電通量、高斯定理

1、上節(jié)回顧：上節(jié)回顧： 1. 庫侖定律庫侖定律-點(diǎn)電荷之間的相互作用規(guī)律點(diǎn)電荷之間的相互作用規(guī)律 2. 庫侖力的疊加原理：庫侖力的疊加原理：即多個電荷同時作用力等于每個電荷即多個電荷同時作用力等于每個電荷 =單獨(dú)作用力之矢量和。單獨(dú)作用力之矢量和。 3. 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度描述電場強(qiáng)弱的物理量描述電場強(qiáng)弱的物理量 單位正電荷在電場中單位正電荷在電場中 某點(diǎn)所受到的電場力某點(diǎn)所受到的電場力 （1）點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度）點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 ., , 321 qqq （2）點(diǎn)電荷系）點(diǎn)電荷系 產(chǎn)生的電場中的場強(qiáng)產(chǎn)生的電場中的場強(qiáng) （3）任意帶電體）任意帶電體(連續(xù)帶電體連續(xù)帶電體)電場中的場強(qiáng)電場中的

2、場強(qiáng) 4. 電場強(qiáng)度的計算電場強(qiáng)度的計算 場強(qiáng)疊加原理場強(qiáng)疊加原理 0 q F E 定義式定義式 （下一頁）（下一頁） (1)無限長均勻帶無限長均勻帶 電細(xì)棒的場強(qiáng)電細(xì)棒的場強(qiáng) 5. 幾個常用的電場公式幾個常用的電場公式 y E 0 2 (2)圓環(huán)在其中軸線上圓環(huán)在其中軸線上 任意點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)任意點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)2 3 22 0 )(4xR qx E (3)無限大均勻帶電無限大均勻帶電 平面產(chǎn)生的場強(qiáng)平面產(chǎn)生的場強(qiáng) 0 2 E （下一頁）（下一頁） 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧 1 q 12 r 21 F 12 F 2 q 12 2 12 21 12 r r qq kF 2、電場強(qiáng)度的定義、電場強(qiáng)度的定義 0

3、 q F E 3、電場強(qiáng)度的計算、電場強(qiáng)度的計算 （1）點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度）點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 r r q q F E 4 2 00 0q 0q 1、 庫侖定律庫侖定律 （下一頁）（下一頁） ., , 321 qqq （2）點(diǎn)電荷系）點(diǎn)電荷系 產(chǎn)生的電場中的場強(qiáng)計算產(chǎn)生的電場中的場強(qiáng)計算 2 r 1 r 3 r 3 q 2 q 1 q p 1 E 2 E 3 E E n i i i i n i i r r q EE 1 2 0 1 4 1 （3）任意帶電體電場中的場強(qiáng)計算）任意帶電體電場中的場強(qiáng)計算 r r dq EdE 4 1 2 0 Ed dq r （下一頁）（下一頁） 帶電體在電場中

4、所受的電場力帶電體在電場中所受的電場力 電場強(qiáng)度的定義電場強(qiáng)度的定義 0 q F E 1、點(diǎn)電荷所受的電場力、點(diǎn)電荷所受的電場力 EqF 0 q F 0 q F 點(diǎn)電荷在電場中所受的力大小等點(diǎn)電荷在電場中所受的力大小等 于于qE，方向取決與電量的正負(fù)方向取決與電量的正負(fù) 2、帶電體所受的電場力、帶電體所受的電場力 迭加原理迭加原理 F d dq EqF dd qEFF VV dd （下一頁）（下一頁） 1. 電場線、電（電場線、電（E）通量、高斯定理通量、高斯定理 2. 利用高斯定理求靜電場的分布利用高斯定理求靜電場的分布 教學(xué)要求教學(xué)要求: 理解電（理解電（E）通量的概念通量的概念, 會計算

