點(diǎn),線,面位置關(guān)系

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義2.了解四個(gè)公理和等角定理，并能以此作為推理的依據(jù)3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線、平面位置關(guān)系是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，既有客觀題，又有主觀題其中客觀題主要是空間線、面位置關(guān)系的判定如2012年重慶T9，陜西T5等主觀題中往往作為其中一問來考查，如2012年陜西T18，安徽T18(1)等2.公理和定理一般不單獨(dú)考查，而是作為解題過程中的推理依據(jù).歸納知識(shí)整合1四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)作用：可用來證明點(diǎn)、直線在平面內(nèi)公理2：

2、過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面作用：可用來確定一個(gè)平面；證明點(diǎn)線共面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線作用：可用來確定兩個(gè)平面的交線；判斷或證明多點(diǎn)共線；判斷或證明多線共點(diǎn)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)探究1.平面幾何中成立的有關(guān)結(jié)論在空間立體幾何中是否一定成立？提示：不一定例如，“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直”在平面幾何中成立，但在立體幾何中就不成立而公理4的傳遞性在平面幾何和立體幾何中均成立2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面

3、直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.(3)定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)探究2.不相交的兩條直線是異面直線嗎？提示：不一定，不相交的兩條直線可能平行，也可能異面3不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定，不在同一平面內(nèi)的直線可能異面，也可能平行3空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)直線與平面相交aA1個(gè)平行a0個(gè) 在平面內(nèi)a無數(shù)個(gè)平面與平面平行0個(gè)相交l無數(shù)個(gè)自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)下列命題：經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直

4、線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選C對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線，故錯(cuò)誤；正確；對(duì)于，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標(biāo)系，能確定三個(gè)平面，故正確；對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)共線，則兩平面也可能相交，故錯(cuò)誤2(教材習(xí)題改編)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()A異面 B平行C相交 D以上都有可能解析：選D由直線、平面的位置關(guān)系分析可知兩條直線相交、平行或異面都有可能3如果a，b，laA，lbB，那么下列關(guān)系成立的是()Al BlClA DlB解析：選Aa，laA，A，Al，同理B，Bl，l.4若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互

5、相平行，則這三個(gè)平面把空間分成_個(gè)部分解析：三個(gè)平面，兩兩相交，交線分別是a，b，c，且abc，則，把空間分成7部分答案：75如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為_解析：連接B1D1，易證B1D1EF，從而D1B1C即為異面直線B1C與EF所成的角，連接D1C，則B1D1C為正三角形，故D1B1C60.答案：60平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1以下四個(gè)命題：不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾

6、相接的四條線段必共面其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3自主解答正確，可以用反證法證明；不正確，從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線則結(jié)論不正確；不正確，共面不具有傳遞性；不正確，空間四邊形的四條邊不在一個(gè)平面內(nèi)答案B由所給元素確定平面的方法判斷由所給元素(點(diǎn)或直線)確定平面時(shí)，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個(gè)平面1下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是_解析：中可證四邊形PQRS為梯形；中，如圖所示取A1A與BC的中點(diǎn)為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為

7、正六邊形中可證四邊形PQRS為平行四邊形；中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面答案：例2如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？自主解答(1)證明：由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)BE綊AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又

8、DFH，C、D、F、E四共點(diǎn)面本例條件不變，如何證明“FE、AB、DC共點(diǎn)”？證明：如圖，取AD中點(diǎn)為M，連接GM，EG，CM.由條件知，EG綊AB，CM綊AB，所以EG綊CM，所以四邊形EGMC為平行四邊形，所以ECGM.又GM綊FD，EC綊FD，故E、C、D、F四點(diǎn)共面.延長(zhǎng)FE、DC，設(shè)相交于點(diǎn)N，因?yàn)镋F平面ABEF，所以N平面ABEF，同理可證，N平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCDAB，所以NAB.即FE、AB、DC三線共點(diǎn).證明共面問題的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面

9、，最后證明平面、重合2如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)證明：(1)連接EF，CD1，A1B.E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四點(diǎn)共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE、D1F、DA三線共點(diǎn).空間兩條直線的位置關(guān)系例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，C

10、D1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平行自主解答由于MN與平面DCC1D1相交于N點(diǎn)，D1C1平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點(diǎn)，所以MN與C1D1是異面直線又因?yàn)镃1D1A1B1，且A1B1與MN沒有公共點(diǎn)，所以A1B1與MN是異面直線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤答案D異面直線的判定方法(1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難)；(2)定理法：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)(3)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從

11、而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面3已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為，則B、C、A、D.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾所以BC與AD是異面直線(2)如圖，連接AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG、FH是EFGH的對(duì)角線，所以EG與HF相交.異面直線所成的角例4(2013銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1

12、C所成角的大小；(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小自主解答(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1與B1C所成角為60.(2)如圖，連接BD，由AA1CC1，且AA1CC1可知A1ACC1是平行四邊形，所以ACA1C1.即AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角因?yàn)镋F是ABD的中位線，所以EFBD.又因?yàn)锳CBD，所以EFAC，即所求角為90.求異面直線所成角的步驟平移法求異面直線所成角的

