自動控制原理(第2版)(余成波_張蓮_胡曉倩)習題全解及MATLAB實驗第7章習題解答

1、第七章 非線性控制系統(tǒng)本章講述非線性控制系統(tǒng)的基本概念和分析方法。首先介紹非線性系統(tǒng)的數(shù)學描述、非線性特性的分類、非線性系統(tǒng)的特點。在此基礎上，介紹了經(jīng)典控制理論中研究非線性控制系統(tǒng)的兩種常用方法：描述函數(shù)法和相平面法。并介紹了非線性環(huán)節(jié)的串并聯(lián)的特性，以及引入非線性特性對系統(tǒng)性能的改善。最后介紹應用MATLAB進行非線性系統(tǒng)的頻率特性和時域響應的分析，以及應用MATLAB繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。教材習題同步解析7.1 求下列方程的奇點，并確定奇點的類型。（1）（2）解：（1）由題得：式中為解析函數(shù)。若以x為自變量，為因變量，則上式可改寫為考慮到，因此有根據(jù)奇點的定義，列方程組為得到系統(tǒng)的奇

2、點為即奇點在坐標原點。在奇點（0，0）處，將進行泰勒級數(shù)展開，保留一次項有奇點附近線性化方程為其特征方程為特征根為為s平面的右半部分的共軛復數(shù)根，故奇點為不穩(wěn)定焦點。概略畫出奇點附近的相軌跡如圖7.1（a）所示：（2）由題得：由得到（a） （b）圖7.1 題7.1 奇點附近的相軌跡即奇點為（0，0）和（-1，0）。1）在奇點（0，0）處，將進行泰勒級數(shù)展開，保留一次項有奇點（0，0）附近線性化方程為：其特征方程為特征根為：為s平面的右半部分的共軛復數(shù)根，故奇點（0，0）為不穩(wěn)定焦點。2）在奇點（-1，0）處，將進行泰勒級數(shù)展開，保留一次項有在奇點（-1，0）處，進行坐標變換，令，則，。即坐標系

3、的奇點（-1，0），變換為坐標系下的奇點（0，0）。因此有其特征方程為特征根為：為一正一負的兩個實數(shù)根，故坐標系下的奇點（-1，0）為鞍點。概略畫出奇點附近的相軌跡如圖7.1（b）所示：7.2 利用等傾線法畫出下列方程的相平面圖。（1）（2）解：（1）1）確定奇點及其性質(zhì)原方程等價為： 令，得奇點：。進行拉氏變換，則系統(tǒng)的特征方程分別為： 特征根分別為：時奇點是s平面左半部分的共軛復數(shù)根，為穩(wěn)定焦點，該區(qū)域相軌跡為收斂于原點處的對數(shù)螺旋線，時奇點為s平面右半部分的共軛復數(shù)根，為不穩(wěn)定焦點，該區(qū)域相軌跡為發(fā)散的對數(shù)螺旋線，兩個區(qū)域的邊界為，即開關線為。通過適當?shù)匕褍蓚€區(qū)域的相軌跡連接起來，便可得

4、到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。再輔以幾條等傾線，就能繪制出說明系統(tǒng)運動性質(zhì)的足夠準確的相平面圖（包含若干起始于不同初始點的相軌跡）。2）推導等傾線方程考慮到，相軌跡的斜率方程為令相軌跡的斜率為，則得等傾線方程為等傾線是通過相平面坐標原點的直線簇。表7.1 題7.2(1)等傾線斜率與相軌跡斜率列表-3-1-013：-102-4-2-1：124-201給定不同的等傾斜線斜率，便可以得出對應的相軌跡的斜率，如表7.1所示。圖7.2畫出了取不同值時的等傾斜線和代表相軌跡切線方向的短線段。給定初始狀態(tài)條件，便可沿著切線的方向場將這些短線段用光滑曲線連接起來，得到給定系統(tǒng)的相軌跡。3）繪制相平面圖圖7.2 題

