數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文三個(gè)三次冪等矩陣線性組合的秩的不變性的一些研究

1、林麗美 三個(gè)三次冪等矩陣線性組合的秩的不變性的一些研究莆 田 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文 題 目 三個(gè)三次冪等矩陣線性 的秩的不變性的一些研究 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 計(jì)算062 指導(dǎo)教師 二0一0年五月一日23目 錄1 引言（2）2 引理（5）3 主要結(jié)果及證明（6）結(jié)束語(yǔ) （19）致謝（20）參考文獻(xiàn)（20）三個(gè)三次冪等矩陣線性組合的秩的不變性的一些研究林麗美( 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師:楊忠鵬 )摘要：由于可逆是秩的一種特殊情況，所以，本文將考慮更一般的情況，即從秩的方面來(lái)考慮三個(gè)非零三次冪等矩陣的線性組合。2008年，黃毅青教授舉出了一些反例，說(shuō)明了當(dāng)矩陣的冪等次數(shù)

2、時(shí)，的可逆性與系數(shù)的選擇無(wú)關(guān)且的秩與系數(shù)的選擇無(wú)關(guān)的這兩個(gè)性質(zhì)都沒有了。對(duì)于黃毅青教授指出的這個(gè)問題，在我十分清醒的分析了那些例子之后，總結(jié)出了兩點(diǎn)：其一、隨著冪等次數(shù)的增大，系數(shù)所滿足的條件應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)?shù)母淖儭Ｆ涠?、結(jié)論不成立是在矩陣不可交換的前提下提出的。之后閱讀了大量的相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)矩陣可交換的這個(gè)前提對(duì)于冪等次數(shù)的矩陣的線性組合的一系列問題的研究都是必要的，所以，本文中所探討的三個(gè)三次冪等矩陣是兩兩可交換的這個(gè)前提是有一定依據(jù)的。在這些基礎(chǔ)上本文探討了三個(gè)兩兩可交換的非零三次冪等矩陣的線性組合的秩的不變性的充分條件。由于三個(gè)三次冪等矩陣是兩兩可交換的，所以三個(gè)三次冪等矩陣可同時(shí)對(duì)角化，且對(duì)

3、角元素為其特征值。又因?yàn)槿蝺绲染仃嚨奶卣髦禐?或1或-1，所以由三個(gè)三次冪等矩陣的第個(gè)特征值構(gòu)成的三維數(shù)組總共有種情況，構(gòu)成一個(gè)集合。本文的證明就是將這27種情況進(jìn)行分類，然后對(duì)于每一類都進(jìn)行證明，證明的主要思路是或。每個(gè)定理都給出了三個(gè)兩兩可交換的非零三次冪等矩陣的線性組合的秩的不變性的充分條件，顯然充分條件遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，還可以進(jìn)行更深層次的探討。關(guān)鍵詞：三次冪等矩陣 線性組合 秩等式 系數(shù)選擇 abstract: since invertibility is a special case of rank,so this paper will consider the more gener

4、al situation. in 2008, professor ngai-ching wong cited some counter-examples, shows that the nature of the invertibility of not relates with the choice of coefficients and the rank of not relates with the choice of coefficients lost, if matrices is -potents idempotent. for professor ngai-ching wong

5、pointed out this problem, after i am very clear in the analysis of those examples, summarized two points: first, with the increase of idempotent number, the conditions of the coefficients satisfied should be appropriate changed. second, not set up can be proposed under the premise of matrices are no

6、ncommutative. we can found that the premise which matrices are commutative is necessary to the research of a series of questions of the linear combination of matrices with idempotent number after reading a great deal of relevant references, therefore, the premise which three tripotent matrices are c

7、ommutative pairwise is a certain reason. based on these the paper discussed the sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices , that is, ,which andare non-zero complex numbers. because three tripotent matrices is commute by two, ther

8、efore three tripotent matrices could simultaneous diagonalization and diagonal elements of its eigenvalues. let be the eigenvalues of , then is diagonalizable and ，, so by the no. eigenvalue of three tripotent matrices constituted three-dimensional array has scenarios in total and then 27 scenarios

9、constituted a set . the 27 kinds of situations can be classified with the proof of this paper, and then each class to prove it holds. it is that or . each theorem is given sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices, clearly suffic

