自動(dòng)控制理論 自考 習(xí)題解答第5章穩(wěn)定性分析

1、第五章 穩(wěn)定性分析51解：（1） 系統(tǒng)的特征方程為。因?yàn)槎A特征方程的所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足二階系統(tǒng)的穩(wěn)定的充分必要條件，即兩個(gè)特征根均在S平面的左半面，所以此系統(tǒng)穩(wěn)定。（2） 系統(tǒng)的特征方程為。因?yàn)槎A特征方程的項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)異號(hào)，不滿足二階系統(tǒng)的穩(wěn)定的充分必要條件，所以此系統(tǒng)不穩(wěn)定。（注：BIBO穩(wěn)定意旨控制系統(tǒng)的輸入輸出（外部）穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是輸出與輸入之間傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均在S平面的左半平面。若傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象時(shí)，內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定等價(jià)。此系統(tǒng)只含極點(diǎn)不含零點(diǎn)，所以傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和特征方程的特征根等價(jià)，故直接可以用特征根的位置判系統(tǒng)的穩(wěn)定性。）52解：（1）特征方程中所

2、有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；又三階系統(tǒng)的系數(shù)內(nèi)項(xiàng)乘積大于外項(xiàng)乘積（），滿足穩(wěn)定的充分條件。 該控制系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）特征方程中所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 特征方程中所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；列寫Routh表如下：S4139S315S29S10S09Routh表中第一列元素出現(xiàn)負(fù)號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且其符號(hào)變化兩次，故系統(tǒng)有兩個(gè)特征根在S平面的右半部。（3）特征方程中所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；又三階系統(tǒng)的系數(shù)內(nèi)項(xiàng)乘積小于外項(xiàng)乘積（），不滿足穩(wěn)定的充分條件。 該控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）特征方程中所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；列寫Routh表如下：S

3、6141012S56 (3)6 (3)14 (7)S412S3S212S1S012結(jié)論：表中第一列元素出現(xiàn)負(fù)數(shù)，不滿足穩(wěn)定的充分條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于第一列元素符號(hào)變化兩次，系統(tǒng)特征根有兩個(gè)在右半平面，其它4個(gè)根在左半平面。（5）特征方程中所有項(xiàng)系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；列寫Routh表如下：S512423S42 （1）48 （24）46 （23）S30 （1）0 （12）S223S1S023結(jié)論：表中第一列元素出現(xiàn)零元素，不滿足穩(wěn)定的充分條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于表中出現(xiàn)全為0的行，為確定特征根的分布可構(gòu)造輔助方程 利用輔助方程的導(dǎo)數(shù)方程的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)代替全零行元素，繼續(xù)完成表的列寫

4、。結(jié)果：第一列元素?zé)o負(fù)數(shù)，右半平面無根，有4個(gè)根在虛軸上。53解：（1）系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為-1、-2、-3，均在S平面的右半平面，所以開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的系數(shù)均大于零，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件；又有內(nèi)項(xiàng)系數(shù)乘積大于外項(xiàng)系數(shù)乘積，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。所以該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為0、-1、-2、-3，有一個(gè)在原點(diǎn)處，所以開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的系數(shù)均大于零，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件；列寫Routh表S411120S36 （1）6 （1）S2 （1）20 （2）S10S02 結(jié)論：表中第一列元素出現(xiàn)負(fù)號(hào)，不滿足穩(wěn)定的充分條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)

5、第一列元素符號(hào)變化情況，有2個(gè)特征根在S平面的右半平面，其它2個(gè)在S平面的左半平面。（3）系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為0、1、-5，其中一個(gè)在原點(diǎn)處，一個(gè)在右半平面，所以開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的系數(shù)均大于零，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件；又有內(nèi)項(xiàng)系數(shù)乘積大于外項(xiàng)系數(shù)乘積，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。所以該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。（4）系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為0、1、-3/2，其中一個(gè)在原點(diǎn)處，一個(gè)在右半平面，所以開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的系數(shù)不全大于零，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。若列寫Routh表可以確定根的分布。開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否是由系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的位置確定；而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否是

6、由系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置（或特征根的位置）確定。所以，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)不一定穩(wěn)定；開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)也不一定不穩(wěn)定。54解：（1） 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是；系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是；所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是。（2） 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是；系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是由得：由得：所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是。55解：（1） 系統(tǒng)的特征方程為 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是；系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是；所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是。（2）若希望系統(tǒng)的特征根具有穩(wěn)定裕量，則表示特征根不但在S平面的左半平面，且距虛軸有一個(gè)單位。設(shè)，做坐標(biāo)變換。得系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是；系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是；所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是。

7、56解：（1） 系統(tǒng)特征方程為所有項(xiàng)系數(shù)1，21，80，250大于0；赫爾維茨主行列式為；結(jié)論：滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2） 系統(tǒng)特征方程為所有項(xiàng)系數(shù)1，20，75，250，250大于0；赫爾維茨主行列式為；結(jié)論：滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。 jIm=0 -1 = Re jIm-1 = Re=057解： (a) (b)(a) 題為1型系統(tǒng)，則在原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Q開=1，開環(huán)傳遞函數(shù)不含右半平面極點(diǎn)，則P開=0。繪制輔助線：以原點(diǎn)為圓心、無窮大為半徑，起于實(shí)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90*Q開=90與奈氏曲線起點(diǎn)相連成封閉曲線。計(jì)算奈氏曲線與（-1，j0）點(diǎn)沿反時(shí)針方向

