現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)

1、第十一章第十一章 現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù) 這里只介紹時(shí)頻分析、高階譜分析、小波分析和獨(dú)立成 分分析及其在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 時(shí)頻分析時(shí)頻分析(Time-Frequency Analysis) 一、時(shí)頻分析的基本方法 一般來(lái)說(shuō), 時(shí)頻分析方法具有很強(qiáng)的能量聚集作用, 不需知道信號(hào)頻率隨時(shí)間的確定關(guān)系, 只要信噪比足 夠高, 通過(guò)時(shí)頻分析方法就可在時(shí)間頻率平面上 得到信號(hào)的時(shí)間頻率關(guān)系。時(shí)頻分析主要用來(lái)尋找信 號(hào)的特征。時(shí)頻分析方法主要采用一些特殊的變換來(lái) 突出信號(hào)的特征點(diǎn),在非平穩(wěn)信號(hào)的處理中具有突出的 優(yōu)越性。 二、短時(shí)傅立葉變換二、短時(shí)傅立葉變換(Short T

2、ime Fourier Transform , STFT ) 我們將一個(gè)信號(hào)的STFT定義如下: (11-1) 其中h(t) 是窗函數(shù). 沿時(shí)間軸移動(dòng)分析窗, 我們可以得到 兩維的時(shí)頻平面。STFT 方法最大的優(yōu)點(diǎn)是容易實(shí)現(xiàn)。 STFT 分析實(shí)質(zhì)上是限制了時(shí)間窗長(zhǎng)的Fourier分析. STFT只能選定一個(gè)固定的窗函數(shù), 且STFT 分析受限于 不確定性原理, 較長(zhǎng)的窗可以改善頻域解但會(huì)使時(shí)域解 變?cè)? 而較短的窗盡管能得到好的時(shí)域解, 頻域解卻會(huì)變 得模糊。 1 ( , )( ) () 2 i t Stesht d 三、三、Wigner-Ville 分布分布(WVD) 實(shí)際信號(hào)s(t) 的W

3、igner-Ville 分布定義為: (11-2) 式中: x(t)為s(t)的解析信號(hào)。 在Wigner-Ville 分布中使用解析信號(hào)x(t)而不是 原實(shí)際信號(hào)s(t)的優(yōu)點(diǎn)在于: 第一,解析信號(hào)的處 理中只采用頻譜正半部分,因此不存在由正頻率 項(xiàng)和負(fù)頻率項(xiàng)產(chǎn)生的交叉項(xiàng)；第二,使用解析信 號(hào)不需要過(guò)采樣,同時(shí)可避免不必要的畸變影響。 * ( , )() () 22 j WVD tx tx ted 四、四、Choi-Williams 分布分布(CWD) WD分布來(lái)源于廣義時(shí)頻分布，定義為： (11-3) 2 2 () * 4 2 ( , )() () 422 t u j CWD tex ux

4、 uedud 通常,在處理幅度和頻率變化較大的信號(hào)時(shí)取較大的R(R1) 值;反之,則取較小R(R1) 值。CWD滿足多數(shù)所希望的時(shí) 頻特性,其抑制交叉項(xiàng)的能力還取決于被分析信號(hào)的時(shí)頻 結(jié)構(gòu)。因此,實(shí)際應(yīng)用中需要綜合考慮。 五、五、Cone 核分布核分布(CKD) 等等 當(dāng)核函數(shù) 時(shí)，廣義時(shí)頻分布進(jìn) 一步變成Cone核分布： (11-4) 式中， 。 21 (, ) 0 et t 其 它 2 * 1 ( , )() () 22 j CKD tex ux uedud t CKD 具有較好的抑制橫向交叉項(xiàng)的能力, 適合處理這樣的 信號(hào), 即在一個(gè)小的范圍內(nèi)頻率分布是正值, 而在此之外頻 率分布是負(fù)值

5、, 參數(shù)R確定范圍的大小。 六、六、Hilbert變換與瞬時(shí)頻率變換與瞬時(shí)頻率 對(duì)任意時(shí)間序列x(t), 可得到它的Hilbert 變換: (11-5) 定義瞬時(shí)頻率為: (11-6) 定義了瞬時(shí)頻率, 就可以得到信號(hào)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的頻率變化 情況。比起傳統(tǒng)的小波分析等方法, 這種計(jì)算頻率的方法 不再受限于不確定性原理（還比如傅氏變換）。然而需要 指出的是, 瞬時(shí)頻率是時(shí)間的單值函數(shù), 因而在任意給定時(shí) 刻只有一個(gè)頻率值, 也就是說(shuō)它只能描述一種成份。對(duì)于 單成份的信號(hào), 它才能夠給出比小波分析更為精確的時(shí)頻 描述。 ( ) ( ) dt t dt 1( ) ( ) x t y tPdt tt 第