10、ient condition is far more than these, these can be deeper study too.key words: tripotent matrix rank of matrices linear combination choice of coefficient 1、引言 設(shè)為復(fù)數(shù)域上的階矩陣集合.,為矩陣的秩。當(dāng)時(shí)，稱為三冪等矩陣。對(duì)非零，總記，且。統(tǒng)計(jì)學(xué)中很多方法都涉及到投影陣（冪等陣）或投影算子（冪等算子），而斜投影算子則是回歸模型的變量估計(jì)中一個(gè)特別有用的工具。例如：、二次型服從分布 , （1.1）其中且，是一個(gè)服從多元正態(tài)分布的維隨機(jī)變量

11、，其中是單位陣 (見3, 定理5.1.1和4，引理9.1.2)。、是兩個(gè)相互獨(dú)立并且服從分布的隨機(jī)變量的差， （1.2）其中 且，是一個(gè)服從多元正態(tài)分布的維隨機(jī)變量，其中是單位陣(見5的定理1)。 更多的相關(guān)應(yīng)用見文3-5和文6-7。因此，近幾年來(lái)，冪等矩陣、冪等算子以及三次冪等矩陣的研究受到了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注，其中冪等矩陣、冪等算子、三次冪等矩陣的線性組合問題是個(gè)熱點(diǎn)問題，而且得到了一些研究成果。例如：、冪等性2000年，和得到（見8）是冪等陣時(shí)的所有情形，當(dāng),， 。 仍是冪等矩陣的某些情況甚至所有的情況已經(jīng)得以研究（見3489101112），其中是非零冪等矩陣。2002年，j.k.ba

12、ksalary,o.m. baksalary和g.p.h. styan得到（見 13）是冪等陣的所有情況，當(dāng) ， （見3的引理5.6.6）. 2004年， o.m. baksalary得到了（見 14 ）是冪等陣的所有情形，其中是非零的冪等陣，是正交的，即。 2004年，jerzy k.baksalary,oskar maria baksalary和halim ozdemir得到（見15）是三次冪等矩陣的充要條件，其中 。若是在復(fù)數(shù)域上考慮，則halim ozdemir和ahmet yasar ozban對(duì)8中可交換的冪等矩陣的線性組合仍然是冪等矩陣的充要條件給出了新的證明（見16），并且給出

13、了三個(gè)兩兩可交換的非零冪等矩陣的線性組合仍然是冪等矩陣的充要條件。2005年，j. benitez和 n. thome得到（見17）了仍然是冪等陣的充要條件，其中 。 當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，若是冪等矩陣，則只能為2或3（見18）。當(dāng)和時(shí)已經(jīng)分別做了研究（見813）。 2007年，oskar maria baksalary和 julio benitez得到（見18）了復(fù)數(shù)域上三個(gè)冪等矩陣的線性組合（其中兩個(gè)是可交換的）是冪等陣的所有情形，這篇文章是受到baksalary14的啟發(fā)。 18通過(guò)與14不同的研究方法，把其中兩個(gè)冪等矩陣是正交的前提弱化成了這兩個(gè)冪等陣是可交換的。2007年，urailuk si

14、ngthong and wiwat wanicharpichat對(duì)可交換的3個(gè)三次冪等矩陣的線性組合的冪等性的研究是成功的（見19）。2009年，halim ozdemir, murat sarduvan, ahmet yacar ozban和nesrin giiler對(duì)15的主要定理給出了新的證明（見20中），并且證明了兩個(gè)可交換的三次冪等矩陣的線性組合是冪等矩陣和三次冪等矩陣時(shí)的所有情形。、可逆性2004年，j.k. baksalary和 o.m. baksalary得到 (見1，定理1)可逆可逆，當(dāng),時(shí)； （1.3）2006年，y.tian，g.p.h.styan推廣(1.3)得到(見2

15、1,定理2.2)，則,. (1.4) 2007年，張俊敏、成立花、李祚得到1) 、可逆可逆， （1.5） 當(dāng)且，,時(shí)；（見22，定理2）2) 、三個(gè)三次冪等矩陣的線性組合的可逆性問題（見22，定理4）。即 當(dāng)可逆時(shí)，是可逆的一些情況。由于可逆是秩的一種特殊情況，我們將從一般的情況來(lái)研究三個(gè)可交換的三次冪等矩陣的線性組合，即研究三次冪等矩陣線性組合的秩。目前還沒有文獻(xiàn)對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的三次冪等矩陣線性組合的秩做出研究的，所以本文對(duì)三個(gè)三次冪等矩陣線性組合的秩的研究的意義就更大了。2008年，黃毅清教授舉出了一些反例，說(shuō)明了當(dāng)矩陣的冪等次數(shù)時(shí)，的可逆性與系數(shù)的選擇無(wú)關(guān)且的秩與系數(shù)的選擇無(wú)關(guān)的性質(zhì)都