5、7.2(1)系統(tǒng)相平面圖 畫出系統(tǒng)的相平面圖，分為上下兩部分，如圖7.2所示?？梢姡到y(tǒng)的相軌跡是極限環(huán)，此非線性系統(tǒng)的運動是等幅振蕩的。（2）1）確定奇點及其性質(zhì)原方程等價為：開關線為x=0，令，得奇點：。進行拉氏變換，則系統(tǒng)的特征方程為：特征根分別為：時奇點上s平面左半部分的共軛復數(shù)根，為穩(wěn)定焦點，該區(qū)域相軌跡為收斂于原點處的對數(shù)螺旋線。時奇點是為一正一負的兩個實數(shù)根，為不穩(wěn)定的鞍點，該區(qū)域系統(tǒng)相軌跡發(fā)散，并有漸近線。2）推導等傾線方程同題（1），令相軌跡斜率為則等傾線方程為給出不同的等傾線斜率與對應的相軌跡斜率，見表2：表7.2 題7.2(2)等傾線斜率與相軌跡斜率列表-3-1013：-

6、102-4-2-1：-1-2-4-20-1當時奇點為鞍點，系統(tǒng)相軌跡在此區(qū)域有漸近線，即等傾線的斜率與相軌跡的斜率相等。有解之得：因此，在區(qū)域相軌跡過原點的漸近線為等傾線為過原點的直線簇，分為左右兩部分，如圖7.3所示。圖7.3 題7.2(2)系統(tǒng)相平面圖 3）繪制相平面圖畫出系統(tǒng)的相平面圖如圖7-3（2）所示?？梢?，此非線性系統(tǒng)的運動是不穩(wěn)定的。7.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7.4，設系統(tǒng)初始條件是靜止狀態(tài)，試繪制相軌跡圖。系統(tǒng)輸入為（1），圖7.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （2），解：（1）非線性特性的數(shù)學表達式為由結(jié)構(gòu)圖可知線性部分的傳遞函數(shù)為：由此可得線性部分的微分方程為： 由比較環(huán)節(jié)：，上式又可以寫成輸

7、入信號為階躍函數(shù)，當時，因此系統(tǒng)的微分方程為根據(jù)已知的非線性特性，開關線將相平面分為正飽和區(qū)II、線性區(qū)I、負飽和區(qū)III三個線性區(qū)域。1)區(qū)（線性區(qū)）：系統(tǒng)的微分方程為將代入上式，求得區(qū)相軌跡的斜率方程為以及代入上式，得到這說明相平面的原點（0，0）為I區(qū)相軌跡的奇點，該奇點因位于I區(qū)內(nèi)，故為實奇點。線性區(qū)I區(qū)的特征方程及特征值分別為若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于欠阻尼狀態(tài)，這時奇點（0，0）為穩(wěn)定焦點；若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于過阻尼狀態(tài)，這時的奇點（0，0）為穩(wěn)定結(jié)點。為方便討論奇點的性質(zhì)及繪制相平面圖，以下分析假定。若記等傾線斜率為，則I區(qū)的等傾線方程為當時，該區(qū)的相軌跡是一簇螺旋線，收斂于相平面

8、原點，如圖解7.5(a)所示。當時，該區(qū)的對應的相軌跡是一簇趨向相平面原點的拋物線。2)、區(qū)（飽和區(qū)）：系統(tǒng)的微分方程為由微分方程知，系統(tǒng)沒有奇點，但有漸近線。將代入上式，求得、區(qū)相軌跡的斜率方程為若記等傾線斜率為，則分別求得II、III區(qū)的等傾線方程為相軌跡方程為常數(shù)，即等傾線斜率均為0，當相軌跡斜率與等傾線斜率相等，即時，直線 （II區(qū)） （III區(qū)）分別為II、III區(qū)內(nèi)的等傾線。由于II區(qū)的全部相軌跡均漸近于，III區(qū)的全部相軌跡均漸近于，故稱的兩條等傾線為相軌跡的漸近線。由此應用等傾線法，在相平面圖的II、III區(qū)分別繪制的一簇相軌跡如圖7.5（b）所示，II、III區(qū)相軌跡圖對稱于

