易拉罐優(yōu)化設(shè)計

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： c 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?黃海學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 于才華 2. 劉揚(yáng) 3. 王曉龍 4. 郭彩霞 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 戴琳琳 薛靖峰 日期： 2011 年 8月 30 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計 摘要 飲料罐（即易拉罐）在我們生活中隨處可見，飲料的

3、生產(chǎn)過程中需要大量的易拉罐。本文研究的是易拉罐的形狀和尺寸最優(yōu)設(shè)計問題，在生產(chǎn)大量易拉罐時，可以節(jié)省易拉罐的制作材料和生產(chǎn)費用。 問題一，我們利用千分尺測量了一個355毫升可口可樂飲料的易拉罐各部位，列出了有關(guān)的數(shù)據(jù)表格。 問題二，我們在已知假定易拉罐是一個正圓柱體時，針對材料最省的標(biāo)準(zhǔn)，在不考慮易拉罐的蓋部圓臺和底部圓臺的高度畫出了簡單的平面圖。利用問題一的數(shù)據(jù)：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍,建立體積的目標(biāo)函數(shù)，得出高是半徑的4倍是易拉罐的最優(yōu)設(shè)計。我們的結(jié)果在半徑與高的比值能合理說明我們所測量的易拉罐形狀和尺寸。 問題三，結(jié)合問題一、二，已經(jīng)給出易拉罐的中心縱斷面：上面部分是一個正圓臺，下

4、面部分是一個正圓柱體，假定圓臺和圓柱的厚度不同，列出了材料最節(jié)約目標(biāo)函數(shù)，利用了非線性規(guī)劃方法和lingo軟件求得最優(yōu)解。問題四，我們考慮到易拉罐的材料、安全、成本問題等方面，設(shè)計了我們自己的易拉罐的形狀。關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計 不等式 最小值 數(shù)學(xué)模型一、問題的重述 我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就

5、請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。具體說，請你們完成以下的任務(wù)：1 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你

6、們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。5 用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文)，闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點。 二、模型假設(shè) 1.假設(shè)易拉罐的制作材料都是相同的；2.假設(shè)罐體不受溫度的影響而發(fā)生變化；3.忽略氣體壓強(qiáng)對造型設(shè)計的影響；4.假設(shè)實測數(shù)據(jù)的誤差對驗證過程不影響；5.忽略易拉罐接縫材料重疊部分的影響。三、符號說明 ：易拉罐的容積：易拉罐材料體積：罐體底面半徑：罐體圓臺上表面半徑：易拉罐體總高度：圓臺高度：圓柱體高度：罐體上表面的厚度：罐體下表面的厚度：罐體

7、厚度四問題分析對于問題一，引出355毫升的可口可樂飲料罐，要求我們測量它的各個部分的數(shù)據(jù)，我們首先考慮到它的形狀，從而去建立數(shù)據(jù)表。對于問題二，已經(jīng)假設(shè)易拉罐是個正圓柱體，要求我們?nèi)プC明它是最有設(shè)計，我們首先考慮到去畫圖分析易拉罐的形狀和需要測量的部分的數(shù)據(jù)。計算易拉罐在什么清下最省，也就是考慮到高與半徑之比。對于問題三，根據(jù)易拉罐的中心縱斷面，我們應(yīng)該考慮到易拉罐的表面積或體積，建立數(shù)學(xué)模型證明它是最優(yōu)解。對于問題四，是叫我們發(fā)揮我們的想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計，理想的飲料灌裝容器應(yīng)以下作用考慮：從保護(hù)產(chǎn)品、使用方便、降低成本、便于運輸?shù)确矫婵紤]。對于問題五，結(jié)合以前學(xué)習(xí)和實

8、踐寫一篇論文，跟我們做本文思路類似。五、模型建立與求解問題一 測量模型所需的數(shù)據(jù)我們利用千分尺去測得一容積為355 ml可口可樂飲料的易拉罐各部位的數(shù)據(jù)為：符號含義實測值（單位：mm）易拉罐的主身的半徑31.39 易拉罐的蓋部的半徑27.2易拉罐的底部的半徑24.06整個易拉罐的高度118.90易拉罐的圓柱部分的高度102.35易拉罐蓋部圓臺的高6.80罐側(cè)壁的厚度0.12罐蓋的厚度0.30罐底的厚度0.23問題二 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體時的最優(yōu)設(shè)計假設(shè)罐體是一個規(guī)格的圓柱體，我們得到 由于易拉罐上低和下底的強(qiáng)度必須要大一點（經(jīng)千分卡尺的實際測量結(jié)果為：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍），因而在制

9、造中，上、下底的厚度為罐的其他部分厚度的2倍，即。根據(jù)問題一測量得到的厚度數(shù)據(jù)，我們建立如下模型：罐體用材總體積 得 帶人得由不等式可得: 當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值 即總罐高應(yīng)為半徑的4倍，這是易拉罐的最優(yōu)設(shè)計。這與千分尺所測量幾乎一致。這一結(jié)果同時也驗證了我們所測量的易拉罐高度與半徑尺寸設(shè)計的合理性。 問題三 罐體為正圓臺與圓柱組合的最優(yōu)模型根據(jù)問題一、問題二進(jìn)一步考慮，假設(shè)易拉罐上部為正圓臺下部為圓柱體。如圖2圓柱體體積表示為圓臺體積表示為從而得到罐體總體積為要求易拉罐體積一定時用料最少，且高度與半徑比為4:1，在此情況下還應(yīng)滿足厚度為則制罐用材總體積建立以下數(shù)學(xué)模型 利用longo數(shù)學(xué)軟件（

