復(fù)變函數(shù)第八章-1

1、第八章 傅立葉變換 8.1 傅立葉變換的概念 8.2 單位脈沖函數(shù)( 函數(shù) ) 8.3 傅立葉變換的性質(zhì) 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 積分變換積分變換：通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函 數(shù)的變換，一般是含有參變量數(shù)的變換，一般是含有參變量的積分的積分 b a dttKtfF),()()( l 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：把某函數(shù)類：把某函數(shù)類A中的函數(shù)中的函數(shù)f(t)通過上述積分運(yùn)算變成通過上述積分運(yùn)算變成 另一函數(shù)類另一函數(shù)類B中的函數(shù)中的函數(shù)F() . lK(t,)是一個(gè)確定的二元函數(shù)，稱為是一個(gè)確定的二元函數(shù)，稱為積分變換的核積分變換的核. 當(dāng)選取當(dāng)選取 不同的積分域和變換核

2、時(shí)，就得到不同名稱的積分變換不同的積分域和變換核時(shí)，就得到不同名稱的積分變換. lf(t)稱為稱為象源函數(shù)象源函數(shù); lF( )稱為的稱為的象函數(shù)象函數(shù). l傅立葉變換傅立葉變換 l拉普拉斯變換拉普拉斯變換 u最常用的兩類積分變換最常用的兩類積分變換 8.1 8.1 傅立葉變換的概念傅立葉變換的概念 8.1.1 8.1.1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 定理定理8.1 設(shè)設(shè) 是以是以T為周期的實(shí)值函數(shù)，且在為周期的實(shí)值函數(shù)，且在 上滿足狄里克雷條件上滿足狄里克雷條件(簡稱狄氏條件簡稱狄氏條件)，即，即)(tfT 上滿足上滿足: (1) 連續(xù)或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)連續(xù)或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn); (

3、2) 只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn). 則在則在)(tfT的連續(xù)點(diǎn)處有的連續(xù)點(diǎn)處有 1 00 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf (8.1) 定理定理8.1 在在 )(tfT T T , 2 2 T T , 2 2 其中其中 傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式三角形式 T 2 0 2 2 0 cos)( 2 T TTn tdtntf T a 2 2 0 sin)( 2 T TTn tdtntf T b (n=0，1，2，) (n=0，1，2，) 在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)t0處，處，(8.1) 式左端為式左端為 )0()0( 2 1 00 tftf TT l根據(jù)歐拉公式可

4、知根據(jù)歐拉公式可知(其中其中 )：1j )( 2 1 cos 00 0 tjntjn eetn )( 2 sin 00 0 tjntjn ee j tn 代入代入(8.1)式得式得 1 0 00 222 )( n tjn nn tjn nn T e jba e jbaa tf 令令 ), 2, 1( 2 , 2 , 2 0 0 n jba c jba c a c nn n nn n 可得可得 n tjn nT ectf 0 )( (8.2) (8.3), 2, 1, 0()( 1 2 2 0 ndtetf T c T T tjn Tn 這里系數(shù)這里系數(shù) 既可直接由既可直接由(8.3)式以及函數(shù)

5、族式以及函數(shù)族 的的 正交性正交性得到，也可根據(jù)得到，也可根據(jù) 與與 的關(guān)系，以及的關(guān)系，以及 的的 計(jì)算公式得到，且計(jì)算公式得到，且 具有唯一性具有唯一性. tjn e 0 n c nn ba , nn ba , n c n c 傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式指數(shù)形式 傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義 22 0 0 , 2 nnn a AAab cos, sin(1, 2,) nn nn nn ab n AA 則則(8.1)式變?yōu)槭阶優(yōu)?000 1 00 1 ( )(coscossinsin) cos() Tnnn n nn n ftAAntnt AAnt u如果如果 代表信號(hào)，則

