高中新課程數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教A版)必修四優(yōu)秀課件：2.2.3實(shí)數(shù)與向量的積

1、2.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算 1. 1.向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則 作法: 在平面中任取在平面中任取 一點(diǎn)一點(diǎn)O,O, o 回顧舊知回顧舊知: 過過O作作OA= a 過過A作作AB= b 則則OB= a+b. a+b b a A 如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a a+ +b b. . b B a 首尾相接首尾連首尾相接首尾連 2.向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則 作法:在平面中任取一點(diǎn)在平面中任取一點(diǎn)O, o 以以O(shè)A,OBOA,OB為邊作為邊作 平行四邊形平行四邊形 C 如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向

2、量a+b. b a a A b B 過過O作作OA= a 過過O O作作OB=OB= b b a+b 則對角線則對角線 OC= OC= a+ba+b 共起點(diǎn)共起點(diǎn) 3.向量的減法向量的減法(三角形法則）三角形法則） 如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b. a b 作法作法: 在平面中任取一點(diǎn)在平面中任取一點(diǎn)o o, 過過O O作作OA=OA= a a 過過O O作作OB=OB= b b o a A b B 則則BA= BA= a-ba-b a-b 共起點(diǎn)共起點(diǎn) 實(shí)際背景 表示，試畫出該向量。用 秒的位移對應(yīng)的向量那么在同方向上向量 ，一秒鐘的位移對應(yīng)一物體作勻速直線運(yùn)

3、動 a a 3 3, aa3 探索探索1: 根據(jù)向量加法根據(jù)向量加法 的法則可得的法則可得 3a 3a 3a O a a a ABC 3a 由圖可知，向量由圖可知，向量 OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把我們把a(bǔ)+a+a記記 作作3 a，即，即OC=3a. 顯然，顯然，3a的方向與的方向與a的方向相同，的方向相同，3a 的的 長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |. P Q a M a N a 3a 由圖可知，由圖可知， PN=PQ+QM+MN =(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a) 記作記作-3 a，即，即PN= - 3a

4、 顯然，顯然，-3a的方向與的方向與a的方向相反，的方向相反，-3a的的 長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。 | | | |;aa （1 1） 一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一的積是一 個向量，這種運(yùn)算叫做個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘，記作，記作 ， 它的長度和方向規(guī)定如下它的長度和方向規(guī)定如下： a a （2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的方向與的方向與 的方向相同；的方向相同； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的方向與的方向與 的方向相反。的方向相反。 a a 0 a a 0 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 00.a 思考思考

5、:向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)? 那些不同點(diǎn)那些不同點(diǎn)? a 是一個向量；是一個向量； a 的長度等于的長度等于 的的 絕對值與向量絕對值與向量a的長度的長度 的乘積。的乘積。 a )2(3a )2(3a a 6= a b ba ba 22 a 2 b 2 baba 22)(2 探索探索2: (1) 根據(jù)定義，求作向量根據(jù)定義，求作向量3(2a)和和(6a) (a為非零向量為非零向量)，并進(jìn)行比較。，并進(jìn)行比較。 (2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并，并 進(jìn)行比較。進(jìn)行比較。 設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)，那么為實(shí)數(shù)，那么, ( (

6、1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ; ( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ; ( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. . 特別的，我們有特別的，我們有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = ( (- -a a) ), , ( (a a- -b b) )= = a a- - b b. . a a 、 b b 第一分配律第一分配律 第二分配律第二分配律 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算向量的線形運(yùn)算. 對

7、于任意向量對于任意向量 ，以及任意實(shí)數(shù)，以及任意實(shí)數(shù) ， 恒有恒有 1 12 2 、 、 1111 .abab （）= 例例1.計(jì)算：計(jì)算： ( 3) 4 ; 3() 2(); (23) (32). a a ba ba ab cab c (1) (2) (3) 112 2 5 352 a b abc 解： 1 2 263 )3( 342 ); (2)3()2(2 )4()0 . abcabc xaxaxab x 鞏固練：計(jì)算： （） （ 已知 求 習(xí) cbacba612961241）原式解：（ a13 043 044442332 bax baxaxax）（ bax43 解：解：DC= AB=

8、a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a MN=DN-DM= a-b- a= a-b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 D A N M C B 例例1: 梯形梯形ABCD，且，且|AB|=2|DC| M、N分別為分別為DC、AB中點(diǎn)。中點(diǎn)。 AB=a AD=b 用用a，b表示表示DC、BC、 MN。 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): :設(shè)設(shè)D D、E E、F F分別是分別是 ABCABC的邊的邊BCBC、CACA、 ABAB上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC, CE=(1/4)CA.