10、另見附頁一）得出問題四 易拉罐的最優(yōu)設(shè)計 我們考慮到所設(shè)計的易拉罐在以節(jié)省材料的前提下保證運輸方便、安全、和美學(xué)等的合理程度，受到隧道拱形結(jié)構(gòu)的提示（如圖3）設(shè)計出一下罐體簡化示意圖（圖4）此拱形結(jié)構(gòu)可使的罐壁兩側(cè)材料相對薄從而節(jié)省出出少許材料，將省出的材料用于上蓋和底面的容積擴(kuò)充，從而保證355ml的容量。同時拱形結(jié)構(gòu)也保證了罐體在1.5-2pa氣體壓強(qiáng)的情況下的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。且此設(shè)計也便于疊放、碼堆等各種運輸。此方案的設(shè)計與常規(guī)直體易拉罐相比更符合人體力學(xué)的要求，方便各年齡段人員的拿放使用。且更安全，外形大膽創(chuàng)新，有更好的創(chuàng)造性。六、模型的評價與推廣模型的評價：1. 最大限度的節(jié)約了罐體的材

11、料和生產(chǎn)成本。2. 易拉罐最優(yōu)設(shè)計的模型簡單明了，易于理解。3. 模型的基本思路比較清晰。4. 使用lingo，使得計算更加精確。5. 設(shè)計創(chuàng)新。模型的推廣：1.本文考慮的是易拉罐的的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題，我們建立的數(shù)學(xué)模型可以推廣到油罐的設(shè)計用于運輸問題和食品罐存儲的相關(guān)領(lǐng)域，從而節(jié)省生產(chǎn)成本和提高經(jīng)濟(jì)效益。2.新罐體的設(shè)計運用到日常生活中會取得人們的新奇，在成本不增長的情況下提高產(chǎn)品的銷售。七模型的改進(jìn)1. 我們建立的模型都是考慮在易拉罐各部分的材料相同和簡化了模型的計算，細(xì)節(jié)方面有待提高。2. 易拉罐的設(shè)計運用到了力學(xué)、美學(xué)和材料等知識，單單憑借數(shù)學(xué)計算還是很片面的，我們還應(yīng)聯(lián)系實際

12、工作經(jīng)驗做出最完美的結(jié)果。3. 我們建立的模型都是考慮在易拉罐各部分的材料相同。4. 設(shè)計出的新罐體沒有數(shù)據(jù)的支持，還應(yīng)進(jìn)行數(shù)學(xué)運算并考慮到日常生產(chǎn)等方面是否合理。八建模感想數(shù)學(xué)模型(mathematical model)是通過利用數(shù)學(xué)符號來解決一些實際問題，需要對問題做出分析與假設(shè)并列出相關(guān)數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)工具matlab軟件計算以得出相關(guān)結(jié)論并驗證結(jié)論的正確性的過程，達(dá)到解決實際問題的目的。而數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。根據(jù)以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，我們組把數(shù)學(xué)建模基本步驟可以歸納為以下： 1

13、了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題. 2.要把實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題開始進(jìn)行分析。 3.需要觀察實際生活當(dāng)中細(xì)節(jié)，像此題中的易拉罐模型是對易拉罐進(jìn)行了觀察，并上網(wǎng)搜集相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理。 4.對某些實際問題進(jìn)行簡化，抽象并做出假設(shè)。像此題中我們對易拉罐簡化成圓柱體進(jìn)行求解。 5.針對具體題目設(shè)出相關(guān)變量及參數(shù)，并對其做出合理詳細(xì)的解釋。 6.確定相關(guān)變量和參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，深一步研究數(shù)學(xué)模型使其得到更加廣泛的應(yīng)用。 7.根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)工具例如（matlab）進(jìn)行相關(guān)計算。 8.在得出計算結(jié)果后，可能會存在一定的誤差，需要還原到實際問

14、題進(jìn)行深一步驗證與分析，得出結(jié)論。在模型建立過程中，我們發(fā)現(xiàn)存在著三個難點：1.怎樣由實際問題到抽象之間的轉(zhuǎn)換，同時要考慮對問題進(jìn)行假設(shè)和分析;2.采用哪種數(shù)學(xué)方法和工具建立模型，設(shè)立相關(guān)數(shù)據(jù)變量及參數(shù)使模型簡單具體化；3.怎樣驗證數(shù)學(xué)模型是否合理。參考文獻(xiàn)【1】千分尺的使用，【2】趙靜，但琦編，數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)試驗，高等教育出版（2007）【3】問題解決的數(shù)學(xué)模型方法，劉來福，曾文藝編著，問題解決的數(shù)學(xué)模型方法，北京師范大學(xué)出版社（1999）【4】拱形結(jié)構(gòu)受力分析圖。12九、附頁附頁一model:pi=3.1415;b=0.12;v=355000;min=2*pi*b*(r12+r2+0.3*

15、(r1+r)*sqr(r-r1)2+h12)+r*(h-h1);pi*(r12+r2+r*r1)*h1+3*pi*r2*(h-h1)-3*v=0;hh1;rr1;end local optimal solution found. objective value: 4159.158 extended solver steps: 4 total solver iterations: 199 variable value reduced cost pi 3.141500 0.000000 b 0.1200000 0.000000 v 355000.0 0.000000 r1 29.72515 0.000000 r 30.59339 0