16、沒有了。對(duì)于黃毅清教授指出的這個(gè)問題，在我十分清醒的分析了那些例子之后，總結(jié)出了兩點(diǎn)：其一、隨著冪等次數(shù)的增大，系數(shù)所滿足的條件應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)?shù)母淖?。其二、結(jié)論不成立是在矩陣不可交換的前提下提出的。之后閱讀了大量的相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)矩陣可交換的這個(gè)前提對(duì)于冪等次數(shù)的矩陣的線性組合的一系列問題的研究都是必要的，因此，我們將在對(duì)以上總結(jié)出的兩點(diǎn)中的條件做出適當(dāng)?shù)母淖冎螅瑏?lái)討論三次冪等矩陣線性組合的一些性質(zhì)。本文在借鑒文獻(xiàn)1-5的基礎(chǔ)上，給出了兩兩可交換的三個(gè)三次冪等矩陣,的線性組合的秩的不變性的一系列充分條件。作為特例，也可得到三個(gè)三次冪等矩陣的可逆的條件。2、引理引理2.1 設(shè)為三冪等矩陣,為所有特征值

17、，則可對(duì)角化且 ， （2.1）證明 從的化零多項(xiàng)式只有單根, 由23，推論3.3.8知可對(duì)角化且（2.1）成立. 引理2.2 設(shè),是兩兩可交換三冪等矩陣;則對(duì)有可逆矩陣使 （2.2）證明 從引理2.1可知都可對(duì)角化,再?gòu)暮?3，定理1.3.12知有可逆矩陣使得， （2.3）由（2.3）可得（2.2）. 由引理2.1可得引理2.3 設(shè),都是三冪等矩陣，則，； （2.4）（2.4）中 .3、主要結(jié)果及證明定理3.1 設(shè)滿足；如果對(duì)任意全排列 總有，且，則 (3.1)證明 由（2.2）知， 從（2.1），（3.2）和（3.3）知，要使(3.1)成立，只須證明 （3.4）或, （3.5）設(shè), ,則是的

18、一個(gè)劃分。當(dāng)時(shí)，可知（3.5）成立。 當(dāng)時(shí)， （3.6）且 ， （3.7）由，易知(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， ， （3.8） 且 ， （3.9）由且，即且，知(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， ， （3.10）且 ， （3.11）由且，即 （3.12）且 ， （3.13）知(3.4)成立。 若定理3.1中的約束條件，且 ，不完全滿足時(shí)，則秩等（3.1）不成立。例如：取，,都是三次冪等矩陣，則， （3.14）， （3.15）但是。通過(guò)分析例子可知，秩等式不成立的原因是由于在去掉定理3.1中某個(gè)條件后兩個(gè)矩陣和同時(shí)相似對(duì)角陣后對(duì)角元素中非零個(gè)數(shù)不一樣多，那么我們應(yīng)考慮在去掉這個(gè)條件后，適當(dāng)增加哪些新的條件后可

19、使得兩個(gè)矩陣和同時(shí)相似對(duì)角陣中非零個(gè)數(shù)一樣多，即的相似對(duì)角陣中第個(gè)位置上的數(shù)和的相似對(duì)角陣中第個(gè)位置上的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是非零對(duì)應(yīng)非零或零對(duì)應(yīng)零，則下面我們就是去尋找這些新的條件，使得秩等式（3.1）成立。得到了定理3.2 設(shè)，為的全排列；如果對(duì)任意的非零數(shù)，且對(duì)于給定的有，則的秩不變。即：（3.1）成立。證明 設(shè)，則有，都是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的，當(dāng)，時(shí)，(3.4)或（3.5）成立。1)當(dāng)時(shí) ， （3.16）且， （3.17）由（2.1），（2.4）及且所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， （3.18）且， （3.19）由（2.1），（2.4）及

20、且，所以(3.5)成立。2)當(dāng)時(shí)， （3.20）且， （3.21）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， （3.22）且， （3.23）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3) 當(dāng)時(shí) ， （3.24）且， （3.25）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， （3.26）且， （3.27）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.3 設(shè)，為的全排列；如果對(duì)任意的非零數(shù)，且， ， ，則的秩不變。即：（3.1）成立。證明 設(shè)，則有是的一個(gè)劃分。所以，是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證當(dāng)且時(shí)，(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， （3.2

