1.3 函數(shù)連續(xù)ppt課件

1、第第1 1章章 函數(shù)函數(shù) 第第1 1章章 函數(shù)函數(shù) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1.自變量自變量x 趨于無窮大時函數(shù)的極限趨于無窮大時函數(shù)的極限 2.自變量自變量x 趨于某定數(shù)趨于某定數(shù) x0時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) . 1 sin lim1 0 x x x 兩個重要極限兩個重要極限 . 1 1lim2e x x x 兩個重要極限的變換形式：兩個重要極限的變換形式： 1 )( )(sin lim x x 某過程 設(shè)設(shè) 是某一過程中的無窮小，那么是某一過程中的無窮小，那么 )(x ex x )( 1 )(1 lim 某過程 第第2 2章章 極限與連

2、續(xù)極限與連續(xù) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1 x1 1 2 1 1yx 11 1 xx y xx ， ， y x 1 1 2 1 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) xx 00 x 一般地一般地, 常用常用x0 表示自變量的初值，用表示自變量的初值，用 x表示自變量的增量，則自變量的終值可表示自變量的增量，則自變量的終值可 表示為表示為x0 x，相應(yīng)地，相應(yīng)地 用用y表示函數(shù)值的增量，表示函數(shù)值的增量， 那么那么 x y 0 )(xfy x y 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 0 00 00 00 ( ) 0 limlim ()()0

3、 ( ) xx yf xx xx yf xxf x yf xxx 設(shè)函數(shù)在 的某一鄰域內(nèi)有定 義，如果當(dāng)自變量在點(diǎn) 處的增量時， 有 則稱在點(diǎn) 處連續(xù)，稱 為連續(xù)點(diǎn)。 函數(shù)在函數(shù)在x0處連續(xù)的意義是指處連續(xù)的意義是指:當(dāng)自變量在當(dāng)自變量在x0處的增量處的增量 x為無窮小量時，函數(shù)的增量為無窮小量時，函數(shù)的增量y也為無窮小量。也為無窮小量。 這一定義說明了連續(xù)的本質(zhì)：當(dāng)自變量變化很微小這一定義說明了連續(xù)的本質(zhì)：當(dāng)自變量變化很微小 時，函數(shù)值相應(yīng)變化也很微小時，函數(shù)值相應(yīng)變化也很微小. 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 0 lim, xx f xf x 設(shè)設(shè)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某鄰

4、域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, 則稱則稱 f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 延續(xù)延續(xù). , 0 xxx 設(shè)設(shè)),()( 0 xfxfy ,0 0 xxx 就是就是 ).()(0 0 xfxfy 就就是是 00 00 limlim ()()0 xx yf xxf x 假設(shè)假設(shè) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 11 limlim 3121 xx f xxf 證明證明 f (x) = 3x1在在 x = 1連續(xù)連續(xù). 由定義知由定義知 f (x) = 3x 1在在 x = 1連續(xù)連續(xù). 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1 sin,0, ( ) 0,0, 0. xx f xx x x 試證函數(shù) 在處

5、連續(xù) , 0 1 sinlim 0 x x x , 0)0( f又又 ( )0f xx 所以，函數(shù)在處連續(xù)。 ),0()(lim 0 fxf x 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 單側(cè)連續(xù)的概念單側(cè)連續(xù)的概念 0 0 lim( )() xx f xf x 0 0 lim( )() xx f xf x 設(shè)設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的左的左(右右)鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)假設(shè) 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 左左(右右)延續(xù)延續(xù). 函數(shù)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是 f (x) 在在 點(diǎn)點(diǎn) x0 即左連續(xù)又右連續(xù)即左連續(xù)又右連續(xù). 第第2

6、 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1,0 ,0 x xx f x ex 00 limlim110 , xx f xxf f x 00 limlim10 , x xx f xef 設(shè)設(shè) , ,討論討論 f (x) f (x) 在在 點(diǎn)點(diǎn) x = 0 的連續(xù)性的連續(xù)性. 故故 在在 x=0 左連續(xù)左連續(xù). 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?故故( )f x在在x=0非右連續(xù)非右連續(xù),故故( )f x在在x=0非連續(xù)非連續(xù). 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 對自變量的增量對自變量的增量, 0 xxx 相應(yīng)函數(shù)的增量相應(yīng)函數(shù)的增量 )()( 0 xfxfy)()( 00 xfxxf )(xfy xo y 0 xx x

