第八章剛體的平面運動

1、第八章第八章 剛體的平面運動剛體的平面運動 8-1 8-1 剛體平面運動的概述和運動分解剛體平面運動的概述和運動分解 a實例實例 1 1 a實例實例 2 2 說說 明明 顯然，許多作平動或作定軸轉動的剛體也顯然，許多作平動或作定軸轉動的剛體也 滿足剛體作平面運動的定義。它們是平面滿足剛體作平面運動的定義。它們是平面 運動的特殊情況。運動的特殊情況。 但是，為了不造成混淆，約定：若作平面但是，為了不造成混淆，約定：若作平面 運動的剛體滿足平動或定軸轉動定義，則運動的剛體滿足平動或定軸轉動定義，則 稱其作平動或作定軸轉動。稱其作平動或作定軸轉動。 剛體的平面運動可簡化為平面圖形在它剛體的平面運動可

2、簡化為平面圖形在它 自身平面內的運動。自身平面內的運動。 平面運動剛體上的各點都在平行于某一平面運動剛體上的各點都在平行于某一 固定平面的平面內的運動。固定平面的平面內的運動。 O點的坐標和直線與點的坐標和直線與 x 軸軸 的夾角的夾角 都是時間都是時間 t 的函數(shù)的函數(shù) 。 a 平面運動的運動方程平面運動的運動方程 圖示平面有一平面圖形。圖示平面有一平面圖形。 可用兩個點完全確定其位置，可用兩個點完全確定其位置， 或者說用一條直線確定其位或者說用一條直線確定其位 置。置。 而直線而直線O M的位置可用的位置可用 O點的位置和直線與點的位置和直線與 x 軸的軸的 夾角夾角 所確定。所確定。 a

3、 平面運動的分解平面運動的分解 (1)(1) （2 2）而當而當 固定不動時，平面圖形繞固定不動時，平面圖形繞 O點點作定軸作定軸 轉動。轉動。 可見：可見： a 平面運動的分解平面運動的分解 (2)(2) a 平面運動的分解平面運動的分解 (3)(3) 設在設在t 時間間隔內，時間間隔內， 平面圖形由位置平面圖形由位置運動運動 到位置到位置。 這一運動過程可視為這一運動過程可視為 圖形先隨基點圖形先隨基點 A 作平動。作平動。 再繞基點再繞基點 A 作定軸轉動，轉過角度為作定軸轉動，轉過角度為 。 同樣，這一運動過程又可視為圖形先隨基點同樣，這一運動過程又可視為圖形先隨基點B作作 平動。再繞

4、基點平動。再繞基點 B 作定軸轉動，轉過角度為作定軸轉動，轉過角度為 。 顯然，顯然， AA BB 而而 = 上述兩種運動分解方式，得到相同的結果。而實上述兩種運動分解方式，得到相同的結果。而實 際上平動和轉動是同時進行的。際上平動和轉動是同時進行的。 a 平面運動的分解平面運動的分解 (4)(4) 在在t 0 的特殊情況的特殊情況 下，前述的兩種分解代表下，前述的兩種分解代表 這一瞬時的真實情況。這一瞬時的真實情況。 將將 AA BB = 同時除以同時除以t并取極限并取極限 v A v B 平面圖形的平面運動可取任意的基點分解為平動平面圖形的平面運動可取任意的基點分解為平動 和轉動，其中平動

5、的速度和加速度與基點的選擇有關；和轉動，其中平動的速度和加速度與基點的選擇有關； 而而平面圖形的角速度和角加速度與基點的選擇無關平面圖形的角速度和角加速度與基點的選擇無關。 a 一點注意一點注意 8-2 8-2 求平面圖形內各點速度的基點法求平面圖形內各點速度的基點法 求圖示圖形點求圖示圖形點 M 的速度。的速度。 選基點選基點O ， 牽連運動為平動，牽連運動為平動， M點的牽連速度等于點的牽連速度等于 基點基點 O 的速度的速度 vO 而點而點 M 的相對速度就是相對的相對速度就是相對O點轉動的平面圖形上點轉動的平面圖形上 M 點的速度點的速度 vMO ，顯然，顯然 vMO = OM 由速度

6、合成定理可求得由速度合成定理可求得 M 點的絕對速度點的絕對速度 v M 即即 平面圖形內任一點的速度等于基點的速度與該點平面圖形內任一點的速度等于基點的速度與該點 隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和。隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和。 前述方法稱為前述方法稱為 基點法基點法 或叫作或叫作 速度合成法速度合成法 根據(jù)上式，可作出平面圖形內直線根據(jù)上式，可作出平面圖形內直線OM上各點速度上各點速度 的分布圖。的分布圖。 通常對于平面圖形內的任意兩點通常對于平面圖形內的任意兩點 A 和和 B 有有 vB = vA + vBA 注意：注意：vBA vAB a解題步驟：解題步驟： 1 1、分析題中各物體的運