6、二節(jié)第二節(jié) 高階譜分析高階譜分析 采用高階累計(jì)量方法處理生理信號(hào)，它的主要優(yōu)點(diǎn)有： 抑制加性有色噪聲；辨識(shí)非最小相位系統(tǒng)；抽 取由于高斯性偏離引起的各種信息；既包含幅度信 息又包含相位信息。 利用高階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行頻譜分析，存在著經(jīng)典法和參 數(shù)模型法。經(jīng)典法利用快速傅里葉變換及加窗技術(shù)進(jìn) 行譜估計(jì)，要求有較長(zhǎng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，否則，估計(jì)的方 差很大且分辨率低，根源還是傅立葉變換的缺點(diǎn)。針 對(duì)這一情況，多采用基于三階累積量的非高斯AR模型 法進(jìn)行參數(shù)化雙譜估計(jì)。 與功率譜分析比較，運(yùn)用基于高階累計(jì)量的譜估 計(jì)算法估計(jì)信號(hào)，消除了高斯噪聲的影響，使估計(jì)結(jié) 果更準(zhǔn)確，并且保留了信號(hào)的相位特性，提供更多的 內(nèi)在

7、信息。 第三節(jié)第三節(jié) 小波分析基礎(chǔ)小波分析基礎(chǔ) 小波分析包括小波變換到小波基的構(gòu)造以及小波的應(yīng)用一系列的知識(shí)， 本節(jié)簡(jiǎn)單地介紹一下小波分析的產(chǎn)生、發(fā)展、基本要素以及一維小波 變換，連續(xù)小波變換等小波基礎(chǔ)。 一、小波的引入 小波分析是傅立葉分析最輝煌的繼承、總結(jié)和發(fā)展。 1. Fourier1. Fourier變換變換 1822年，F(xiàn)ourier正式出版推動(dòng)世界科學(xué)研究進(jìn)展的巨著 熱的解析理論（The Analytic Theory of Heat）。由于 這一理論成功地求解了困擾科學(xué)家150年之久的牛頓二體問(wèn) 題微分方程，因此Fourier分析成為幾乎每個(gè)研究領(lǐng)域科學(xué) 工作者樂(lè)于使用的數(shù)學(xué)工具

8、，尤其是理論科學(xué)家。目前， Fourier的思想和方法得到廣泛應(yīng)用。 2. Fourier分析的主要內(nèi)容分析的主要內(nèi)容 從本質(zhì)上講，F(xiàn)ourier變換就是一個(gè)棱鏡（Prism），它把一 個(gè)信號(hào)函數(shù)分解為眾多的頻率成分，這些頻率又可以重構(gòu) 原來(lái)的信號(hào)函數(shù)，這種變換是可逆的且保持能量不變。 圖11-1 傅立葉變換與棱鏡 二、小波分析的發(fā)展歷程二、小波分析的發(fā)展歷程 1.1.小波分析起源與追蹤小波分析起源與追蹤 1981年，Morlet仔細(xì)研究了Gabor變換方法，對(duì) Fourier變換與加窗Fourier變換的異同、特點(diǎn)及函數(shù)構(gòu) 造做了創(chuàng)造性研究，首次提出了“小波分析”概念， 建立了以他的名字命名

9、的Morlet小波。 2. 多分辨分析及多分辨分析及Mallat算法的建立算法的建立 Mallat與Meyer創(chuàng)立多分辨分析和Mallat算法。 3. Daubechies小波的提出小波的提出 Daubechies建立了著名的Daubechies小波，這種小波是 目前應(yīng)用最廣泛的一種小波,不能用解析公式給出， 只能通過(guò)迭代方法產(chǎn)生，是迭代過(guò)程的極限。 三、小波分析的基本思想、基本原理與基本方法三、小波分析的基本思想、基本原理與基本方法 1 小波分析的主要內(nèi)容小波分析的主要內(nèi)容 小波基的構(gòu)造與選擇，快速小波算法 ,對(duì)小波變換本身的研究 ,對(duì)應(yīng)用 場(chǎng)合的合理把握. 定義 函數(shù)(t)是小波函數(shù)，如果

