排列組合競賽訓練題（含答案）

1、精誠凝聚 =_= 成就夢想 排 列 組 合 一、選擇題 1、公共汽車上有4位乘客，其中任何兩人都不在同一車站下車，汽車沿途停靠6個站，那么這4位乘客不同的下車方式共有a、15種 b、24種 c、360種 d、480種2、把10個相同的球放入三個不同的盒子中，使得每個盒子中的球數(shù)不少于2，則不同的放法有a、81種 b、15種 c、10種 d、4種3、12輛警衛(wèi)車護送三位高級領導人，這三位領導人分別坐在其中的三輛車中，要求在開行后12輛車一字排開，車距相同，車的顏色相同，每輛車內(nèi)的警衛(wèi)的工作能力是一樣的，三位領導人所坐的車不能相鄰，且不能在首尾位置。則共（ ）種安排出行的辦法a、a99a310 b

2、、a99a38 c、a38 d、c384、在正方體的8個頂點、12條棱的中點、6個面的中心及正方體的中心共27個點中，不共線的三點組的個數(shù)是a、2898 b、2877 c、2876 d、28725、有兩個同心圓，在外圓上有相異的6個點，內(nèi)圓上有相異的3個點，由這9個點所確定的直線最少可有a、15條 b、21條 c、36條 d、3條6、已知兩個實數(shù)集a=a1，a2，a60與b=b1，b2，b25，若從a到b的映射f使得b中每個元素都有原象，且f（a1）f（a2）f（a60），則這樣的映射共有a、c60 b、c2459 c、c2560 d、c2559二、填空題7、4410共有 個不同的正約數(shù)。8、

3、有7個人站成一排，其中a、b不能相鄰，c、d必須挨在一起，且c要求在a的右側(cè)，則共有站隊方法數(shù)是 。9、如圖，兩圓相交于a、b兩點，在兩圓周上另有六點c、d、e、f、g、h，其中僅e、b、g共線，共他無三點共線，這八點緊多可以確不同圓的個數(shù)是 。10、一個圓周上有5個紅點，7個白點，要求任兩個紅點不得相鄰，那么共有 種排列方法。11、平面上給定5點，這些點兩兩間的連線互不平行，又不垂直，也不重合，現(xiàn)從任一點向其余四點兩兩之間的連線作垂線，則所有這些垂線間的交點數(shù)最多是 。12、10人有相應的10個指紋檔案，每個指紋檔案上都記錄有相應人的指紋痕跡，并有檢測指示燈和檢測時的手指按鈕，10人某人把手

4、指按在鍵鈕上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色，現(xiàn)在這10人把手指按在10個指紋檔案的鍵鈕上去檢測，規(guī)定一個人只能在一個檔案上去檢測，并且兩個人不能在同一檔案上去檢測，這時指示燈全部出現(xiàn)紅色，這樣的情況共有 種。三、解答題13、中、日圍棋隊各出7名隊員，按事先安排好的次序出場進行圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方的2號隊員比賽，直到有一方隊員全部被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程，現(xiàn)在中方只動用了5名隊員，就擊敗了日方的所有隊員，問這樣的比賽過程有多少種？14、從1到n（n3，且n為整數(shù)）之間任取3個不同的整數(shù)，使得這3個數(shù)的和正好被3整數(shù)，如果這樣的

5、取法有53922種，試確定n的取值。15、集合a中有n個元素，其中有m個是特殊元素（mn），已知集合a的五元素子集共有68個，且每個子集中都含有至少一個特殊元素，此外，集合a的作地意一個三元素子集都恰好被一個五元素子集所包含。（1）求n的取值。（2）請回答：所有五元素子集中是否有至少含有4個特殊元素的集合？參考答案一、選擇題1、可把問轉(zhuǎn)化為：4個不同的元素，放到6個位置中， a46=360種方法，選c。2、問題相當于：把4個相同的球放入一個不同的盒中，有c26=15種放法，故選b。3、此題即：3個人坐10個位置，一人只能坐一個，且兩兩不得相鄰，有a38種坐法，選c。4、用間接法，容易求得共線的

6、三點組共有49個，而所有拓點組共有c327，所以不共線的三點且共有c327-49=2876（個）故選c。5、設p1、p2、p3是內(nèi)圓上三點，q1、q2，q6分別為三條直線p1p2、p2p3、p3p1與外圓的交點，此時9個點所確定的直線最少有c29 - 3（c24 - 1）=21（條），故選b。6、此題相當于：用25個從大到小的數(shù)從左至右的順序不變，去插入到a1、a2、a3、a60，這60個數(shù)的兩數(shù)空隙之間，要求最大數(shù)必在a1左側(cè)，最小數(shù)不得在a60右側(cè)，共有c2459個映射，故選b。二、填空題7、由4410=232572知：正約數(shù)中含2的指數(shù)冪有2種，含3的指數(shù)冪有3種情況，含5的指數(shù)冪有2種

7、情況，含7的指數(shù)冪有3種情況，而2、3、5、7均為質(zhì)數(shù)，故根據(jù)分步原理共有2323=36個不同的正約數(shù)。8、把c、d捆綁起來看作一個元素，元素a只能安放在從左至右的前5個位置中，故對a的位置分類：若a在左起第1位，則有a14a44a22=192（種）；若a在左起第2位，則有a13a14a33a22=144（種）；若a在左起第3位，則有a13a33+a12c12a22a33=66（種）；若a在左起第4位，則有a12c12a22a33+a22a33=60（種）；若a在左起第5位，則有a22a13a33=36（種）；所以，共有站隊方法數(shù)498種。9、過8個點可作c38個圓，需減去兩類：e、b、g共線