21、8）且， （3.29）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí) ， （3.30）且， （3.31）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.4 設(shè)，為的全排列；如果對(duì)任意的非零數(shù)，且對(duì)于給定的有，則的秩不變。即： （3.1）成立。證明 設(shè)，則有，都是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的當(dāng)，時(shí)，(3.4)成立。1)當(dāng)時(shí) ， （3.32）且 ， （3.33）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.34）且， （3.35）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。2) 當(dāng)時(shí) ， （3.36）

22、且， （3.37）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.38）且， （3.39）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3)當(dāng)時(shí) ， （3.40）且， （3.41）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.42） 且， （3.43）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.5 設(shè)，為的全排列；如果對(duì)任意的非零數(shù)，且對(duì)于給定的有， ， ，則的秩不變。即：（3.1）成立。證明 設(shè)，則有，都是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的當(dāng)，時(shí)，(3.4)成立。1)當(dāng)時(shí) ， （3.44）

23、且 ， （3.45）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.46）且， （3.47）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。2)當(dāng)時(shí) ， （3.48）且 ， （3.49）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.50）且， （3.51）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3)當(dāng)時(shí) ， （3.52）且， （3.53）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。當(dāng)時(shí)， （3.54）且， （3.55）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.6 當(dāng)時(shí)，則，顯然有的秩的不變性。當(dāng)時(shí)，則，顯然有的秩的不變

24、性。當(dāng)時(shí)，則，顯然有的秩的不變性。當(dāng)時(shí)，則，顯然有的秩的不變性。 定理3.7 設(shè)，為的全排列；對(duì)于給定的有，且，則的秩不變。即： （3.1）成立。證明 設(shè)， 則有，都是的一個(gè)劃分， 是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的當(dāng)，時(shí)，(3.4)成立且且時(shí)，(3.4)成立。由定理3.3和定理3.4中的證明可知，結(jié)論成立。 定理3.8 設(shè)，為的全排列；對(duì)于給定的有，且，則的秩不變。即： （3.1）成立。證明 設(shè)，則有，都是的一個(gè)劃分，都是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的當(dāng)，且，時(shí)，(3.4)成立。由定理3.2和定

25、理3.4中的證明可知，結(jié)論成立。 定理3.9 設(shè)，為的全排列；對(duì)于給定的有， 且，或，則的秩不變。即： （3.1）成立。證明 設(shè)，則有，都是的一個(gè)劃分，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分且對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。所以，對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分且對(duì)于任意的都有是的一個(gè)劃分。由定理1證明可知，只需證對(duì)于給定的當(dāng)，或，時(shí)，(3.4)成立，即：，時(shí)，(3.4)成立。由定理3.2和定理3.4中的證明可知，結(jié)論成立。 由以上給出的各個(gè)定理可知，各個(gè)定理中的系數(shù)所滿足的條件都是秩等式（3.1）成立的充分條件而不是必要條件。結(jié)束語(yǔ)由于本文研究的問題在統(tǒng)計(jì)學(xué)上有廣泛的應(yīng)用，所以研究此類問題是有一定價(jià)值的。已有的文

26、獻(xiàn)討論的大都是冪等矩陣線性組合的冪等性，可逆性等方面的問題，有少部分文獻(xiàn)研究了三次冪等矩陣線性組合的冪等性、可逆性、對(duì)合性問題，可逆作為秩的特殊情況且秩本身又是矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)，但對(duì)于三次冪等矩陣線性組合的秩的方面的研究幾乎沒有涉及。所以本文的不同就是從矩陣的秩出發(fā)，研究三個(gè)三次冪等矩陣的線性組合的秩，通過(guò)系數(shù)所滿足的條件，進(jìn)一步來(lái)判定秩的不變性。在分析黃毅清教授指出的問題之后，在本文中加上了兩兩矩陣可交換的這個(gè)前提，在閱讀大量相關(guān)文獻(xiàn)之后發(fā)現(xiàn)這個(gè)前提對(duì)于冪等次數(shù)的矩陣線性組合的一系列問題的研究都是必要的，所以本文引進(jìn)這個(gè)前提是有一定依據(jù)的。本文所采用的方法主要是三次冪等矩陣可同時(shí)對(duì)角化與對(duì)