6、上式說明，代表信號(hào)，則上式說明，一個(gè)周期為一個(gè)周期為T的信號(hào)可以分的信號(hào)可以分 解為簡諧波之和，這些諧波的角頻率分別為基頻解為簡諧波之和，這些諧波的角頻率分別為基頻 的倍數(shù)的倍數(shù)， 0 )(tfT l 反映了頻率為反映了頻率為 的諧波在的諧波在 中所占的份額，稱為中所占的份額，稱為振幅振幅; 0 n)(tfT l 則反映了頻率為則反映了頻率為 的諧波沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小，稱為的諧波沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小，稱為相位相位. n 0 n n A 令令 n 這兩個(gè)指標(biāo)完全刻畫了信號(hào)這兩個(gè)指標(biāo)完全刻畫了信號(hào) )(tfT 的性態(tài)的性態(tài). 其中：其中： 圖圖8.1 由由 nnn bac,的關(guān)系可得的關(guān)系可得(圖圖

7、8.1) 00 Ac nnn cc argarg 22 1 22 n nnnn A ccab (n=1，2，) 可見復(fù)數(shù)可見復(fù)數(shù) 的模與輻角正好反映了信號(hào)的模與輻角正好反映了信號(hào) 中頻率為中頻率為 的簡諧波的振幅與相位，因此僅由系數(shù)的簡諧波的振幅與相位，因此僅由系數(shù) 就可以完全刻畫信就可以完全刻畫信 號(hào)號(hào) 的頻率特性的頻率特性. n c)(tfT 0 n n c )(tfT n c離散頻譜離散頻譜 )(tfT n c離散振幅譜離散振幅譜 離散相位譜離散相位譜 對(duì)周期函數(shù)對(duì)周期函數(shù) arg n c 為了進(jìn)一步明確為了進(jìn)一步明確cn與頻率與頻率n 0的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常記的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常記 n cnF)(

8、 0 【例【例8.1】求以】求以T為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) )(tfT 0,20 2,02 Tt tT 的離散頻譜和它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的離散頻譜和它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式. 解解: 令令 T2 0 當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，時(shí)， 2 2 2 0 0 12 1 )( 1 )0( T T T T dt T dttf T Fc n j e n j e n j dte T dtetf T nFc jn T jnT tjn T T tjn Tn 2 0 ) 1( ) 1( 2 )( 1 )( 2 2 0 2 2 0 0 0 0 當(dāng)當(dāng)n0時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)為偶數(shù) 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)為奇數(shù) )(tfT的傅里葉級(jí)

9、數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為 n tnj T e n j tf 0 )12( ) 12( 2 1)( 振幅譜為振幅譜為 相位譜為相位譜為 ,.5, 3, 1 2 .5 , 3 , 1 2 00 )(arg 0 n n n nF ,.3, 1 2 ,.4, 20 .01 )( 0 n n n n nF 8.1.28.1.2傅氏積分與傅氏變換傅氏積分與傅氏變換 傅里葉積分公式傅里葉積分公式 任何非周期函數(shù)任何非周期函數(shù))(tf都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)都可看成是由某個(gè)周期函數(shù) )(tfT 當(dāng)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的。時(shí)轉(zhuǎn)化而來的。 即即 )()(limtftfT T 因此，在傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)表

10、達(dá)式中令因此，在傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式中令 T ，可得，可得 n tjn T T jn T T T T edef T tftf 00 2 2 )( 1 lim )(lim)( 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，所以，所以0 0 1 ( )lim( ) 2 nn jj T n f tfede 這是一個(gè)和式的極限，按照積分定義，在一定條件下，上這是一個(gè)和式的極限，按照積分定義，在一定條件下，上 式可以寫為式可以寫為 dedeftf tjj )( 2 1 )( 由此得到下面的定理由此得到下面的定理. T 將間隔將間隔 0記為記為 ，節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)n 0記為記為 n，并由，并由 0 22 T 定理定理8.

11、2(8.2(傅氏積分定理傅氏積分定理) ) 如果如果f(t)在在(- ,+ ) 上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件，且上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件，且 在在(- ,+ )上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積(即即 ) ( )f t dt ，則有，則有 dedeftf tjj )( 2 1 )( (8.4) 成立成立, 而而左端的左端的f(t)在它的間斷點(diǎn)在它的間斷點(diǎn) t 處處, 應(yīng)以應(yīng)以 )0()0( 2 1 tftf 來代替。來代替。 傅里葉積分公式傅里葉積分公式，簡稱，簡稱傅氏積分傅氏積分. . l(8.4)式是式是 的傅氏積分公式的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公的傅氏積分公式的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公 式，可將其化為三

