上述兩條直線上，從而求得d0

17、，f81,所以所求圓的方程為x2y281答案 x2y2818（2019南京模擬）過點(，0)引直線l與曲線y相交于a，b兩點，o為坐標原點,當aob的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析 令p(,0），如圖，易知|oa|ob1,所以saob|oa|obsinaobsinaob，當aob90時，aob的面積取得最大值，此時過點o作ohab于點h，則oh,于是sinoph，易知oph為銳角，所以oph30，則直線ab的傾斜角為150，故直線ab的斜率為tan 150答案 9(2019南京市四校第一學期聯(lián)考)已知圓o：x2y21,半徑為1的圓m的圓心m在線段cd:yx4(mxn，mn）上移動,過圓

18、o上一點p作圓m的兩條切線，切點分別為a，b,且滿足apb60，則nm的最小值為_解析 設(shè)m（a，a4)（man），則圓m的方程為(xa)2（ya4)21連結(jié)mp,mb，則mb1，pbmb因為apb60，所以mpb30，所以mp2mb2,所以點p在以m為圓心，2為半徑的圓上連結(jié)om,又點p在圓o上，所以點p為圓x2y21與圓（xa）2（ya4)24的公共點，所以21om21，即13，得解得2a2所以n2,m2，所以nm答案 10(2019蘇北四市高三質(zhì)量檢測）已知a，b是圓c1：x2y21上的動點，ab，p是圓c2：（x3)2（y4)21上的動點,則|的取值范圍為_解析 取ab的中點c,則2|

19、,c的軌跡方程是x2y2，c1c25，由題意,|的最大值為51,最小值為51,所以的取值范圍為7，13答案 7，1311(2019南通模擬）已知兩條直線l1:axby40和l2：（a1）xyb0，求滿足下列條件的a，b的值（1）l1l2，且l1過點（3,1）；（2)l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等解 (1）由已知可得l2的斜率存在,且k21a若k20,則1a0,a1因為l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0又因為l1過點(3，1)，所以3a40,即a(矛盾）所以此種情況不存在，所以k20即k1，k2都存在，因為k21a，k1，l1l2,所以k1k21,即(1a）1又因為l1過點

20、(3，1)，所以3ab40由聯(lián)立，解得a2，b2（2)因為l2的斜率存在，l1l2，所以直線l1的斜率存在,k1k2，即1a又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等,且l1l2，所以l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即b，聯(lián)立，解得或所以a2，b2或a，b212(2019江蘇高考研究原創(chuàng)卷）已知圓心為c的圓滿足下列條件：圓心c位于x軸的正半軸上，圓c與直線3x4y70相切，且被y軸截得的弦長為2，圓c的面積小于13(1)求圓c的標準方程；(2）設(shè)過點m（0，3)的直線l與圓c交于不同的兩點a,b，以oa，ob為鄰邊作平行四邊形oadb，是否存在這樣的直線l，使得直線od與mc恰好平行？如果存在，

21、求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由解 （1）設(shè)圓c：(xa）2y2r2(a0),由題意知,解得a1或a又圓c的面積sr20，解得k1或k1，x1x2,y1y2k（x1x2）6在oadb中，（x1x2,y1y2)，（1，3)，假設(shè)odmc,則3（x1x2)y1y2，所以3，解得k但/(，1）（1,），所以不存在直線l，使得直線od與mc恰好平行13(2019江蘇省高考名校聯(lián)考（三）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知圓o：x2y24,f（0,2），點a，b是圓o上的動點，且fafb4（1）若fb1，且點b在第二象限,求直線ab的方程；(2)是否存在與動直線ab恒相切的定圓？若存在，求出該圓

22、的方程；若不存在，請說明理由解 (1)顯然直線fb的斜率存在，故可設(shè)直線fb的方程為ykx2(k0),聯(lián)立方程得，消去y得,(k21）x24kx0,得，故fb1，得k，點b因為fb1，且fafb4，所以fa4，又圓o的半徑為2,所以a(0，2）,故直線ab的方程為yx2（2)由(1)的求解方法易知，若fb1，且點b在第一象限，則直線ab的方程為yx2,故若存在符合題意的圓，則圓心在y軸上設(shè)圓心坐標為（0，m)，易知當abx軸時,直線ab的方程為y1,故|m1|，解得m或m2若直線fb，fa的斜率存在，不妨設(shè)直線fb，fa的方程分別為yk1x2，yk2x2(k1k2)，由(1）的求解方法易知，b，a，fb，fa又fafb4，所以4，化簡得15kkkk1()當直線ab的斜率存在且不等于0時，直線ab