13、一般步驟為：4已知三棱錐ABCD中，ABCD，且直線AB與CD成60角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角解：如圖，設(shè)E為AC的中點(diǎn)，連接EM、EN.EM綊AB，EMN即為異面直線AB與MN所成的角(或補(bǔ)角)在MEN中，ME綊AB，EN綊CD.MEN為異面直線AB與CD所成的角(或補(bǔ)角)，且MEN為等腰三角形當(dāng)MEN60時(shí)，EMN60，即異面直線AB和MN所成的角為60.當(dāng)MEN120時(shí)，EMN30，即異面直線AB和MN所成的角為30.直線AB和MN所成的角為60或30.1個(gè)疑難點(diǎn)對(duì)異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面

14、直線既不平行，也不相交(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線(3)異面直線的公垂線有且僅有一條2種方法求異面直線所成角的方法(1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法(2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角3個(gè)“共”問題“共面”、“共線”和“共點(diǎn)”問題(1)證明共面問題一般有兩種途徑：首先由條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(或點(diǎn))在此平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合(2)證明共線問題一般有兩種途徑：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他點(diǎn)都在這條直線上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特

15、定直線上(3)證明共點(diǎn)問題常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn). 易誤警示求解線線角中忽視隱含條件而致錯(cuò)典例(2013臨沂模擬)過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A1條B2條C3條D4條解析如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連接BD1，則BD1與棱BC、BA、BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，體對(duì)角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，體對(duì)角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所

16、成的角都相等，過A點(diǎn)分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條答案D1易忽視異面直線所成的角，且沒有充分認(rèn)識(shí)正方體中的平行關(guān)系而錯(cuò)選A.2求解空間直線所成的角時(shí)，還常犯以下錯(cuò)誤：(1)缺乏空間想象力，感覺無從下手；(2)忽視異面直線所成角的范圍如圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，ADBC2，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF，則異面直線AD和BC所成的角為_解析：如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EGBC且EGBC1，F(xiàn)GAD，且FGAD1.即EGF為所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.答案：90一、選擇題(本大

17、題共6小題，每小題5分，共30分)1給出下列四個(gè)命題：沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行；互相垂直的兩條直線是相交直線；既不平行也不相交的直線是異面直線；不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選B對(duì)于，沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面，故錯(cuò)；對(duì)于，異面直線垂直但不相交，故錯(cuò)；正確2平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為()A3 B4C5 D6解析：選C由條件，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的條件的棱共有5條3若直線l不平行于

18、平面，且l，則()A內(nèi)的所有直線與l異面B內(nèi)不存在與l平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與l平行D內(nèi)的直線與l都相交解析：選B如圖，設(shè)lA，內(nèi)直線若經(jīng)過A點(diǎn)，則與直線l相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l異面4(2013福州模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選D連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，設(shè)AB1，則AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.5(2013聊城模擬)對(duì)于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使

19、m與l()A平行 B相交C垂直 D互為異面直線解析：選C不論l，l還是l與相交，內(nèi)都有直線m，使得ml.6(2012重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則a的取值范圍是()A(0, ) B(0, )C(1, ) D(1, )解析：選A如圖所示，AB，CDa，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則EDAB，ECAB，則ED，同理EC.由構(gòu)成三角形的條件知0aEDEC，所以0a.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.以上四個(gè)命

20、題中，正確命題的序號(hào)是_解析：將展開圖還原為正方體，如圖所示，則ABEF，故正確；ABCM，故錯(cuò)誤；EF與MN顯然異面，故正確；MN與CD異面，故錯(cuò)誤答案：8(2012大綱全國(guó)卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為_解析：如圖，連接DF，因?yàn)镈F與AE平行，所以DFD1即為異面直線AE與D1F所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則FD1FD，由余弦定理得cos DFD1.答案：9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于_解析：如圖：延長(zhǎng)CA到D，使得ADAC，連

21、接A1D，BD，則四形邊形ADA1C1為平行四邊形，DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又三角形A1DB為等邊三角形，DA1B60.答案：60三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線解：如圖所示PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線11如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中點(diǎn)(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值解：(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為，A，B，E，平

22、面即為平面ABE，P平面ABE，這與P平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EFPB，所以AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角，BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF；cosAEF，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為.12(2012上海高考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)已知AB2，AD2，PA2.求：(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大小解：(1)因?yàn)镻A底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，從而CDPD.因?yàn)镻D2，CD2，所以三角形PCD的面積為222.(2)取PB的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EFBC，從而AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角在AEF中，由EF、AF、AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，異面直線BC與AE所成的角的大小是.1平面、的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則、垂直、至少有三個(gè)公共點(diǎn)、至少有一條公共直線、至多有一條公共直線以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選C由條件知，平面與重合或相交，重合時(shí)，公共直