231拋物線及其示標準方程

1、2.3.1拋物線及拋物線及 其標準方程（其標準方程（1） 高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修1-1 第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 噴泉噴泉 復(fù)習回顧：復(fù)習回顧： 我們知道我們知道,橢圓、雙曲線有共同的幾何特征：橢圓、雙曲線有共同的幾何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面內(nèi)與一個在平面內(nèi)與一個定點定點的距離和一條的距離和一條 定直線定直線的距離的比是的距離的比是常數(shù)常數(shù)e的點的軌跡的點的軌跡. . M F l 0e 1 (2) 當當e1時，是雙曲線時，是雙曲線;(1)當當0e1時時,是橢圓是橢圓; (其中定點不在定直線上其中定點不在定直線上) l F M e1 那么那么,當當時時，

2、它又是什么曲線它又是什么曲線 ？ F M l e=1 演示演示 F 如圖，點如圖，點 是定點，是定點， 是不經(jīng)過點是不經(jīng)過點 的定直線。的定直線。 是是 上上 任意一點，過點任意一點，過點 作作 ，線段，線段FH的垂直平分線的垂直平分線m 交交MH于點于點M，拖動點，拖動點H，觀察點，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點 M滿足的幾何條件嗎？滿足的幾何條件嗎？ MHL LL HF H 提出問題：提出問題： L M F H 幾何畫板觀察幾何畫板觀察 m C 問題探究：問題探究： 當當e=1時，即時，即|MF|=|MH| ，點，點M的軌跡是什么？的軌跡是什么？ 探究？探究？ 可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)

3、現(xiàn), ,點點M隨著隨著H H運動的過程中運動的過程中, ,始終有始終有 | |MF|=|=|MH|,|,即點即點M與點與點F和定直線和定直線l的距離相等的距離相等. . 點點M生成的軌跡是曲線生成的軌跡是曲線C的形狀的形狀.( (如圖如圖) ) M F l e=1 H 我們把這樣的一條曲線叫做我們把這樣的一條曲線叫做拋物線拋物線. . 拋物線演示拋物線演示 C M F l e=1 H 在平面內(nèi)在平面內(nèi),與一個定點與一個定點F 和一條定直線和一條定直線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點F) 的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋拋 物線物線. 點點F叫拋物線的叫拋物線的焦點焦點, 直線直線l 叫拋物

4、線的叫拋物線的準線準線 d 為為 M 到到 l 的距離的距離 準線準線 焦焦 點點 d 一、拋物線的定義一、拋物線的定義: 解法一：以解法一：以 為為 軸，過點軸，過點 垂直于垂直于 的直線為的直線為 軸建軸建 立直角坐標系（如下圖所示）立直角坐標系（如下圖所示）,則定點則定點 設(shè)動點設(shè)動點 點點 ，由拋物線定義得：，由拋物線定義得： LyFLx ( , )F p o ( , )M x y xypx 22 )( 化簡得化簡得： 22 2(0)pxp yp . M(X,y) . x y OF l 解法二：以定點解法二：以定點 為原點，過點為原點，過點 垂直于垂直于 的直線為的直線為 軸建軸建 立

5、直角坐標系（如下圖所示），則定點立直角坐標系（如下圖所示），則定點 ， 的方程的方程 為為 FFLx (0,0)FL xp 設(shè)動點 ，由拋物線定義得 ( , )M x y 22 yx xp 化簡得化簡得： 22 2(0)pxp yp l 解法三：以過解法三：以過F且垂直于且垂直于 l 的直的直 線為線為x軸軸, ,垂足為垂足為K. .以以F, ,K的中點的中點 O O為坐標原點建立直角坐標系為坐標原點建立直角坐標系xoy. 22 ()| 22 pp xyx 兩邊平方兩邊平方, ,整理得整理得 x K y o M(x,y) F 依題意得依題意得 2 2(0)ypx p 這就是所求的軌跡方程這就是