9、坐標原點。3）非線性系統(tǒng)的相平面圖基于圖7.5（a）、（b）將以上各區(qū)的相軌跡連接起來，可以繪制非線性系統(tǒng)的完整相軌跡圖，見圖7.5(c)，其中相軌跡的初始點由來確定。假使系統(tǒng)原來處于靜止狀態(tài)，則在階躍輸入（，）作用時，相軌跡的起始點應為。此時的非線性系統(tǒng)的完整相平面圖如圖7.5（d）所示。正負飽和區(qū)的相軌跡與理想繼電特性的相軌跡相同，但是由飽和點所決定，切換位置提前。由于線性區(qū)的奇點性質(zhì)為穩(wěn)定焦點，所以最后一次進入I區(qū)后，相軌跡不再進入其它工作區(qū)，在I區(qū)內(nèi)經(jīng)有限次衰減振蕩后，最終收斂于原點。圖7.5 題7.3含飽和特性的非線性系統(tǒng)相軌跡圖a-aa-a-aa從飽和特性的相平面分析可以看到：(1

10、) 階躍輸入作用時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。如果系統(tǒng)的固有部分具有良好的阻尼特性，系統(tǒng)最后進入I區(qū)后，在超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、振蕩次數(shù)等方面均良好的動態(tài)特性，而且不產(chǎn)生自持振蕩。最大超調(diào)量可從圖中量得，為相軌跡第一次與負實軸的交點坐標的絕對值，而相軌跡繞原點的次數(shù)為過渡過程的振蕩次數(shù)。(2)飽和點的大小可以決定分區(qū)切換次數(shù)的多少。飽和點的值大，則線性工作區(qū)大， 分區(qū)切換次數(shù)少，非線性振蕩次數(shù)少，飽和非線性對系統(tǒng)的影響小。飽和點的值小，則線性工作區(qū)范圍小，分區(qū)切換次數(shù)增加，非線性振蕩次數(shù)增多，飽和非線性對系統(tǒng)的影響就不可忽視。 當時，I區(qū)的相軌跡為收斂于原點的拋物線，其他與時相同。（2）若輸入

11、信號為速度函數(shù)加階躍函數(shù)，則當時，。因此描述系統(tǒng)的微分方程變?yōu)?考慮到系統(tǒng)的非線性特性，上列方程可寫為與階躍輸入下的分段線性方程形式完全一樣，只是坐標向左平移v，則線性區(qū)系統(tǒng)奇點為（v，0）。若，奇點（v，0）為穩(wěn)定焦點；若，奇點（v，0）為穩(wěn)定結(jié)點。根據(jù)非系統(tǒng)飽和特性線性區(qū)（I區(qū)）時的微分方程，寫出區(qū)相軌跡的斜率方程為根據(jù)求得奇點坐標為、，再次證明了坐標的平移現(xiàn)象。當非線性系統(tǒng)工作在非線性特性的飽和區(qū)，即、區(qū)時，求得、區(qū)相軌跡的斜率方程為若記等傾線斜率為，則分別求得II、III區(qū)的等傾線方程為同樣求得斜率時的相軌跡漸近線方程分別為下面分三種情況討論各區(qū)間非線性系統(tǒng)相軌跡的繪制。（1）在這種情

12、況下，奇點坐標為及。由于奇點位于II區(qū)，故對I區(qū)來說，它是一個虛奇點。又由于，故飽和區(qū)相軌跡的兩條漸近線均位于橫軸之上，見圖7.6。圖7.6繪制出包括I、II、III三個區(qū)的相軌跡簇，以及始于初始點A的含飽和特性的非線性系統(tǒng)響應輸入信號的完整相軌跡ABCD。從圖7.6中可見，因為是虛奇點，所以非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不可能是奇點（），而是當時相軌跡最終趨向漸近線。這說明，給定非線性系統(tǒng)響應輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大。圖7.6中的虛圖7.6 時的相平面圖 圖7.7 時的相平面圖a-aa-a線表示相軌跡不會收斂于虛奇點。（2）在這種情況下，奇點坐標為及，是實奇點；由圖7.8 時的相平面圖a-a于，故I

13、I區(qū)的漸近線位于橫軸之下，而III區(qū)的漸近線位于橫軸之上。圖7.7繪出了始于初始點A的含飽和特性的非線性系統(tǒng)響應輸入信號的完整相軌跡ABCD。由于是實奇點，故相軌跡最終將進入I區(qū)而趨向奇點（），從而使給定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取得小于a的常值。（3）在這種情況下，奇點坐標為及，恰好位于I、II兩區(qū)的分界線上。對于II區(qū)，求得其運動方程為或?qū)懗?（7.54）考慮到，則有上式說明，在的II區(qū)，給定非線性系統(tǒng)的相軌跡或為斜率等于的直線，或為的直線。圖7.8是始于初始點A的給定非線性系統(tǒng)的相軌跡ABCD。從圖7.8可見，相軌跡由I區(qū)進入II區(qū)后不可能趨向奇點（，），而是沿斜率為的直線繼續(xù)運動，最終終止于

