1.3函數(shù)的極限ppt課件

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 第三節(jié) , )(xfy 對(duì) 0 )1(xx 0 )2(xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自變量變化過程的六種形式: 二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)的極限 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 1. 0 xx 時(shí)函數(shù)極限的定義時(shí)函數(shù)極限的定義 引例引例. 測(cè)量正方形面積測(cè)量正方形面積.面積為A ) 邊長(zhǎng)為(真值:; 0 x 邊長(zhǎng) 面積 2 x 直接觀測(cè)值 間接觀測(cè)值任給精度 ,

2、要求 Ax 2 確定直接觀測(cè)值精度 : 0 xx 0 x A x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 在點(diǎn) 0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 , ,0,0 當(dāng) 0 0 xx時(shí), 有 Axf)( 則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng) 0 xx 時(shí)的極限, Axf xx )(lim 0 或)()( 0 xxAxf當(dāng) 即 ,0,0當(dāng)),( 0 xx 時(shí), 有 假 設(shè) 記作 Axf)( Axf xx )(lim 0 幾何解釋幾何解釋: 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy 極限存在 函數(shù)局部有界 (P36定理2) 這表明: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

3、 例例1. 證明證明)(lim 0 為常數(shù)CCC xx 證證:Axf)(CC 0 故 ,0 對(duì)任意的 ,0 當(dāng) 0 0 xx時(shí) , 0CC 因而CC xx 0 lim 總有 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 證明證明1)12(lim 1 x x 證證: Axf)(1) 12(x12x 欲使,0 取, 2 則當(dāng)10 x時(shí) , 必有 1) 12()(xAxf 因而 ,)( Axf只要 , 2 1 x 1)12(lim 1 x x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 證明證明2 1 1 lim 2 1 x x x 證證:Axf)(2 1 1 2 x x 21 x 故,0取,當(dāng)1

4、0 x 時(shí) , 必有 2 1 1 2 x x 因而 2 1 1 lim 2 1 x x x 1 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 0 x 證證:Axf)( 0 xx 0 0 1 xx x 欲使 ,0 且 . 0 x 而0 x可用 0 xx 因而 ,)( Axf只要, 00 xxx 0 0 limxx xx .lim 0 0 xx xx 時(shí) 0 0 xx xx 故取 ,min 00 xx則當(dāng) 0 0 xx時(shí), 00 xxx保證 . 必有 ox 0 xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 保號(hào)性定理保號(hào)性定理 定理定理1 . 假設(shè)假設(shè),)(lim 0 A

5、xf xx 且 A 0 , ,),( 0 時(shí)使當(dāng)xx . 0)(xf )0)(xf 證證: 知知 ,)(lim 0 Axf xx 即,0, ),( 0 x 當(dāng) 時(shí), 有.)(AxfA 當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù) ,A 則在對(duì)應(yīng)的鄰域上 . 0)(xf ( 0) )(A 則存在 ( A 0 ) ),( 0 x ),( 0 xx ),( 0 x (P37定理3) 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy )0( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 AxfA)( :0A :0A 若取, 2 A 則在對(duì)應(yīng)的鄰域 上 假 設(shè) ,0)(lim 0 Axf xx 則存在使當(dāng) 時(shí), 有. 2 )(

6、 A xf 推論推論: 2 3 )( 2 A xf A 2 )( 2 3A xf A ),( 0 x , ),( 0 x ),( 0 xx (P37 推論) 0 x 0 x A A A x 0 x y )(xfy 分析分析: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理 2 . 若在若在 0 x的某去心鄰域內(nèi) 0)(xf )0)(xf , 且 ,)(lim 0 Axf xx 那么 . 0A )0(A 證證: 用反證法用反證法.則由定理 1, 0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知 所以假設(shè)不真, .0A (同樣可證0)(xf的情形) 考慮: 若定理 2 中的條件改為, 0)(x

7、f是否必有?0A 不能不能! 0lim 2 0 x x 存在 如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾, 故 時(shí),當(dāng)0)(xf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 左極限與右極限左極限與右極限 左極限 : )( 0 xfAxf xx )(lim 0 ,0,0當(dāng)),( 00 xxx 時(shí), 有.)( Axf 右極限 : )( 0 xfAxf xx )(lim 0 ,0,0當(dāng)),( 00 xxx 時(shí), 有.)( Axf 定理定理 3 . Axf xx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 ( P38 題8 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,1

8、 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . x y o 1 1 xy 1 1 xy 解解: 利用定理利用定理 3 .因?yàn)?)(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 顯然 , )0()0( ff 所以)(lim 0 xf x 不存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 XX A A ox y )(xfy A 二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,假 設(shè) ,0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則

9、稱常數(shù) 時(shí)的極限, Axf x )(lim)()(xAxf當(dāng)或 幾何解釋幾何解釋: AxfA)( XxXx或 記作 直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線 ,0 xxf當(dāng))( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 A 為函數(shù) 例例6. 證明證明. 0 1 lim xx 證證:0 1 xx 1 取 , 1 X ,時(shí)當(dāng)Xx 0 1 x 因而0 1 lim xx 注注: 就有 故,0欲使,0 1 x 即 , 1 x ox y x y 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 . 1 0的水平漸近線為 x yy x 1 x1 1 o y x x xg x xf 1 1 )(, 1 )( 直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 . 兩種特殊情況兩種特殊情況 : Axf x )(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)( Axf x )(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)( 幾何意義幾何意義 : 例如， 都有水平漸近線;0y xx xgxf21)(,21)( 都有水平漸近線. 1y 又如， o x y x 21 x 21 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 函數(shù)極限的或X定義及應(yīng)用 2. 函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理 與左右極限等價(jià)定理 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 若極