6、所求的軌跡方程. . 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做拋物線的叫做拋物線的標準方標準方 程程.其中其中 p 為正常數(shù)為正常數(shù),表示焦點在表示焦點在 x 軸正半軸上軸正半軸上. 且且 p的幾何意義是的幾何意義是: : 焦點坐標是焦點坐標是(,0) 2 p 2 p x 準線方程為準線方程為: : 想一想想一想: : 坐標系的建立還坐標系的建立還有沒有其它方案有沒有其它方案也也 會使拋物線方程的形式簡單會使拋物線方程的形式簡單 ？ y x o 方案方案(1)(1) y x o 方案方案(2)(2) y x o 方案方案(3)(3) y x o 方案方案(4)(4) 焦點到準線的距離焦

7、點到準線的距離 準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形 x xF FO y y l x xF FO y y l x x F F O y y l x x F O y y l )0 , 2 p ( 2 p x )0 , 2 p ( 2 p x ) 2 p 0( ， 2 p y ) 2 p 0(， 2 p y P的意義的意義:拋物拋物 線的焦點到準線的焦點到準 線的距離線的距離 方程的特點方程的特點: (1)左邊左邊是二次是二次 式式, (2)右邊右邊是一次是一次 式式;決定了決定了焦點焦點 的位置的位置. pxy2 2 0 p pxy2 2 0 p pyx2 2 0 p pyx

8、2 2 0 p 數(shù)形共同點數(shù)形共同點: (1)原點在拋物線上原點在拋物線上; (2)對稱軸為坐標軸對稱軸為坐標軸; (3)焦點到準線的距離均為焦點到準線的距離均為P； (4) 焦點與準線和坐標軸的交點關(guān)于原點對稱。焦點與準線和坐標軸的交點關(guān)于原點對稱。 口訣口訣: 對稱軸要看一次項對稱軸要看一次項,符號確定開口方向符號確定開口方向; （看（看x的一次項系數(shù)的一次項系數(shù),正時向右正時向右,負向左負向左; 看看y的一次項系數(shù)的一次項系數(shù),正時向上正時向上,負向下負向下.） 想一想 求拋物線的標準方程、焦點坐標、求拋物線的標準方程、焦點坐標、 準線方程時，關(guān)鍵是求什么？準線方程時，關(guān)鍵是求什么？ 求

9、求P！ 開口方向開口方向 思考：思考：拋物線的方程為拋物線的方程為x=ay2（a0)求求 它的焦點坐標和準線方程？它的焦點坐標和準線方程？ 解：拋物線標準方程為：解：拋物線標準方程為：y2= x 1 a 2p= 1 a 4a 1 焦點坐標是（ ，0），準線方程是： x= 4a 1 當當a0時時, , 拋物線的開口向右拋物線的開口向右 p 2 = 1 4a 當當a0時與當時與當a0時與當時與當a0），）， 或或 x2 = 2py（p0），）， 將（將（3，2）點的坐標分別代入）點的坐標分別代入 上述方程可得拋物線的標準方上述方程可得拋物線的標準方 程為程為 題型二：求拋物線方程的方法：題型二：求

10、拋物線方程的方法：-待定系數(shù)法待定系數(shù)法 課堂練習：課堂練習： 1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程： （1）焦點是）焦點是F（3，0）；）； （2）準線方程）準線方程 是是x = ； 1 4 （3）焦點到準線的距離是）焦點到準線的距離是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y 2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0 1 2 焦點坐標焦點坐標準線方程準線方程

11、(1) (2) (3) (4) （5，0）x=- -5 （0，） 1 8 y= - 1 8 8 x= 5 （- - ，0） 5 8 （0，- -2）y=2 例例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波 束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線， 經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天線的徑口（直徑）經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天線的徑口（直徑） 為為4.8m，深度為，深度為0.5m。建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線。建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線 的標準方程和焦點坐標。的標準方程和焦點坐標。 y x B F A