9、CE=(1/4)CA.若記若記AB=m,CA=n.AB=m,CA=n.試用試用m,nm,n表示表示 DEDE、EFEF、FDFD A A B B C C D D E E F F 25 312 13 24 11 63 DEmn EFmn FDmn 思考思考: 向量共線定理向量共線定理 對于向量對于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一個實(shí)數(shù)，如果有一個實(shí)數(shù) ， 使使 b = a ，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知， a 與與b共線共線. 反過來，已知向量反過來，已知向量a與與b共線，共線， a 0 ，且向量，且向量 b的長度是向量的長度是向量a的的倍，即倍，即|

10、b | a |= ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 向量向量a與與b同方向時(shí)，有同方向時(shí)，有b = a ，當(dāng)向量，當(dāng)向量a與與b反方反方 向時(shí)，有向時(shí)，有b = - a . 也就是說：如果也就是說：如果a與與b共線，那么有且只有一共線，那么有且只有一 個實(shí)數(shù)個實(shí)數(shù) ，使，使b = a . 例例2:如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，M是是AB的的 中點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)，點(diǎn)N是是BD上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， ， 求證求證M、N、C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. BDBN 3 1 A MB C D N6 1 3 1 2 1 1 1 MM C C = =MM N N 3 3 所以所以M.N.C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 練習(xí)練習(xí)1

11、設(shè)設(shè)a，b是兩個不共線向量。是兩個不共線向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則共線則k=_(kR) 解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k =-1 k=-1 練習(xí)練習(xí)2: e1、e2不共線不共線, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a與與b是否共線。是否共線。 解：假設(shè)解：假設(shè),a與與b共線則共線則 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 這樣這樣不存在。不存在。 a與與b不共線。不共線。 練習(xí)練習(xí)3:3:設(shè)兩非零向量設(shè)兩非零向量a a和和b b不共

12、線，不共線， 如果如果ABABa ab b，CDCD3 3（a ab b），），BC=2a+8bBC=2a+8b 求證：求證：A A、B B、D D三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。 例例2:2:（2003 2003 遼寧）已知四邊形遼寧）已知四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形， P P點(diǎn)在對角線點(diǎn)在對角線ACAC上（不包括端點(diǎn)上（不包括端點(diǎn)A A、C C），）， 則則APAP等于等于 ( )( ) A A、 B B、 C C、 D D、 (),(0,1)AB AD 2 (),(0,) 2 ABBC (),(0,1)AB AD 2 (),(0,) 2 ABBC A A 變形變形1:1:（2003 2003

13、 全國）全國）O O是平面上一是平面上一 定點(diǎn)，定點(diǎn)，A A、B B、C C是平面上不共線的三個點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)， 動點(diǎn)動點(diǎn)P P滿足滿足 則則P P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABCABC的的( )( ) A A外心外心B B內(nèi)心內(nèi)心C C重心重心D D垂心垂心 (),0,), | | ABAC OP OA ABAC B B 變形變形2:2:OAOA、OBOB不共線，不共線，AP=tABAP=tAB，用，用OAOA、OBOB 表示表示OPOP (1)OPt OAtOB 所以：所以： O O A A B B P P 因?yàn)橐驗(yàn)镺P=OA+APOP=OA+AP =OA+tAB=OA+t(

14、OB-OA)=OA+tAB=OA+t(OB-OA) =(1-t)OA+tOB=(1-t)OA+tOB 思考思考: :若上式成立若上式成立, ,則則A A、B B、P P有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?反之反之? ? 結(jié)論：結(jié)論：已知已知OAOA、OBOB不共線，若不共線，若P P、A A、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (1)OPt OAtOB 則則 則則P P、A A、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. . (1)OPt OA tOB 若若O O是平面上任意一點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn), ,且且 若若O O是平面上任意一點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn), ,且且 OPOAOB 其中其中, , 則則P P、A A、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線

15、1 等價(jià)命題：等價(jià)命題：OA、OB不共線，若不共線，若P、A、B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線, 則則 其中其中 OPOAOB 1 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): :如圖如圖 OABOAB中中,C,C為直線為直線 ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn), , AC=CB(-1),AC=CB(-1), 1 OAOB OC 求 證 ： A A B B O O C C 練習(xí)練習(xí)1 設(shè)設(shè)a，b是兩個不共線向量。是兩個不共線向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則共線則k=_(kR) 解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1 練習(xí)練習(xí)2: e1、e2不