7、動，哪些物體作平移，哪、分析題中各物體的運動，哪些物體作平移，哪 些物體作轉動，哪些物體作平面運動。些物體作轉動，哪些物體作平面運動。 2 2、研究作平面運動的物體上哪一點的速度大小和、研究作平面運動的物體上哪一點的速度大小和 方向是已知的，哪一點的速度的某一要素（一般是方向是已知的，哪一點的速度的某一要素（一般是 速度方向）是已知的。速度方向）是已知的。 3 3、選定基點（設為、選定基點（設為A A），而另一點（設為），而另一點（設為B B）可應）可應 用公式用公式vB = vA + vBA ，作速度平行四邊形。必須注，作速度平行四邊形。必須注 意，作圖時要使意，作圖時要使vB成為平行四邊形

8、的對角線成為平行四邊形的對角線。 4 4、利用幾何關系、求解平行四邊形中的未知量。、利用幾何關系、求解平行四邊形中的未知量。 圖示機構，已知圖示機構，已知 vA 水平向左，桿長水平向左，桿長 AB = l。 求：求：vB 及及 AB 桿的角速度桿的角速度 。 例例 8-18-1 解：解： 選選 A點為基點，求點為基點，求B點的速度，運動分析點的速度，運動分析 由由 vB = vA + vBA 得得 vBA = vA / sin 解：解：1 1 AB作平面運動作平面運動,基點：基點：A 將速度將速度 vB 向線段向線段AB投影投影 ( vB )AB = ( vA + vBA )AB 因為因為 (

9、vBA )AB = 0 所以所以 ( vB )AB = ( vA )AB 在平面機構中，曲柄在平面機構中，曲柄 OA = 100mm，以角，以角 速度速度 = 2 rad/s 轉動。連桿轉動。連桿 AB帶動搖桿帶動搖桿 CD，并拖，并拖 動輪動輪 E 沿水平面滾動。已知沿水平面滾動。已知 CD = 3CB，圖示瞬時，圖示瞬時A、 B、E 三點恰在一條水平線上，且三點恰在一條水平線上，且CDED。試求此。試求此 瞬時點瞬時點 E 的速度。的速度。 例例 8-58-5 解：解： 畫出畫出A、B、D 和和 E 點速度。點速度。 由速度投影定理，由速度投影定理，vE cos 30= vD ； vB c

10、os 30= vA 可得可得： 由由 vA = OA = 200 （mm/s) 可得：可得： a 導出速度瞬心法 8-3 8-3 求平面圖形內各點速度的瞬心法求平面圖形內各點速度的瞬心法 a 瞬心概念瞬心概念 這一速度為零的點稱為這一速度為零的點稱為速度瞬心速度瞬心。 若取速度瞬心若取速度瞬心 C 為基點，為基點， 則，圖形內任意一點則，圖形內任意一點M的速度的速度 vM = vMC = CM 可見，可見，平面圖形歸結為繞瞬心的轉動問題平面圖形歸結為繞瞬心的轉動問題。 注意：注意：瞬心可以在圖形內，也可以在圖形外，其位置瞬心可以在圖形內，也可以在圖形外，其位置 不固定，隨時間變化。不同瞬時具有

11、不同的瞬心。剛不固定，隨時間變化。不同瞬時具有不同的瞬心。剛 體上任意點的速度總是垂直于該點至瞬心的連線。體上任意點的速度總是垂直于該點至瞬心的連線。 （1 1）在某瞬時，已知圖形上）在某瞬時，已知圖形上A、B兩點的速度兩點的速度方向方向， 但但速度方向速度方向不與不與AB連線垂直連線垂直。 速度瞬心即在垂直于速度瞬心即在垂直于vA的的 直線上，又在直線上，又在垂直于垂直于vB的的 直線直線上。上。 表明速度瞬心表明速度瞬心C在無窮在無窮 遠點，此時遠點，此時 C點為速度瞬心點為速度瞬心 該瞬時剛體作該瞬時剛體作瞬時平動瞬時平動 ( 2 ) ( 2 ) 在某瞬時，已知圖形上在某瞬時，已知圖形上