12、o . 題型二：求拋物線方程的方法：題型二：求拋物線方程的方法：-待定系數(shù)法待定系數(shù)法 解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直 角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與 原點重合。原點重合。 2 20.5 2.4 p 2 2(0)px p y 設(shè)拋物線的標準方程是設(shè)拋物線的標準方程是 ，由已知條件，由已知條件 (0.5,2.4)可得，點可得，點A的坐標是的坐標是 ，代入方程，得，代入方程，得 5.76p 即即 (2.88,0) 2 11.52x y 所以，所求拋物線的標準方程是所以，所求拋

13、物線的標準方程是 ， 焦點的坐標是焦點的坐標是 y x B F A o . 例例3點點M到點到點F(4，0)的距離比它到直線的距離比它到直線l: x+5=0 的距離小的距離小 1， 求點求點M的軌跡方程。的軌跡方程。 |MF|+1=|x+5| l y . . o x M F 解（直接法）：解（直接法）：設(shè)設(shè) M(x，y)，則，則由已知，得由已知，得 51)4( 22 xyx即 化簡得 xy16 2 .的軌跡方程即為點 M 另解另解(定義法定義法)： 由已知，得點由已知，得點M到點到點F(4，0)的距離等于它到直線的距離等于它到直線 l: x+4=0 的距離的距離. 由拋物線定義知：由拋物線定義

14、知： 點點M的軌跡是以的軌跡是以F(4，0)為焦點的拋物線為焦點的拋物線. ，4 2 p .8 p .16 2 xyM的軌跡方程為故點 題型二：求拋物線方程的方法：題型二：求拋物線方程的方法：-軌跡法，定義軌跡法，定義 法法 練習：練習：若動圓若動圓M與圓與圓C：(x2)2y21外切，又與直外切，又與直 線線x10相切，則動圓圓心的軌跡方程是相切，則動圓圓心的軌跡方程是() (A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x 解解:設(shè)動圓圓心為設(shè)動圓圓心為M(x，y),半徑為半徑為R, 圓圓C:圓心為圓心為C(2,0),半徑半徑r1. 圓圓M與圓與圓C外切，外切，|MC|R1. 又

15、動圓又動圓M與已知直線與已知直線x10相切，相切， 圓心圓心M到直線到直線x10的距離的距離dR. 即動點即動點M到定點到定點C(2,0)的距離等于它到定直線的距離等于它到定直線x20的距離的距離 |MC|d1. 由拋物線的定義可知，由拋物線的定義可知， 點點M的軌跡是以的軌跡是以C(2,0)為焦點，為焦點，x20為準線的拋物線，為準線的拋物線， 且且p/22，p4， 故其方程為故其方程為y28x. A 3) 4 (1 m 2 0:8myx時,拋物線的方程是 0 24 pm mpm當時，2 =- , 8m 0, 24 pm mpm解 :當時 由 2得 : 4 m x 準線方程是 1x準線與直線

16、的距離為 練習：練習： 2 1ymxx設(shè)拋物線的準線與直線的距離為,求拋物線方程. 點撥：求拋物線的標準方程關(guān)鍵是知道標準方點撥：求拋物線的標準方程關(guān)鍵是知道標準方程的程的 類型和的值類型和的值 2 016myx時，拋物線的標準方程為： : 4 m x 準線方程是 1x準線與直線的距離為 13 4 m 16m M是拋物線是拋物線y2 = 2px（P0）上一點，）上一點， 若點若點M 的橫坐標為的橫坐標為X0，則點，則點M到焦點的距離到焦點的距離 是是. X0 + 2 p O y x F M 思考題思考題 : 0 2 p M Fx 焦 半 徑 公 式 : 拋物線拋物線 上有一點上有一點M,其橫坐