8、，減去1個；a、b、c、d、e五點共圓及a、b、f、g、h五點共圓，減去2（c351），所以最多可以確定不同圓的個數(shù)是37個。10、用插空法，共有c57種排列方法。11、用排除法，設a1、a2、a5為平面上給定的5個點，a2、a3、a4、a5之間兩兩連線有c24=6條，從a1出發(fā)可引6條垂線，依此5個點共可引30條垂線，它們之間最多有c230=435個交點，但應排除以下三種情況：從a1、a2、a3作a4a5的三條垂線互相平行，無交點，這樣的情形共有c25c23=30個；從ai（i=1，2，3，4，5）出發(fā)的6條垂線都交于點ai，這樣的點共有5c26=75個，只能留下5個，剩余的應減去；ai（i

9、-1，2，3，4，5）中每三點構(gòu)成一個三角形，三角形的高共點，應減去c35（c231）=20個。因此，滿足題意的交點最多有c230307020=315個。12、此題相當于：10個編號為1，2，3，10的球放入十個編號為1，2，3，10的盒中，要求每個盒中只盛一球，且號碼均不相同，求放法總數(shù)。設這種情況的n個號碼時，方法數(shù)為an，第一步是安排第1號球，共有n1種方法，此時，不妨設1號球安排在了第i（i1）號位置，再安排第i號球的位置，有兩種情況：第i號球在1號位置，此時剩余的n2個球要放在n2個盒中的要求依然是號碼均不相同，故有an2種方法；第i號球不安排在1號位置，此時如同n1個球放入n1個盒

10、中且號碼均不相同，故有方法數(shù)為an1。所以，an=(n-1)(an-2+an-1) 當n=2時,a2=1;當n=3時,a3=2.所以a4=3(a2+a3)=9,a5=4(a3+a4)=44,a6=5(a4+a5)=265,a7=6(a5+a6)=1854,a8=7(a6+a7)=14833,a9=8(a7+a8)=133496,a10=9(a8+a9)=1334961.所以，這樣的情況共有1334961種。三、解答題13、設中方的7名隊員分雖為a1，a2，a7，日方的7名隊員分別是b1，b2，b7，由于中方只動用了5名隊員，故可以認為a6，a7實質(zhì)上是不參與比賽的，現(xiàn)把中方的5名隊員和日方的7

11、名隊員排成一列，顯然各自的順序已定，只需確定位置即可?，F(xiàn)規(guī)定，排在日方隊員bi（i=1，2，7）右側(cè)的（緊挨著）中方隊員是擊敗bi的隊員，據(jù)題意，a5須在b7的右側(cè)（緊挨著）。其他4名隊員a1，a2，a3，a4可在b7右側(cè)10個位置中的任4個位置中，故有c410種情況。所以，這樣的比賽過程有c410種。14、用模3對n分類：（1）當n=3m（m1，且m為整數(shù)）時，我們可以把從1到n的這n個數(shù)分成三部分：a1=1，4，3k+1，共有m個元素；a2=2，5，3k+2，共有m個元素；a3=3，6，3k+3，共有m個元素。易知，a3中的任三個數(shù)之和能被3整除，有c3m種取法；a1、a2、a3中各取一個

12、元素，其和亦能被3整除，有c1mc1mc1m=m3（種）取法；a1中任三個數(shù)之和也能被3整數(shù)，有c3m種取法；a2中任三個數(shù)之和也能被3整除，有c3m種取法，除上面幾種情況，再無其他情況使取的三數(shù)之和被3整除。所以，3c3m+m3=53922，即3m3 3m2 + 2m 107844=0 。因為3|107844，所以3|m，又2m 107844 是偶數(shù)，所以m必是偶數(shù)。為此，不妨設m=6t（t1，且t為整數(shù)），則有54t3 9t2+t 8987=0。易知當t6時，此等式一定不成立，而當t=1，2，3，4，5時均不能使該等式成立，故當n=3m（m1，且m為整數(shù)時），不存在這樣的n。（2）當n=3

13、m+1（m1，且m為整數(shù)時），亦可把這n個數(shù)分成三部分：a1=1，4，共有m+1個元素；a2=2，5，共有m個元素；a3=3，6，共有m個元素，據(jù)題意則有。2c3m+c3m+1+（m+1）m2=53922。即5m3+m=353922。m（5m2+1）=353922。因為（m，5m2+1）=（m，1）=1，所以，m與5m2+1互質(zhì)。而353922=232111943。另一方面，若m43，則，故m43。若m18，則5m2+1必小于111943，故m18。所以，m=19或38，代入等式后均不成立。綜上，當n=3m+2（m1，且m為整數(shù)）時，也不存在這樣的n。（3）當n=3m+2（m1，且m為整數(shù)）時，則可得c3m+2c3m+1+（m+1）2m=53922。據(jù)（2）相同的思路，最后可求得m=66。結(jié)合（1）、（2）、（3），n的取值是200。15、（1）據(jù)題意，共有c3n個三元素子集，因為每一個三元素子集都恰好被一個五元素子集所包含，所以每一個五元素子集中包含了c35個三元素子集，而這樣的五元素子集共有68個，故有c3n=68c35，解得n=17。（2）假設法每個五元素子集中至多含有3種特殊元素，我們把含有1種特殊元素，2種非特殊元素的三元素子集設為a3。據(jù)題意，68個五元素子集中，有c3m個含有3種特殊元素，且每個子集中可有c13c2