12、A、B兩點的速度兩點的速度大小大小， 而而 速度方向與速度方向與AB連線垂直連線垂直。 ( 3 ) ( 3 ) 平面圖形沿固定曲線作平面圖形沿固定曲線作 無滑動的滾動。無滑動的滾動。 因為沒有相對滑動，因為沒有相對滑動，接接 觸點觸點C的速度等于零，的速度等于零，C為為速速 度瞬心度瞬心。 a討討 論論 若平面圖形上的線段與某條直線之間的夾角若平面圖形上的線段與某條直線之間的夾角 隨時間的變化規(guī)律（運動方程）在隨時間的變化規(guī)律（運動方程）在整個運動過程整個運動過程 中可知，則將中可知，則將 對時間對時間 t 求導便可求得平面圖形的求導便可求得平面圖形的 角速度和角加速度。角速度和角加速度。 這

13、是因為前面已經論述過：這是因為前面已經論述過： 因為剛體平面運動中，隨基點運動的動參考因為剛體平面運動中，隨基點運動的動參考 系作平動，所以，系作平動，所以， 和和 即是相對角速度和相對角即是相對角速度和相對角 加速度又是絕對角速度和絕對角加速度。加速度又是絕對角速度和絕對角加速度。 a解題步驟：解題步驟： 1 1、分析題中各物體的運動，哪些物體作平移，哪些、分析題中各物體的運動，哪些物體作平移，哪些 物體作轉動，哪些物體作平面運動。物體作轉動，哪些物體作平面運動。 2 2、研究作平面運動的物體上哪一點的速度大小和方、研究作平面運動的物體上哪一點的速度大小和方 向是已知的，哪一點的速度的某一要

14、素（一般是速度向是已知的，哪一點的速度的某一要素（一般是速度 方向）是已知的。方向）是已知的。 3 3、根據(jù)已知條件，求出圖形的速度瞬心的位置和平、根據(jù)已知條件，求出圖形的速度瞬心的位置和平 面圖形轉動的角速度。面圖形轉動的角速度。 4 4、應用公式應用公式vA = vAC ，求出各點的速度。求出各點的速度。 注意：每一個平面圖形都有它自己的速度瞬心和角速注意：每一個平面圖形都有它自己的速度瞬心和角速 度，因此，每求出一個瞬心和角速度，應明確標出它度，因此，每求出一個瞬心和角速度，應明確標出它 是哪一個圖形的瞬心和角速度，決不可混淆。是哪一個圖形的瞬心和角速度，決不可混淆。 機構的運機構的運

15、動都是通動都是通 過各部件過各部件 的連接點的連接點 傳遞的傳遞的 8-4 8-4 用基點法求平面圖形內各點的加速度用基點法求平面圖形內各點的加速度 作平面運動的平面圖形作平面運動的平面圖形 S， 選選 A 點為基點。點為基點。 其運動可分解為：其運動可分解為： 1 1、隨基點的平動、隨基點的平動牽連運動牽連運動 2 2、繞基點的轉動、繞基點的轉動相對運動相對運動 由加速度合成定理由加速度合成定理 a a = a e + a r 得得 B點的加速度點的加速度 a B = a A + a BA 相對加速度可分解為切向和相對加速度可分解為切向和 法向相對加速度。即法向相對加速度。即 a 平面運動的

16、加速度平面運動的加速度 這樣有這樣有 將上式向恰當選取的兩將上式向恰當選取的兩 坐標軸投影后再求解仍坐標軸投影后再求解仍 是必須熟練掌握的。是必須熟練掌握的。 注注 意：意： 加速度瞬心存在，但一般不與速度瞬心重合。加速度瞬心存在，但一般不與速度瞬心重合。 加速度沒有投影定理。加速度沒有投影定理。 由于加速度瞬心尋找很困難，求解中只用基點法。由于加速度瞬心尋找很困難，求解中只用基點法。 解：解： 由只滾而不滑條件，知速度瞬心由只滾而不滑條件，知速度瞬心 C點如圖。點如圖。 半徑為半徑為 R的輪子的輪子 在水平面上純滾，已知某瞬在水平面上純滾，已知某瞬 時輪心的速度為時輪心的速度為 vO，加速度

17、，加速度 為為aO 。求輪上速度瞬心的。求輪上速度瞬心的 加速度和加速度和 B點的加速度。點的加速度。 例例 8-118-11 設輪的角速度為設輪的角速度為 ，角加速度為，角加速度為 。便有。便有 點點O 作直線運動作直線運動 ， 由于由于 C、B 兩點的加速度方向未知，兩點的加速度方向未知， 所以所以 假設加速度為假設加速度為 x 和和 y 向兩個分量。向兩個分量。 1 1、以、以O點為基點求點為基點求C點的加速度點的加速度 將上式分別將上式分別向向 x 和和 y 軸投影軸投影 2 2、以、以O點為基點求點為基點求B點的加速度點的加速度 將上式分別向將上式分別向 x 和和 y 軸投影軸投影