14、橫軸上區(qū)段內(nèi)。由此可見，此時給定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差介于a之間，其值與相軌跡的初始點的位置有關。在上述三種情況下，相軌跡初始點A的坐標均由初始條件確定，即當系統(tǒng)初始條件為靜止狀態(tài)時，初始點A的坐標為，初始點A位于相平面圖的第一象限，其相軌跡分別見圖7.6、7、8。綜上分析可見，含飽和特性的二階非線性系統(tǒng)，響應階躍輸入信號時，其相軌跡收斂于穩(wěn)定焦點或結(jié)點（0，0），系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差；但響應輸入信號時，隨著輸入勻速值的不同，所得非線性系統(tǒng)在、情況下的相軌跡及相應的穩(wěn)態(tài)誤差也各異，甚至在時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)并不唯一，其確切位置取決于系統(tǒng)的初始條件與輸入信號的參數(shù)。7.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7.9，設系統(tǒng)初始條

15、件是靜止狀態(tài)，其中，并且參數(shù)滿足下式試繪制相軌跡圖。系統(tǒng)輸入為（1），（2），_圖7.9 題7.4圖+k2aak1解：本系統(tǒng)為一個變放大系數(shù)非線性系統(tǒng)，其非線性環(huán)節(jié)為： 式中，、輸出特性的斜率，a切換點。選擇參數(shù)，使即（1），由結(jié)構(gòu)圖可知線性部分的傳遞函數(shù)為：由此可得線性部分的微分方程為： 由比較環(huán)節(jié)得：，上式又可以寫成即系統(tǒng)微分方程為 ： 、III：開關線把相平面分成三個區(qū)域，如圖7.10所示。三個區(qū)域的奇點都在原點，但II區(qū)的奇點是實奇點，而I、III區(qū)的奇點不在本區(qū)域，是虛奇點。若輸入階躍信號，當時，因此相軌跡起點為A點（R，0）。由于Ra=1，系統(tǒng)位于III區(qū)，其二階系統(tǒng)的特征方程及特

16、征值分別為圖7 .10 題7.4(1) 圖 系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡圖A (R,0)eBCDEF1-1IIIIIIO為穩(wěn)定的焦點，系統(tǒng)處于欠阻尼情況，此時的相軌跡由A點開始，以對數(shù)螺旋線形狀卷向原點，如圖7.10中的AB段。當系統(tǒng)運動狀態(tài)到達相鄰區(qū)域III、II的邊界線時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)將發(fā)生轉(zhuǎn)換。當時，系統(tǒng)處于I區(qū)，其二階系統(tǒng)的特征方程及特征值分別為為穩(wěn)定結(jié)點，系統(tǒng)處于過阻尼情況，此時相軌跡到達B點，以過阻尼的形式（拋物線）趨向原點，如圖7.10中的BC段。 由C點開始，系統(tǒng)又處于欠阻尼情況，直到D點；由D點到E點，系統(tǒng)又處于過阻尼情況，。如此繼續(xù)，繪制出非線性系統(tǒng)的相軌跡，為圖7.10中的

17、ABCDEFO。對于階躍信號，相軌跡收斂于II區(qū)的奇點即原點，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定誤差。這種變放大系數(shù)特性，使系統(tǒng)在大偏差信號時具有較大的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應為衰減振蕩，具有高精度和快速跟蹤性能。而在小偏差信號時具有較小的放大系數(shù)，系統(tǒng)具有很大的阻尼，使系統(tǒng)響應既緩且穩(wěn)，輸出無振蕩。從而可以獲得比較理想的過渡過程，很好地解決了快速性和振蕩性之間的矛盾。 （2），則當時，則系統(tǒng)微分方程為 ： 、III： 各分段區(qū)域的特征方程及特征值分別為II：，為穩(wěn)定結(jié)點、III：，為穩(wěn)定焦點（b） 0.2v1 （c） v1eP11-1IIIIIIP2OAAA可見，此時的相軌跡與階躍信號作用時基本相同，、III區(qū)為螺旋