8、所引射線的正負(fù)穿次：順時(shí)針穿次數(shù)b=1，逆時(shí)針穿次數(shù)為a=0，則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P閉=P開-2（a-b）=2。結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)特征根在S平面的右半平面。（b） 題為2型系統(tǒng)，則在原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Q開=2，開環(huán)傳遞函數(shù)不含右半平面極點(diǎn)，則P開=0。繪制輔助線：以原點(diǎn)為圓心、無窮大為半徑，起于實(shí)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90*Q開=90*2=180與奈氏曲線起點(diǎn)相連成封閉曲線。計(jì)算奈氏曲線與（-1，j0）點(diǎn)沿反時(shí)針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時(shí)針穿次數(shù)b=1，逆時(shí)針穿次數(shù)為a=1，則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P閉=P開-2（a-b）=0。結(jié)論：該系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根在S平面的左半平面。58

9、jIm jIm jIm-1 = Re -1 = Re -1 = Re =0 =0 =0p=2 p=2 p=1(a) (b) (c) 解：（a） 奈氏曲線起于實(shí)軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Q開=0，不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點(diǎn)數(shù)為P開=2。計(jì)算奈氏曲線與（-1，j0）點(diǎn)沿反時(shí)針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時(shí)針穿次數(shù)b=1，逆時(shí)針穿次數(shù)為a=0。則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P閉=P開-2（a-b）=4。結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有4個(gè)特征根在S平面的右半平面。（b） 奈氏曲線起于實(shí)軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Q開=0，不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點(diǎn)數(shù)為P開=2

10、。計(jì)算奈氏曲線與（-1，j0）點(diǎn)沿反時(shí)針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時(shí)針穿次數(shù)b=0，逆時(shí)針穿次數(shù)為a=1。則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P閉=P開-2（a-b）=0。結(jié)論：該系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根在S平面的左半平面。（c） 奈氏曲線起于實(shí)軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為Q開=0，不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點(diǎn)數(shù)為P開=1。計(jì)算奈氏曲線與（-1，j0）點(diǎn)沿反時(shí)針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時(shí)針穿次數(shù)b=1，逆時(shí)針穿次數(shù)為a=0.5（起于射線為半穿）。則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P閉=P開-2（a-b）=1-2（0.5-1）=2。 結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)特征根在S平面的右半平面。5

11、9解：（1） 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為： 方法一：對(duì)應(yīng)的相角與幅值條件為：依據(jù)相角裕量和穿越頻率的計(jì)算公式得：方法二：依據(jù)相角裕量和幅值在不同頻段的近似計(jì)算公式得：注：穿越頻率剛好在轉(zhuǎn)折頻率處，計(jì)算誤差較大。若穿越頻率遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，計(jì)算精度較高。（2） 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：對(duì)應(yīng)的相角與幅值條件為：依據(jù)相角裕量和穿越頻率的計(jì)算公式得：注：若采用折線近似計(jì)算方法，由于穿越頻率剛好在轉(zhuǎn)折頻率處，可能產(chǎn)生的計(jì)算誤差較大。510解：（1） 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：對(duì)應(yīng)的相角與幅值條件為：根據(jù)增益裕量定義由相角條件得：dB，根據(jù)所在頻段，利用幅值近似計(jì)算公式得：（2） 根據(jù)穿越頻率和相角裕量定義得：幅值近似計(jì)算公

12、式為：由所在頻段，利用幅值近似計(jì)算公式得：511解：（1）繪制K=10時(shí)，系統(tǒng)的Bode圖為： L() dB-20 20 1 5 50 -40 -60() 5 50 -90 -180-270題5-11圖（1）（3） 繪制K=100時(shí)，系統(tǒng)的Bode圖為：L() dB -20 40 -401 5 50 -60() 5 50 -90 -180-270題5-11圖（2）注：開環(huán)增益變化，僅僅是上下移動(dòng)幅頻特性曲線，而相頻特性不變。（3）判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系統(tǒng)特方程為，規(guī)范化后得根據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是所以K=10時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，可以計(jì)算相角裕量與幅值裕量；K=100時(shí)，系統(tǒng)不

13、穩(wěn)定，不存在相角裕量與幅值裕量。（4）計(jì)算K=10時(shí)系統(tǒng)相角裕量與幅值裕量：l 計(jì)算穿越頻率根據(jù)穿越頻率所在頻段得：l 計(jì)算相角裕量l 相角等于-180時(shí)的角頻率l 計(jì)算幅值裕量512解：（1） 繪制系統(tǒng)Bode圖如下所示：L() dB 26.02 -20 -40K=2 K=20 6.021 5 -60() 1 5 -90 -180-270題5-12圖（2）判系統(tǒng)穩(wěn)定性：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是。該系統(tǒng)在K=2時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，在K=20時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）計(jì)算K=2穩(wěn)定系統(tǒng)的相角裕量和幅值裕量l 計(jì)算穿越頻率根據(jù)穿越頻率所在頻段得：l 計(jì)算相角裕量l 相角等于-180時(shí)的角頻

14、率l 計(jì)算幅值裕量513解：（1） 繪制開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖 兩個(gè)積分環(huán)節(jié)；兩個(gè)一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率分別為5、50；兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率分別為200、1000；（2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：從Bode圖上看出，無論K值增大或減小，只使系統(tǒng)的幅頻特性曲線上下移動(dòng)，但相頻特性曲線不變。由于該系統(tǒng)相頻特性曲線在-180線上方，且與-180線無交點(diǎn)，因此，該系統(tǒng)的幅值裕量始終為無窮，相角裕量始大于零，所以無論K何值系統(tǒng)均穩(wěn)定。 L（）-401 5 10 50 100 200 1000 -200 -20 （） -40 0 -90 -180 題5-13 圖 題5-13圖514解：（1） 穩(wěn)定性分析：系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是該系統(tǒng)在K=10、20、40