5、均勻場及較簡會計算均勻場及較簡 單電場中簡單曲面的電（單電場中簡單曲面的電（E）通量通量; 2. 理解高斯定理的物理意義理解高斯定理的物理意義, 能用高斯定理分析較簡能用高斯定理分析較簡 單的有關(guān)的問題單的有關(guān)的問題; 3. 能用高斯定理計算球?qū)ΨQ分布的帶電體產(chǎn)生的電場。能用高斯定理計算球?qū)ΨQ分布的帶電體產(chǎn)生的電場。 本講內(nèi)容：本講內(nèi)容： 本講重點(diǎn)：電通量概念及高斯定理的應(yīng)用。本講重點(diǎn)：電通量概念及高斯定理的應(yīng)用。 （下一頁）（下一頁） 8-4 電場強(qiáng)度通量電場強(qiáng)度通量 高斯定理高斯定理 1 電場線的電場線的 定義：定義： 一、一、 電場線（電場線（E 線）線） (1)方向方向: 電場線上各點(diǎn)

6、的電場線上各點(diǎn)的切線方向切線方向表表 =表示電場中表示電場中該點(diǎn)場強(qiáng)的方向。該點(diǎn)場強(qiáng)的方向。 1 E 2 E 3 E 2. 電場線示例（看電場線示例（看P17圖圖8-16） 場強(qiáng)就等于電場線的面密度場強(qiáng)就等于電場線的面密度 dSdNE E dS 顯然，電場線密集處場強(qiáng)大。顯然，電場線密集處場強(qiáng)大。 (2) 密度密度: 穿過垂直于該點(diǎn)場強(qiáng)方向的單穿過垂直于該點(diǎn)場強(qiáng)方向的單 =位面積上的電場線的條數(shù)（位面積上的電場線的條數(shù)（電場線的電場線的 =面密度）面密度）等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的場強(qiáng)的大小場強(qiáng)的大小。 均勻電場的電場線是平行直線均勻電場的電場線是平行直線. （下一頁）（下一頁） （下一頁）（下一頁

7、） 3. 電場線的性質(zhì)：電場線的性質(zhì)： 2）電場線不會在無電荷的地方中斷；電場線不會在無電荷的地方中斷； 3）電場線不會在無電荷的地方相交；電場線不會在無電荷的地方相交； 4）靜電場的電場線不會形成閉合曲線靜電場的電場線不會形成閉合曲線 （感應(yīng)電場的電場線都是閉合曲線）。（感應(yīng)電場的電場線都是閉合曲線）。 E qq 1 、電（、電（E）通量的定義通量的定義 二、二、 電（電（E）通量通量 1）靜電場的電場線起于正電荷，）靜電場的電場線起于正電荷， =終止于負(fù)電終止于負(fù)電 荷；電荷是電場線荷；電荷是電場線 =的的“源源”和和“尾尾” 通過任一曲面的電場線通過任一曲面的電場線 的條數(shù)稱為通過這一曲

8、的條數(shù)稱為通過這一曲 面的面的電通量電通量。用。用 表示表示 e 類比類比: 場強(qiáng)場強(qiáng)E 相當(dāng)于水流密度相當(dāng)于水流密度, 電通量電通量 相當(dāng)于通相當(dāng)于通 過某過某 一截面的水流量一截面的水流量. e E dS dSdNE （下一頁）（下一頁） 2. 電電（E）通量的計算通量的計算 (1)均勻電場中電通量的計算均勻電場中電通量的計算 S 的投影面積的投影面積 曲曲 面面 S 電場線電場線 SE e 即：場強(qiáng)與曲面在垂直于電場線即：場強(qiáng)與曲面在垂直于電場線 方向的投影面積之乘積方向的投影面積之乘積 （2）非均勻電場中電通量的計算非均勻電場中電通量的計算 難點(diǎn)：曲面上難點(diǎn)：曲面上 各點(diǎn)的場強(qiáng)大各點(diǎn)的