18、曲線（欠阻尼），II區(qū)為拋物曲線（過阻尼）。但奇點（）（區(qū)）、（）（、III區(qū)）的位置，將隨輸入信號v的大小而變化，如果區(qū)的奇點（）離開本區(qū)域，進入、III區(qū)，則（）變?yōu)樘撈纥c，相軌跡不再收斂于該點；同理，如果、III區(qū)的奇點（）進入本區(qū)域，則相軌跡有可能收斂于該點，具體情況視輸入斜坡信號的參數(shù)v的大小而定。設系統(tǒng)初始是靜止狀態(tài)，初始點A的坐標為（，），不同初始條件時系統(tǒng)的相軌跡示于圖7.11，具體軌跡與輸入信號的參數(shù)v有關。圖7.11(a)為當v1時的相軌跡，這時P1為虛奇點，P2為實奇點，相軌跡以螺旋曲線收斂于穩(wěn)定焦點P2，系統(tǒng)響應斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為。圖7.11(b)為當0.2v1時的相

19、軌跡，這時點P1和P2均為虛奇點，相軌跡最終收斂于II、III區(qū)邊界，即點（1，0），系統(tǒng)響應斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為1。圖7.11(c)為當v0.2時的相軌跡，這時P1為實奇點，P2為虛奇點，相軌跡最終收斂于穩(wěn)定結(jié)點P1，系統(tǒng)響應斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為。 從上面的分析可見，變放大系數(shù)非線性系統(tǒng)在較小的速度信號作用下，系統(tǒng)的過度過程是非周期的；而在較大的速度信號作用下，系統(tǒng)具有衰減振蕩的過渡過程。圖7.12 非線性特性 K 7.5 非線性特性示如圖7.12，求其描述函數(shù)。解：非線性環(huán)節(jié)具有分段的特點，故描述函數(shù)計算的重點在于確定正弦響應曲線和積分區(qū)間，一般采用圖解法。由圖7.12，非線性元件的輸入、

20、輸出關系為：當輸入正弦信號時，非線性特性如圖7.13所示?？梢姡敃r，輸出波形將重復出現(xiàn)。因此，計算描述函數(shù)時，其積分區(qū)間只要選擇范圍內(nèi)即可，此范圍內(nèi)輸出信號的表達式為式中，K為輸出線性部分斜率，。求得y(t)的傅氏展開式的基波分量為圖7.13 題7.5非線性特性的輸入輸出波形由于是奇函數(shù)，因此而考慮到，并將代入上式整理得所以描述函數(shù)為：上式表示一個實函數(shù)，成立的條件是（）。 7.14 變放大系數(shù)特性7.6 圖示7.14變放大系數(shù)非線性特性，求其描述函數(shù)。圖7.15 題7.6非線性特性的輸入輸出波形解：由圖7.14，變放大系數(shù)非線性元件的輸入、輸出關系為：當非線性元件輸入信號為時，其輸出信號y

21、(t)的波形見圖7.15。圖中，k1，k2為輸出特性斜率； a為線性區(qū)k1寬度；，y(t)的數(shù)學表達式為由于是奇函數(shù)，所以。并有將代入上式得即變放大系數(shù)非線性元件的描述函數(shù)為：上式表示一個實函數(shù)，成立的條件是（）。7.7 判斷圖7.16所示各系統(tǒng)是否穩(wěn)定，與的交點是穩(wěn)定工作點還是不穩(wěn)定工作點。解：（a）存在自振點。當位于軌跡之外時，系統(tǒng)穩(wěn)定，處于衰減振蕩狀態(tài)，振幅將逐漸減小直至與曲線的交點；反之，當位于軌跡之內(nèi)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，處于發(fā)散振蕩狀態(tài)，振幅將逐漸增加直至與曲線的交點。因此，與曲線的交點為穩(wěn)定的工作點，無論初始振幅為何值，系統(tǒng)都將以交點處的幅值和振幅做等幅振蕩運動。（b）不存在自振點，系