17、標為其橫坐標為-9, 它到焦點的距離為它到焦點的距離為10,求拋物線方程和求拋物線方程和M點的坐標點的坐標. 應(yīng)用提高應(yīng)用提高 ) 0(2 2 ppxy :,0), 22 pp lx 解 拋物線焦點F(-準線 ： M l MFd ( 9)10 2 p 2p 2 4yx 拋物線方程為： 2 ( 9, )46Myyxy 代入：，得 ( 9, 6)M 1 1、已知拋物線的頂點在原點，焦點在已知拋物線的頂點在原點，焦點在x x軸上，拋軸上，拋 物線上一點物線上一點M M(-3(-3，m)m)到焦點的距離為到焦點的距離為5 5，求，求m m的值、的值、 拋物線方程和準線方程拋物線方程和準線方程. . 解

18、：拋物線頂點在原點，焦點在解：拋物線頂點在原點，焦點在x x軸上，過軸上，過M(-3,m), M(-3,m), (,0) 2 p F 焦點 22 (3)()5 2 p MFm 拋物線方程可設(shè)為：拋物線方程可設(shè)為：y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0) 2 2 ( 3)mp 4 2 6 p m 拋物線方程為：拋物線方程為：y y2 2=-8x=-8x， 2 6m 準線方程為：準線方程為：x=2x=2 2 2、求頂點在原點求頂點在原點, ,焦點在焦點在x x軸上的拋物線且截直線軸上的拋物線且截直線 2x-y+1=02x-y+1=0所得的弦長為所得的弦長為 的拋物線的方程的拋物線的方程.

19、. 15 解：設(shè)所求的拋物線方程為解：設(shè)所求的拋物線方程為y y2 2=mx=mx 把把y=2x+1y=2x+1代入代入y y2 2=mx=mx化簡得：化簡得： 4x2+(4-m)x+1=0 12 4 4 m xx 12 1 4 xx 22 1212 (1)()4lkxxx x 2 (4) 51 16 m 15 124mm 或 所求的拋物線方程為所求的拋物線方程為y y2 2=12x=12x或或y y2 2=-4x=-4x 22 1612yxxy 或 5 (,0) 8 2 1 5.1 4 拋物線的焦點坐標為_.yxx F （2000.全國）過拋物線 的焦點 作一 條直線交拋物線于 ， 兩點，若

20、線段 與 的長分別 為 ，則 等于（ ） 2 (0)ax a y PF FQ Q P ,p q 11 pq A. B. C. D. 2a 1 2a 4a 4 a 分析：拋物線 的標準方程為 ，其 焦點為 . 2 (0)ax a y 21 y a x 1 (0,) 4 F a 取特殊情況，即直線 平行與 軸， 則 ，如圖。 故 PQx pq 11 , 44 PFPMp aa 11112 4a pqppp M N Q F P y x O C +1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ). 2 5 5 1 2 2 2 2 b y a x 2 4 5 (2009山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與 A.

21、 B. 5 C. D. 拋物線y=x D l 2 (0)yax a y 2 4yx 2 8yx 2 4yx 2 8yx (2009山東卷文)設(shè)斜率為2的直線 過拋物線 的焦點F,且和 軸交于點A,若OAF(O為坐標原點) A. B. C. D. 的面積為4,則拋物線方程為( ). B 2 2、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程: : (1)(1)焦點坐標是焦點坐標是(0,4);(0,4); (2)(2)準線方程是準線方程是y=-4;y=-4; (3)(3)經(jīng)過點經(jīng)過點A(-3,2);A(-3,2); (4)(4)焦點在直線焦點在直線4x-3y-12=04x-3y-12=0上上; ; (5)(5)焦點為橢圓焦點為橢圓x x2 2+4y+4y2 2=4=4的的頂點頂點. . 1 1、已知拋物線的標準方程是、已知拋物線的標準方程是(1)y(1)y2 2=-6x,(2)x=-6x,(2)x2 2=6y,=6y, 求它的焦點坐標和準線方程求它的焦點坐標和準線方程. . 3 3、拋物線拋物線x x2 2=4y=4y上一點上一點M M的縱的縱 坐標為坐標為4,4,