18、8-5 8-5 運動學綜合應用舉例運動學綜合應用舉例 工程中的機構大都由數(shù)個物體組成，各物體間通過聯(lián)工程中的機構大都由數(shù)個物體組成，各物體間通過聯(lián) 結點而傳遞運動。為分析機構的運動，首先要分清各結點而傳遞運動。為分析機構的運動，首先要分清各 物體都作什么運動，計算聯(lián)結點的速度和加速度。物體都作什么運動，計算聯(lián)結點的速度和加速度。 在分析運動中，如果能找出某點位置與時間的函數(shù)關在分析運動中，如果能找出某點位置與時間的函數(shù)關 系，則可直接建立運動方程，用解析法求其運動全過系，則可直接建立運動方程，用解析法求其運動全過 程的速度和加速度。程的速度和加速度。 平面運動理論用來分析同一平面運動剛體，或剛

19、體間平面運動理論用來分析同一平面運動剛體，或剛體間 接觸處沒有相對滑動的機構的運動量聯(lián)系。當兩剛體接觸處沒有相對滑動的機構的運動量聯(lián)系。當兩剛體 相接觸而有相對滑動時，則需要點的合成運動理論。相接觸而有相對滑動時，則需要點的合成運動理論。 復雜機構可能同時有平面運動和點的合成運動問題，復雜機構可能同時有平面運動和點的合成運動問題， 應分清關系、綜合處理。應分清關系、綜合處理。 例例 8-138-13圖示平面機構，桿圖示平面機構，桿AC在導軌中以勻速在導軌中以勻速 v 平動，套筒平動，套筒O與桿與桿AC距離為距離為 l ， = 60。求圖示瞬。求圖示瞬 時桿時桿AB的角速度和角加速度。的角速度和

20、角加速度。 解法解法1 1： （1 1）求桿）求桿 AB 的角速度的角速度 選選 A 點為動點，動系與套筒固結點為動點，動系與套筒固結 顯然顯然: : va = v ; vr = v cos 60= v/2; ve = v sin 60= v/2 ; e = AB 點點 A 作勻速直線運動，作勻速直線運動，aa = 0 有有 將將（*）式向）式向 軸投影軸投影 解法解法2 2： 以以 O 點為原點，建坐標系點為原點，建坐標系 當當 = 60時，得時，得 圖示平面機構，桿圖示平面機構，桿 AC鉛直運動，桿鉛直運動，桿BD水平運動，水平運動， A為鉸鏈，滑塊為鉸鏈，滑塊B可沿槽桿可沿槽桿AE 中的

21、直槽滑動。圖示瞬時中的直槽滑動。圖示瞬時AB = 60mm， = 30，vB = 50mm/s，aB = 10mm/s2， 例例 8-158-15 求圖示瞬時槽桿求圖示瞬時槽桿 AE 的的 角速度和角加速度角速度和角加速度。 解：解：1 1、選滑塊、選滑塊B為動點，動系與槽桿為動點，動系與槽桿AE固固 結。結。 v a = v e + v r ( 1 ) 式中式中v a = v B ， v r方向沿方向沿AE，大小未知；，大小未知； 2 2、槽桿、槽桿AE作平面運動，以作平面運動，以A點為點為 基點，求基點，求B點的速度點的速度 v B = v A + v BA ( 2 ) 式中式中v A 已

22、知，已知， v BA 大小未知；大小未知； v B 大小、方向均未知。大小、方向均未知。 v B v e為槽桿為槽桿AE上與滑塊上與滑塊B重合的重合的B點的速點的速 度度v e = v B ，其大小和方向均未知。三個，其大小和方向均未知。三個 未知量，無法求解。未知量，無法求解。v Bv B 注意到注意到 v B = v e ，合并，合并(1)、(2)式式 求求 速速 度度 將式（將式（3 3）向）向 軸投影：軸投影： vB cos30= -vAcos60+ vBA 將式將式（3）向）向 軸投影：軸投影： vBsin30= vAsin60+ vr 解得解得 vr = 10 mm/s 從而得槽桿從而得槽桿AE的角速度的角速度 1 1、選滑塊、選滑塊B為動點，動系與槽為動點，動系與槽 桿桿AE固結。固結。 a a = a e + a r + a C ( 4 ) 式中式中a a = a B ， a e為槽桿為槽桿AE上與滑上與滑 塊塊B重合的點重合的點B的加速度，的加速度， a e = a B 其大小和方向均未知；其大小和方向均未知； a r大小大小未知未知 三個未知量，無法求解三個未知量，無法求解。 2 2、以、以