22、統(tǒng)不穩(wěn)定，被曲線包圍。（c）下方交點是自振點，上方的交點不是自振點。與曲線下方的交點與題（a）情況相同，而上方處的交點情況剛好相反。（d）不存在自振點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，被曲線包圍。圖7.16 題7.7圖（e）存在自振點。與曲線的交點處，由不穩(wěn)定區(qū)域（曲線包圍曲線）進入穩(wěn)定區(qū)域（曲線不包圍曲線），因此交點為穩(wěn)定的工作點。7.8 圖7.17所示為繼電器控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，其線性部分的傳遞函數(shù)為 圖7.17 題7.4圖+21試確定自持振蕩的頻率與振幅。解：帶有滯環(huán)的繼電器特性的描述函數(shù)為：輸入為e(t)=Asint。已知，代入上式，則有寫出描述函數(shù)的負倒數(shù)特性為由上式可知，由時，因此曲線平行于負實軸，且由

23、。由題，線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： 將代入上式，可得其頻率特性為：由于線性環(huán)節(jié)為0型3階系統(tǒng)，故曲線起于正實軸的（10, 0）點，幅值單調(diào)減小，沿順時針方向終止于原點，最終相位為-270，與正虛軸相切，并由可求得與負實軸的交點為（-0.5, j0）點。作曲線和曲線，交于D點，如圖7.18所示。自右向左移動，與曲線有交點，從不穩(wěn)定區(qū)域進入系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，交點所對應的極限環(huán)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)存在自持振蕩。與曲線交點的求取公式如下：由于 即：有利用MATLAB求解此方程組，指令如下 a,w = solve(8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)2) =0.065*w2-0.1,-8/3.14/a2=0.0

24、05*w3-0.16*w)圖7.18 題7.8非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)曲線ReIm排除負根與復數(shù)根，得解為：即系統(tǒng)有頻率，振幅的自振。注：自持振蕩的頻率和振幅也可通過相對描述函數(shù)（又稱基準描述函數(shù)）求得，公式如下即將描述函數(shù)中部分非線性參數(shù)分離出來，乘到線性部分去，描述函數(shù)剩余部分的非線性參數(shù)都以相對值的形式出現(xiàn)，Kn稱為非線性特性的尺度函數(shù)，稱為負倒相對描述函數(shù)。和的相互關系，完全對應于和的相互關系。負倒相對描述函數(shù)的特點是：把作為一個變量，則僅是的函數(shù)，其函數(shù)值與非線性特性的特征參數(shù)M、a無關。顯然，與成比例，繪制過程相同，但的作圖過程卻比繪制簡單得多。本題的基準描述函數(shù)為通過，所求得的系統(tǒng)自振

25、參數(shù)與前面的計算結(jié)果完全相同。圖7.19 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖_（a） （b）7.9 將圖7.19所示非線性系統(tǒng)化簡程非線性部分和等效的線性部分相串聯(lián)的單位反饋系統(tǒng)，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。解：先將非線性環(huán)節(jié)看作線性環(huán)節(jié)，求出原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，然后取的分母令其為零，得到系統(tǒng)特征方程，則可推出的形式，從而寫出線性部分的傳遞函數(shù)（a）由（a）結(jié)構(gòu)圖可知，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)的特征方程為即有所以系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)為：（b）由（b）結(jié)構(gòu)圖可知，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)的特征方程為即有所以系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)為：_圖7.20 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖+2121117.10 系統(tǒng)如圖7.20所示，試

26、計算系統(tǒng)的自振參數(shù)。解：先將三個串聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)進行等效合并。由于反饋通道的飽和特性與前向通道的飽和特性同時進入飽和狀態(tài)，所以反饋通道的飽和特性實質(zhì)上不起作用，可以將其去掉。前向通道中兩個非線性環(huán)節(jié)分別為_圖7.21 題7.10非線性系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖+20.5當時，第一個非線性環(huán)節(jié)輸出為1，恰好等于第二個非線性環(huán)節(jié)的開關值。由此可知，等效的非線性環(huán)節(jié)是一個具有死區(qū)的繼電特性，其等效非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7.21所示。由教材329頁相關推導，合并后的具有死區(qū)的繼電特性的描述函數(shù)為將，代入有描述函數(shù)的負倒數(shù)為則其負倒數(shù)描述函數(shù)曲線均在負實軸上，通過求導知，此函數(shù)在轉(zhuǎn)折點處，存在極大值點。范圍內(nèi)的負倒描