9、場強(qiáng)大 小與方向均是小與方向均是 變化的。變化的。 對策：將曲面對策：將曲面 分割成若干小分割成若干小 面元，先求每面元，先求每 一面元的電通一面元的電通 量，再利用積量，再利用積 分求得整個曲分求得整個曲 面的電通量。面的電通量。 （下一頁）（下一頁） 小面元上的電通量計算小面元上的電通量計算 要點(diǎn)：小面元可視為小平面，要點(diǎn)：小面元可視為小平面， 其上的場強(qiáng)可視為均勻場。其上的場強(qiáng)可視為均勻場。 E n dS dS dS dS 面元在垂直于場強(qiáng)方向面元在垂直于場強(qiáng)方向 的投影是的投影是 ， dS通過它的電通量等于面元通過它的電通量等于面元 的電通量的電通量, 又又 cos)cos(dSnEd

10、SdS cosEdSEdSd e 定義：定義：矢量面元：矢量面元： ndSSd 大小等于面元的面積，方向取其法線方向。大小等于面元的面積，方向取其法線方向。 因此通過面元的電通量可表示為：因此通過面元的電通量可表示為：SdEd e Sd （下一頁）（下一頁） 小面元上的電通量的正與負(fù)小面元上的電通量的正與負(fù) cosEdSSdEd e E n 0ed 2 E n 0 e d 2 E n 0 e d 2 通過任一曲面通過任一曲面S 的電通量：的電通量： SS ee SdEd （下一頁）（下一頁） 通過任一閉合曲面通過任一閉合曲面S的電通量：的電通量： S e SdE 閉合曲面法線方向的規(guī)定閉合曲面

11、法線方向的規(guī)定： 外法線方向外法線方向(自內(nèi)向外自內(nèi)向外) 為正。為正。 n 注意：電通量是一個代數(shù)量，可正可負(fù)；注意：電通量是一個代數(shù)量，可正可負(fù)； 取決于對曲面法線正方向的規(guī)定。取決于對曲面法線正方向的規(guī)定。 對于上面的規(guī)定，電力線穿出閉合曲面電通量為正；對于上面的規(guī)定，電力線穿出閉合曲面電通量為正； =電力線穿入閉合曲面電通量為負(fù)。電力線穿入閉合曲面電通量為負(fù)。 （下一頁）（下一頁） 電通量的計算示例：電通量的計算示例：計算通過以點(diǎn)電荷計算通過以點(diǎn)電荷 q 為球心，為球心， 以以 r 為半徑的閉合球面的電通量。為半徑的閉合球面的電通量。 2 4 rESE e 2 0 4r q E 2 0

12、 2 4 4 r q rSE e E S r 解：解：先按先按“水流量水流量”的類比來計算。由于球面上各點(diǎn)的類比來計算。由于球面上各點(diǎn) 的的= “水流密度水流密度” E 大小相等，方向均與曲面垂直大小相等，方向均與曲面垂直 ，=故通過球面的故通過球面的“水流量水流量” 為：為： 0 q （下一頁）（下一頁） 再按電通量的定義來計算：再按電通量的定義來計算： cosEdSSdE e E S r Sd 0 2 2 0 4 4 q r r q dSE e 兩種方法求得的結(jié)果相同。兩種方法求得的結(jié)果相同。 討論：討論： 1）在此情況下，通過球面的）在此情況下，通過球面的 =電通量與球面的半徑無關(guān)；電通

13、量與球面的半徑無關(guān)； 2）通過球面的電通量的正負(fù)由球面內(nèi)的電）通過球面的電通量的正負(fù)由球面內(nèi)的電 =荷的正負(fù)決定；正電荷是電場線的荷的正負(fù)決定；正電荷是電場線的“源源” ，=負(fù)電荷是電場線的負(fù)電荷是電場線的“尾閭尾閭”。 按照面元矢量的定義，如圖所示任取面元矢量按照面元矢量的定義，如圖所示任取面元矢量 ， 由于由于 與與 E方向相同，故夾角為零。而在球面上方向相同，故夾角為零。而在球面上E為為 常數(shù)，可提到積分號外。因此有：常數(shù)，可提到積分號外。因此有： Sd Sd （下一頁）（下一頁） 3）從閉合曲面內(nèi)從閉合曲面內(nèi)穿出穿出的一條電場線產(chǎn)生的一條電場線產(chǎn)生正正一單位的一單位的 = 電通量電通量