7、 y )()(lim 0 0 xfxf xx )()(lim 00 0 xfxxf x 0lim 0 y x )()()( 000 xfxfxf 左連續(xù)左連續(xù) 右連續(xù)右連續(xù) 函數(shù)函數(shù) 0 x )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價定義連續(xù)有下列等價定義: 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 在開區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在開區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間上的叫做在該區(qū)間上的 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). . .,)( , ,),( 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù) 則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù) 并且在左端點(diǎn)并且在左

8、端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間 baxf bxax ba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. . .),(內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 ,x 00 sinsinyxxx 0000 2 sincos 22 xxxxxx 證明證明 f (x) = sin x 在定義域上連續(xù)在定義域上連續(xù). 任取任取由于由于 2 sin2, 22 xx x 0 lim0. x y sinfxx 由夾逼準(zhǔn)則知由夾逼準(zhǔn)則知 故故sin x 在在 x0 延續(xù)延續(xù). 由由 x0 的任意性知的任意性知

9、, 在在 上連續(xù)上連續(xù). 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) :)( 0 條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf ;)()1( 0處有定義 處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf ;)(lim)2( 0 存在存在xf xx ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx ).()( ),()( , 00 或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) 就就稱稱函函數(shù)數(shù)一一個個不不滿滿足足上上述述三三個個條條件件中中只只要要有有 xf xxxf 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 ( ):f xx滿足下列三個條件之一，則稱在點(diǎn)處

10、不連續(xù) 0 (1)( );f xx在點(diǎn) 處沒有定義 0 (2) lim( ); xx f x 不存在 0 0 (3) lim( )(). xx f xf x 0 ( )().xf x稱點(diǎn)為的不連續(xù)點(diǎn) 或間斷點(diǎn) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) ,0 1,0 x x f x x , 00 limlim00 xx f xxf （1可去間斷點(diǎn) 若極限若極限 0 lim xx f x 存在存在,但不等于但不等于f (x0),則稱則稱x0是是f (x) 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn). 例如例如: 由于由于 故故 x=0 是是 f (x) 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn). 函數(shù)間斷點(diǎn)的分類函數(shù)間斷點(diǎn)的分類 包括

11、包括 f (x)在在x0處無定義處無定義. 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 lim xx f x 00 limlim xxxx f xf x （2跳躍間斷點(diǎn) 若極限若極限 0 lim xx f x 與與都存在但不相等，則稱都存在但不相等，則稱 x0 是是 f (x)的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn). 稱為稱為 f (x)在在x0 的跳躍度的跳躍度. 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) ,0 1 ( ),0, 2 1,0 0. x x f xx x x x 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性 解解: , 0)0( f, 1)0( f ),0()0( ff .0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x o

12、x y 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) ln ,0, 1,0, x x f x xx 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) 若極限若極限 0 lim xx f x 與與 0 lim xx f x 至少有一個不存在至少有一個不存在,那么那么 稱稱x0是是f (x)的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn). 00 limlim ln, xx f xx 由于由于 故故x=0是是 f (x) 的的 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) .0 1 sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) x x xf x y 1 sin ,0處沒有定義處沒

13、有定義在在 x . 1 sinlim 0 不不存存在在且且 x x .0為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x .斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間 # 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 復(fù)合函數(shù)連續(xù)性復(fù)合函數(shù)連續(xù)性 若函數(shù)若函數(shù) f (u)在在 u0 延續(xù)延續(xù),u=g (x)在在 x0 延續(xù)延續(xù),且且 00 ,ug x 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)fg在在 x0 延續(xù)延續(xù). 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則 ,f xg x 0 ,0 f x f xg xg x g x 設(shè)設(shè) f (x) , g (x)都在都在 x0 延續(xù)，則函數(shù)延續(xù)，則函數(shù) 在在 x0 也連續(xù)也連續(xù). 基本初

14、等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 2 1xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 1, 1( (端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)) ) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其在其 定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不一定連續(xù); , 1cos xy,4,2, 0: xD 這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義. ,)1( 32 x

15、xy, 1, 0: xxD及及 在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義. 1,). 函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)在在上上連連續(xù)續(xù)間間 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 0 lim xx g xu , fg 00 0 limlim. xxxx f g xfg xf u 若函數(shù)若函數(shù) f (u)在在 u0 延續(xù)延續(xù),復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 在在 x0 處極限存在處極限存在. 且且 連續(xù)函數(shù)的極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算的順序可以互換連續(xù)函數(shù)的極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算的順序可以互換, 或者說函數(shù)符號和極限符號可以互換位置?；蛘哒f函數(shù)符號和極限符號可以互換位置。 00 0 limlim xxxx f xf xfx 即即 這是證