27、述函數(shù)與范圍內(nèi)的負倒描述函數(shù)在負實軸上完全重合，只是重合點對應的振幅不同。繪制負倒數(shù)描述函數(shù)曲線如圖7.22所示，為圖示更清晰，將和段的負倒數(shù)描述函數(shù)曲線繪制為兩條平行于負實軸的直線。系統(tǒng)線性部分的頻率特性為(a) (b)圖7.22 題7.10非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)曲線ReImReIm由于線性環(huán)節(jié)為I型3階系統(tǒng)，故曲線起于平行于負實軸的無窮遠處，幅值單調(diào)減小，沿順時針方向終止于原點，最終相位為-270，與正虛軸相切，并由可求得與負實軸的交點為（-2.47, j0）點。作曲線和曲線，交于點與點，如圖7.22所示。由自振條件，得由實部、虛部相等有舍去負根，解得：如圖7.22所示，上方的交點是曲線穿進曲

28、線時的交點，從穩(wěn)定區(qū)域進入不系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，則該交點所對應的極限環(huán)是不穩(wěn)定的；而下方的交點是曲線穿出曲線時的交點，從不穩(wěn)定區(qū)域進入系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，則該交點所對應的極限環(huán)是穩(wěn)定的。因此，下方交點是自振點，上方的交點不是自振點。綜上，系統(tǒng)有自振點，為振蕩角頻率，為自持振蕩的振幅。當與 曲線不相交時，非線性控制系統(tǒng)不會出現(xiàn)自振，所以校正非線性系統(tǒng)自振的途徑就是：1） 改變非線性特性的參數(shù)，即改變曲線；2） 基于線性系統(tǒng)校正理論，校正線性部分的頻率特性。例如，將本題系統(tǒng)的非線性部分的特征參數(shù)a調(diào)節(jié)為2，則在轉(zhuǎn)折點處，存在極大值點。與曲線如圖7.22所示，兩條曲線不再相交，消除了自振，不包圍曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。

29、MATLAB實驗指導M7.1 二階非線性系統(tǒng)如圖7.23所示。（1）對該系統(tǒng)進行單位階躍信號作用下的仿真，并作出相平面圖；1 -1Xr (s)Xc (s)圖7.23 M7.1圖（2）調(diào)節(jié)線性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，分析放大系數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。解：（1）1）在SIMULINK下建立非線性系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖7.24所示。符號變量Sign模塊在Math模塊組中。圖7.24 M7.1系統(tǒng)SIMULINK仿真結(jié)構(gòu)圖將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分為兩個環(huán)節(jié)：和。的輸出為xc，則其輸入信號為。XY繪圖儀的X、Y兩端口輸入數(shù)據(jù)分別為和，故可繪制出系統(tǒng)的相平面圖。2） 將階躍信號step的參數(shù)step time設置為0，

30、啟動仿真，系統(tǒng)單位階躍信號作用下的響應曲線及相平面圖見圖7.25，系統(tǒng)對應的開環(huán)傳遞系數(shù)為K=1。3） 由圖可見，系統(tǒng)的相軌跡是收斂于平面原點的螺旋線，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。由系統(tǒng)的單位階躍響應曲線可見，最大超調(diào)量s%=14%，ts=2.6s（D=5%），穩(wěn)態(tài)誤差。 圖7.25 M7.1系統(tǒng)相平面圖 圖7.26 M7.1系統(tǒng)單位階躍響應曲線（K=1）（2）調(diào)節(jié)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)K，即調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)的系數(shù)，比較相應的單位階躍響應。K=0.1、100時的單位階躍響應曲線見圖7.27（a）、（b）。 可見，當系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)K值增大時，單位階躍響應的速度加快，但振蕩加劇，系統(tǒng)平穩(wěn)性下降。 （a）K=0.1 （a）K=10圖7.27 M7.1系統(tǒng)單位階躍響應曲線M7.2 繼電型非線性系統(tǒng)如圖7.28所示。（1）對該系統(tǒng)進行單位階躍信號下的仿真；圖7.28 M7.2圖10.2Xr (s)Xc (s)（2）要求%20%，ts2s，求速度反饋系統(tǒng)，并利用SIMULINK仿真驗證。解：（1）在SIMULINK下建立非線性系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖7.29所示。圖7.29 M7.2系統(tǒng)SIMULINK仿真結(jié)構(gòu)圖繼電器特性Relay模塊在Discontinuities模塊組（MATLAB7.0以上），雙擊Relay圖標，設置相關參數(shù)為： 開通關斷時間： Switch on point（