27、集合進(jìn)行劃分。給出了矩陣的線性組合的秩等式成立的多個(gè)充分條件，每個(gè)條件都是新穎的，而且其定理證明的主要思路，也是根據(jù)其本身矩陣的特性來(lái)決定的，主要是秩等式成立即等價(jià)于或。從定理3.1中的條件逐步過(guò)渡到定理3.2-3.9中的條件，這些條件之間有一定的聯(lián)系，但是其之間的區(qū)別是更加明顯。若是把定理3.2-3.9中與定理相區(qū)別的條件去掉，則結(jié)論是不成立的，即秩等式不成立。所以，本文中所有定理的條件都是充分不必要的。但本次論文并沒有把所有的情況都討論完全，可在此基礎(chǔ)上得到更多的關(guān)于三次冪等矩陣的線性組合的秩等式成立的充分條件，還可進(jìn)一步討論其充分必要條件，也可平行的探討次冪等矩陣的線性組合的秩等式成立的

28、充分條件和充分必要條件。三個(gè)三次冪等矩陣線性組合的研究包括了對(duì)于二個(gè)三次冪等矩陣線性組合的研究，有興趣的人可以把定理中的三次冪等兩兩可交換的條件去掉或弱化掉來(lái)考慮問題。致謝本課題在選題及研究過(guò)程中都得到了楊忠鵬老師的悉心指導(dǎo)著手課題之初，楊老師為我指點(diǎn)迷津，明確了課題研究的方向和內(nèi)容；課題研究當(dāng)中，楊老師關(guān)心論文進(jìn)程，精心點(diǎn)拔，幫助我拓寬思路并鼓勵(lì)我大膽創(chuàng)新楊老師盡職盡責(zé)的精神，一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度，不僅是我在研究該課題的榜樣，也將是我一生為人處世的榜樣至此，對(duì)他表示由衷的感謝數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師為我提供了良好的學(xué)習(xí)條件，謹(jǐn)向各位同仁表示誠(chéng)摯敬意和謝忱感謝我的同學(xué)四年來(lái)對(duì)我關(guān)心和幫助。

29、參考文獻(xiàn)1 j.k. baksalary, o.m. baksalary.nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices, linear algebra applj. 2004(388): 2529.2 hwa-long gau, chih-jen wang and ngai-ching wong. invertibility and fredholmness of linear combinations of quadratic, k-potent and nilpotent operators,operators a

30、nd matricesj. 2008(2(2): 193199.3 a.m.mathai, s.b.provost. quadratic forms in random variables: theory and applications, marcel dekker, new york: 1992.4 c.r.rao, s.k.mitra. generalized inverse of matrices and its applicationsm. wiley, new york: 1971.5 b.baldessari. the distribution of a quadratic fo

31、rm of normal random variables j. ann. math. statist., 1967(38): 1700-1704.6 songguangtian, guoxuejun. diagonability of idempotent matrices overmon commutiveringsj. linear algebra appl., 1999(297):1一7.7 hornra, johnson c.r. matricesanalysism. cambridge:cambrdgeuniversitypress, 1991.8 j.k.baksalary,o.

32、m. baksalary. idempotency of linear combinations of two idempotent matricesj. linear algebra appl., 2000(321): 3-7.9 j.k.baksalary. algebraic characterizations and statistical implications of the commutativity of orthogonal projectorsc. in: t. pukkila, s. puntanen, (eds.),proceedings of the second i

33、nternational tampere conference in statistics, university of tampere, tampere, finland, 1987: 113-142.10 j. grob, g. trenkler. on the product of oblique projectorsj. linear mulilinear algebra, 1998(44): 247-259.11 y. takane, h. yanai. on oblique projectorsj. linear algebra appl., 1999(289): 297-310.

34、12 f.a. graybill. introduction to matrices with applications in statisticsm. wadsworth publishing company, inc., belmont, ca, 1969.13 j.k.baksalary,o.m. baksalary, g.p.h. styan. idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrixj. linear algebra appl., 2002(354): 21-34

35、.14 o.m. baksalary. idempotency of linear combinations of three idempotent matrix, two of which are disjointj. linear algebra and its applications, 2004(388): 67-78.15 jerzy k.baksalary,oskar maria baksalary,halim ozdemir. a note on linear combinations of commuting tripotent matricesj. linear algebra and its applications, 2004(388): 45-51.16 halim o