14、; 從外面從外面穿入穿入閉合曲面的一條電場線產(chǎn)閉合曲面的一條電場線產(chǎn) = 生生負(fù)負(fù)一單位的電通量。一單位的電通量。 問題：問題： 通過靜電場中通過靜電場中任意任意閉合曲面的電通閉合曲面的電通 量應(yīng)如何計算？有什么意義？量應(yīng)如何計算？有什么意義？ 下一頁看下一頁看 三、靜電場的高斯定理三、靜電場的高斯定理 e 0 靜電場中任何一閉合曲面靜電場中任何一閉合曲面 S 的電通量的電通量 ，等于，等于 該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 分之一倍。分之一倍。 （閉合曲面內(nèi)） i S e qSdE 0 1 數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式： 證明：可用庫侖定律和疊加原理分步證明之。證明：可用庫

15、侖定律和疊加原理分步證明之。 通過通過 以點(diǎn)電荷以點(diǎn)電荷q為球心的任意閉為球心的任意閉 合球面的電通量均為合球面的電通量均為 ; 0 q 2. 通過包圍點(diǎn)電荷通過包圍點(diǎn)電荷q在內(nèi)的任意閉在內(nèi)的任意閉 合曲面的電通量均為合曲面的電通量均為 ; 0 q E S r Sd （下一頁）（下一頁） 由由電場線的連續(xù)性電場線的連續(xù)性可知，可知， 一根電場線穿入必穿出，產(chǎn)生一根電場線穿入必穿出，產(chǎn)生 的電通量恰好抵消。的電通量恰好抵消。 所以當(dāng)所以當(dāng) 閉合曲面內(nèi)無電荷時，電通量閉合曲面內(nèi)無電荷時，電通量 必為零。必為零。 3 .閉合曲面外的點(diǎn)電荷對閉合曲面閉合曲面外的點(diǎn)電荷對閉合曲面 電通量的貢獻(xiàn)等于零。電

16、通量的貢獻(xiàn)等于零。 4. 多個點(diǎn)電荷的電通量等于它們多個點(diǎn)電荷的電通量等于它們 單獨(dú)存在時的電通量的代數(shù)和。單獨(dú)存在時的電通量的代數(shù)和。 E q dS dS eneee 21i q 2 q 1 q （下一頁）（下一頁） E 1) 高斯定理中的場強(qiáng)高斯定理中的場強(qiáng) 是由是由全部電荷全部電荷產(chǎn)生的產(chǎn)生的; 2) 閉合曲面的閉合曲面的電通量只決定于它所包含的電通量只決定于它所包含的 電荷電荷。 ） 內(nèi) （閉合曲面內(nèi)） qqSdE i S e ( 1 0 5. 靜電場中任意閉合曲面靜電場中任意閉合曲面 =的電通量的電通量, 等于該閉曲等于該閉曲 =面內(nèi)包圍的電荷的代數(shù)面內(nèi)包圍的電荷的代數(shù) =和除以和除

17、以 ; 與閉合曲與閉合曲 =面外的電荷無關(guān)面外的電荷無關(guān). 0 out q2 i q 2 q 1 q out q 1 out q3 內(nèi) q 外 q 兩兩 點(diǎn)點(diǎn) 說說 明明 （下一頁）（下一頁） 附附 對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律 =等價。等價。 高斯定理的用途：高斯定理的用途： 當(dāng)電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定理求當(dāng)電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定理求 出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比其他方法簡便。出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比其他方法簡便。 當(dāng)已知場強(qiáng)分布時，可用高斯定理求出任一區(qū)域當(dāng)已知場強(qiáng)分布時，可用高斯定理求出任一區(qū)域 的電荷、電位分