12、角形式。式，可將其化為三角形式。 )(tf ddtf tf 0 )(cos)( 1 )( 傅氏積分公式的傅氏積分公式的三角形式三角形式)(tf 2 2傅里葉變換傅里葉變換 若函數(shù)若函數(shù) 滿足傅氏積分定理中的條件，則在滿足傅氏積分定理中的條件，則在 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn))(tf 處，便有處，便有 dedeftf tjj )( 2 1 )( (8.4) 設(shè)設(shè) dtetfF tj )()( (8.5) 則則有有 deFtf tj )( 2 1 )( (8.6) )(tf u(8.5)式式 )(tf的的傅氏變換式傅氏變換式，記為，記為)()(tfFF )(F叫做叫做 )(tf的的象函數(shù)象函數(shù)。 u (8.

13、6)式式)(F的的傅氏逆變換式傅氏逆變換式，記為，記為 )()( 1 Ftf - F )(tf叫做叫做)(F的的象原函數(shù)象原函數(shù)。 u 上面兩式中的廣義積分是柯西意義下的主值，在上面兩式中的廣義積分是柯西意義下的主值，在 的的)(tf 間斷點(diǎn)處，間斷點(diǎn)處，(8.6)式左端應(yīng)為式左端應(yīng)為 . (0)(0) 2f tf t u 與與 構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).)(tf)(F (8.6)式說明非周期函數(shù)與周期函數(shù)一樣，也是由許多不同式說明非周期函數(shù)與周期函數(shù)一樣，也是由許多不同 頻率的正頻率的正/余弦分量合成的，所不同的是，非周期函數(shù)包含了余弦分量合成的，所不同的是，非周期函數(shù)包含了 從

14、零到無窮大的所有頻率分量從零到無窮大的所有頻率分量. )(F l傅氏變換的物理含義傅氏變換的物理含義： 頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)(簡稱頻譜或者連續(xù)頻譜簡稱頻譜或者連續(xù)頻譜) 振幅譜振幅譜( )F arg 相位譜相位譜 )(F n 是是 中各頻率分量的分布密度，因此稱中各頻率分量的分布密度，因此稱)(F )(tf 【例【例8.2】求矩陣脈沖函數(shù)】求矩陣脈沖函數(shù) t t tf , 0 , 1 )( 的傅氏變換及傅氏積分表達(dá)式的傅氏變換及傅氏積分表達(dá)式. ( ( )( )( ) j tj t f tFf t edtedt F 解解: 振幅譜為振幅譜為 sin ( )2F 2(21) 0, arg(

15、) (21)(22) , nn F nn 相位譜為相位譜為 .2, 1 ,0n )0( 11 () sinsin 22 j tjj eee jj )(tf 再根據(jù)再根據(jù)(8.6)式式(注意其中斷點(diǎn)的取值注意其中斷點(diǎn)的取值)可得傅氏逆變換，即可得傅氏逆變換，即 的傅氏積分表達(dá)式為的傅氏積分表達(dá)式為 112sin ( )( ) 22 j tj t f tFeded 上式中令上式中令t =0可得重要積分公式可得重要積分公式 0 2 sin dx x x 1 1 2 0 t t t 0 2sin cos td 12sin2sin cossin 22 j tdtd 【例【例8.3】已知】已知)(tf的頻譜為的頻譜為 0 ( ) 1 F )0( 解解: 記記 , 則則 , 當(dāng)當(dāng)t =0時(shí)時(shí), 定義定義 . t t tSa sin )( )()f tSat (0)f 信號(hào)信號(hào) () a Sat (或者或者 )稱為稱為抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)，由于它具有非常特，由于它具有非常特( )Sa t 殊的頻譜形式，因而在連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散化、離散時(shí)間信號(hào)殊的頻譜形式，因而在連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散化、離散時(shí)間信號(hào) 的恢復(fù)以及信號(hào)濾波中發(fā)揮了重要的作用，其圖形如圖的恢復(fù)以及信號(hào)濾波中發(fā)揮了重要的作用，其圖形如圖8.4所示所示. 求：求：)(tf 如圖如圖8.48.4 1 1 ( ) ( )( ) 2 j t f t