16、明函數(shù)連續(xù)和計算連續(xù)函數(shù)的極限常用的方法。這是證明函數(shù)連續(xù)和計算連續(xù)函數(shù)的極限常用的方法。 0 0 lim xx xx 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) )()()(lim 00 0 定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxf xx 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法(求極限的又一種方法求極限的又一種方法). 由于初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以求初等函數(shù)由于初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以求初等函數(shù) f (x) 在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)在定義域內(nèi)的某一點(diǎn) x0 處的極限，只需求出處的極限，只需求出 f ( x )在在 x0 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 f ( x0 ) 即可。即可。 第第2 2章章 極限與連續(xù)極

17、限與連續(xù) 1 limsin1. x x e 1sin 1 e原式原式. 1sin e 2 0 11 lim. x x x )11( )11)(11( lim 2 22 0 xx xx x 原原式式 11 lim 2 0 x x x 2 0 . 0 0 2 limsin1 xx x 0 22 0 limsin1sin1 xx xx 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 sin limarctan. x x x 0 sin lim1, x x x 0 sin limarctan x x x 求求 arctanu在在 u = 1 延續(xù)延續(xù), 所以所以 0 sin arctan limarctan

18、1. 4 x x x 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 0 ln 1 lim x x x 1 ln 1 ln1, x x x x 求求 0 lnuue在 1 0 lim 1, x x xe 延續(xù)延續(xù), 從而從而 1 00 ln 1 limlimln1ln1 x xx x xe x 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 3 sin 2 lim(12 ) x x x 3 sin ln (1 2 )33 ln(1 2 ) sinsin 12 x x x xx xee （） 2 3 limln(12 )3ln(1) sin x x x 而 3 3ln(1)3 sin 0 lim(12 )(1) x

19、 x xe ( ) ( )( ( )0, ( ) 1),lim ( )0,lim ( ), v x u xu xu x u xav xb 一般地，對于形如不恒 等于如果則 求求 ( ) lim ( )v x b u xa 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 例例14 求求. 1 2 lim 1 4 1 x x x x x 解解 原式原式 = 1 4 1 1 1 1 1 1lim x x x x x x x 1 4 lim 1 1 1 1 1 1 1lim x x x x x x x x = e 2 . 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù),

20、那么那么 f (x)在在a, b上必有上必有 最大最大(小小)值值.即即: : xo y a b )(xfy 1 2 存在存在 12 , ,a b 使使 )(min)( 1 xff bxa )(max)( 2 xff bxa ( (證明略證明略) ) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) .fc 若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在a, b上連續(xù)，上連續(xù)， 則對介于則對介于 f (a)與與 f (b)之之 間的任何實(shí)數(shù)間的任何實(shí)數(shù)c,那么那么, 至少至少 A b xo y a )(xfy B c 1 2 ,a b 使得使得存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 若函數(shù)若函數(shù) f (x)

21、 在在a, b上連續(xù)，且上連續(xù)，且零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理: 那么那么, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , ),(ba使使 x y o a b )(xfy .0)(f 0)()(bfaf 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理(根的存在性根的存在性)幾何意義幾何意義: 一條連續(xù)曲線如果兩個一條連續(xù)曲線如果兩個 兩側(cè)兩側(cè),則它至少穿過則它至少穿過 x 軸軸 端點(diǎn)分別位于端點(diǎn)分別位于 x 軸上下軸上下 一次一次. 0 xx o a b y 1 x 2 x 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) sin2,f xxx 020,f sin2xx 31 sin30.f 證明方程證明方程 x = sinx +2至少有一個不大于至少有一個不大

22、于 令令察看察看(0, 3) , 那么那么 方程方程 f (x) = 0在在(0, 3)內(nèi)至內(nèi)至 少有一實(shí)根少有一實(shí)根, 即方程即方程 至少有一個不大于至少有一個不大于3的的實(shí)根的的實(shí)根. 3的實(shí)根的實(shí)根. 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知, 第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) ( )( )0,af aa 0 x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在a, b延續(xù)，且延續(xù)，且 f (a) b,證方程證方程 f (x) = x在在(a, b)內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)根. 令令 ,xf xx x 在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知在在(a, b)內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)根, 即即 f (x) = x 在在 (a , b) 內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)根. (