18、布。的電荷、電位分布。 對于運(yùn)動電荷的電場，庫侖定律不再正確，對于運(yùn)動電荷的電場，庫侖定律不再正確， =而高斯定理仍然有效。而高斯定理仍然有效。 （下一頁）（下一頁） 四、高斯定理的應(yīng)用四、高斯定理的應(yīng)用計算電場強(qiáng)度分布計算電場強(qiáng)度分布 曲曲面面內(nèi)內(nèi) i qEdSSdE 0 1 cos 曲曲面面內(nèi)內(nèi) i qdSE 0 1 cos 注意：這樣注意：這樣 求得的是高求得的是高 斯面處的場斯面處的場 強(qiáng)！強(qiáng)！ 當(dāng)當(dāng)場源電荷分布具有某種對稱性時場源電荷分布具有某種對稱性時，選取一個，選取一個 適當(dāng)?shù)那孢m當(dāng)?shù)那娓咚姑娓咚姑?，使該曲面上的場?qiáng)大小處處，使該曲面上的場強(qiáng)大小處處 相等，則面積分相等，則面

19、積分 中的中的E為常量，故有：為常量，故有： S Edscos 0 / cos 1 曲曲面面內(nèi)內(nèi) i q dS E （下一頁）（下一頁） 例一、例一、 用高斯定理求點(diǎn)電荷的場強(qiáng)分布用高斯定理求點(diǎn)電荷的場強(qiáng)分布 0 2 4cos q rEdSEdSESdE SSS e 2 0 4r q E 再考慮到場強(qiáng)的方向，則有：再考慮到場強(qiáng)的方向，則有： 點(diǎn)電荷的場具有以點(diǎn)電荷為中心的球?qū)ΨQ性，即點(diǎn)電荷的場具有以點(diǎn)電荷為中心的球?qū)ΨQ性，即 在以點(diǎn)電荷為球心的任意球面上，場強(qiáng)的大小相等，在以點(diǎn)電荷為球心的任意球面上，場強(qiáng)的大小相等， 方向應(yīng)沿半徑方向指向外。故選以點(diǎn)電荷為球心，方向應(yīng)沿半徑方向指向外。故選以點(diǎn)

20、電荷為球心， 任任 一長度一長度 r 為半徑的球面為高斯面。則有：為半徑的球面為高斯面。則有： 0 2 0 4 r r q E （下一頁）（下一頁） 例二、試求均勻帶電的球面內(nèi)外的場強(qiáng)分布。例二、試求均勻帶電的球面內(nèi)外的場強(qiáng)分布。 設(shè)球面半徑為設(shè)球面半徑為 R，所帶總電量為所帶總電量為 Q。 解：解： 它具有與場源同心的球面對稱性。故選同心球面為高它具有與場源同心的球面對稱性。故選同心球面為高 斯面。場強(qiáng)的方向沿徑向，且在球面上場強(qiáng)處處相等。斯面。場強(qiáng)的方向沿徑向，且在球面上場強(qiáng)處處相等。 當(dāng)當(dāng) 時高斯面時高斯面1內(nèi)電荷為內(nèi)電荷為Q，所以所以 Rr ， 0 2 4 Q rEdSESdE SS

21、e Rrr r Q E 4 2 0 RrE0 當(dāng)當(dāng) 時高斯面時高斯面2內(nèi)電荷為內(nèi)電荷為 0 Rr E Q 均勻帶電球殼均勻帶電球殼 R 場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。 首先考慮球面外任意點(diǎn)首先考慮球面外任意點(diǎn)P 的場強(qiáng)。的場強(qiáng)。 高斯面高斯面1 r p 再考慮球面內(nèi)任意點(diǎn)再考慮球面內(nèi)任意點(diǎn)P 的場強(qiáng)。的場強(qiáng)。 高斯面高斯面2 p （下一頁）（下一頁） 結(jié)果表明：結(jié)果表明： 均勻帶電球殼外的場強(qiáng)分均勻帶電球殼外的場強(qiáng)分 布正象球面上的電荷都集布正象球面上的電荷都集 中在球心時所形成的點(diǎn)電中在球心時所形成的點(diǎn)電 荷在該區(qū)的場強(qiáng)分布一樣。荷在該區(qū)的場強(qiáng)分布一

22、樣。 在球面內(nèi)場強(qiáng)均為零?？稍谇蛎鎯?nèi)場強(qiáng)均為零?？?用右面的圖表示。用右面的圖表示。 E Q R r 0 ; 4 2 0 Rrr r Q E當(dāng) ; 0RrE當(dāng) 均勻帶電的球面均勻帶電的球面 內(nèi)外的場強(qiáng)分布內(nèi)外的場強(qiáng)分布 （下一頁）（下一頁） 例三、求均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球體例三、求均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球體 = 半徑為半徑為R，所帶總帶電為所帶總帶電為Q r R Qr E 4 3 0 inside S s QrEdSESdE 0 2 1 4cos r r Q E 4 2 0 解：解：場源分布的具有球面對稱性。其產(chǎn)生的電場分布場源分布的具有球面對稱性。其產(chǎn)生的電場分布 =

23、也同樣具有球面對稱性。故選取與帶電球體同心也同樣具有球面對稱性。故選取與帶電球體同心 = 的球面為高斯面。的球面為高斯面。 333 3 / 3 4 )3/4( :RQrr R Q QRr in 當(dāng) 2 0 4rQE inside QQRr in :當(dāng) （下一頁）（下一頁） 該電場分布具有柱面對稱性。即該電場分布具有柱面對稱性。即 在以帶電直線為軸線的任一柱面在以帶電直線為軸線的任一柱面 上，場強(qiáng)的大小相等，方向均沿上，場強(qiáng)的大小相等，方向均沿 半徑方向。半徑方向。 以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個通過以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個通過P點(diǎn)，點(diǎn)， 高為高為 的圓筒形封閉面為高斯面的圓筒形封閉面為高斯面 S，

24、l 例四、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布。例四、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布。 = 設(shè)電荷線密度為設(shè)電荷線密度為 l top S side S bottom S r P 通過通過S面的電通量為圓柱側(cè)面面的電通量為圓柱側(cè)面 和上下底面三部分的通量。和上下底面三部分的通量。 （下一頁）（下一頁） 因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行，因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行， 其電通量為零。即式中后兩項為零。其電通量為零。即式中后兩項為零。 inside i lq 此閉合面包含的電荷總量此閉合面包含的電荷總量 lrlEdSESdE face side face side e 0 1 2 S face side

25、e SdESdE bottomtop SdESdE r E 0 2 其方向沿場點(diǎn)到帶電直線的垂線其方向沿場點(diǎn)到帶電直線的垂線 方向，由電荷的正負(fù)決定。方向，由電荷的正負(fù)決定。 E l S e O r p （下一頁）（下一頁） 由于電荷分布是平面由于電荷分布是平面 對稱的，所以對稱的，所以場強(qiáng)場強(qiáng)分布也分布也 是平面對稱的，即離平面是平面對稱的，即離平面 等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等、等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等、 方向都垂直于帶電平面。方向都垂直于帶電平面。 電場線如圖所示。電場線如圖所示。 例五、例五、求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布。設(shè)面電荷求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布。設(shè)面電荷 密度為密度為 e 解解: 對稱性分析對稱性分析 ） 內(nèi) （閉合曲面內(nèi)） qqSdE i S e ( 1 0 （下一頁）（下一頁） 選一其軸垂直于帶電平面的選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式圓筒式 封閉面作為高斯面封閉面作為高斯面 S，帶電平面平帶電平面平 分此圓筒，場點(diǎn)分此圓筒，場點(diǎn) p位于它的一個底位于它的一個底 面上。由于圓筒側(cè)面上各點(diǎn)的場強(qiáng)面上。由于圓筒側(cè)面上各點(diǎn)的場強(qiáng) 方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以 電通量為零；又兩個