10、它滿足 （11-16） 或者 定義（11-16）對(duì)小波函數(shù)的要求非常寬松，只要具有一 定振蕩性即某種頻率特性即可。這就為小波函數(shù)的選擇提 供了十分廣闊的空間。小波函數(shù)（t）的平移和伸縮2- j/2（2-jt-k）|j,kZ 構(gòu)成L2（R）的一組正交小波基。 2 小波函數(shù)小波函數(shù) 2 ( ) o Cd ( )0t dt 3 尺度函數(shù)尺度函數(shù) 定義函數(shù)是尺度函數(shù)，如果它滿足條件 （） A，B為正常數(shù)。 （） kZ，k0，m0，1，.，L1。 （III） 尺度函數(shù)有兩個(gè)重要作用：（1）它給出分析的起始點(diǎn)；（2） 它使得快速計(jì)算小波系數(shù)成為可能。 2 0(2) k Z AkB () (0 )1,( 2

11、)0 m k ( )( ) (2) k Z th ktk 4 小波包小波包 不嚴(yán)格地講，小波包就是一個(gè)小波函數(shù)與一個(gè)擺動(dòng)振蕩函數(shù) 的乘積。小波包的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義如下 : 定義: 設(shè)（t）, （t）分別為小波函數(shù)與尺度函數(shù)，g(n),h(n) 分別為高通濾波器與低通濾波器系數(shù)，g(n)=（-1）nh（1-n）， 令 (11-21) 于是有 (11-22) 則由 (11-23) 定義的函數(shù)n,n=2+1,=0,1,稱為關(guān)于正交尺度函數(shù) 0= 的小波包。 0 1 () ()() () t tt t 00 10 ( )( )(2) ( )( )(2) n n th ntn tg ntn 2 21 ()(

12、2) ()(2) n n h ntn g ntn 四、一維小波分析四、一維小波分析 1 小波變換小波變換 小波變換指信號(hào)與局部化特性良好的小波函數(shù)的內(nèi)積， 即 。 設(shè)信號(hào) ， 為母小波函數(shù)， 。 a是非零實(shí)數(shù)，b是實(shí)數(shù)。那么的小波變換為 (11-24) 如果為實(shí)函數(shù)，那么上式變成 (11-25) , ( ),( )( )( ) a ba b f ttf tt dt 2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 2 ( )( )f tL R( ) t 1 2 , ( )() a b tb ta a 1 2 , ( , )( , )( ),( )( )() ab t b Wf abCWT abf ttf t ad

13、t a 1 2 , ( , )( , )(),()() () ab t b Wf abCWT abf ttaf tdt a 假定 、 的窗函數(shù)的中心與半徑分別為 ， ， 則 及其Fourier變換的窗函數(shù)中心與半徑分別 為 ， ， 于是連續(xù)小波變換就形成了對(duì)時(shí)間t和頻率w能同時(shí)局部化的 時(shí)間頻率窗 這就是著名的連續(xù)小波變換時(shí)間頻率窗。正因?yàn)槿绱耍?波可以在時(shí)頻（t，w）兩相精確定位，而被譽(yù)為數(shù)學(xué)的顯 微鏡。 * (,)t * (,) () tb a * (,)bat a * 1 (,) aa ( ) t ( ) 88 * 11 , ,b atab ata aaaa 3 離散小波變換離散小波變

14、換 設(shè)信號(hào) 取離散值 ， 為有限能量信號(hào)， 為母小波函 數(shù)， ，則離散式 ， 那么離散小波變換為： (11-27) ()f t( )f k( )f k ( ) t 2 , ( )2(2) m m m n ttn 2 , ( )2(2) m m m n kkn /2 ( , )2( ) (2) mm k DWTfDWT m nf kkn 4 一維一維Mallat算法算法 設(shè)尺度函數(shù)為 ，對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為 ，滿足尺度方程 其中 ，同時(shí)可以構(gòu)造相應(yīng)的MRA系統(tǒng)。那么 信號(hào) 在尺度j下所平滑的信號(hào) 為 (11-29) ( ) x ( )( ) (2) ( )( ) (2) n n xh nxn xg

15、nxn 1 ( )( 1)(1) n g nhn ()f x d j A f /2 , ( ),( )2( ) (2) djj jj k A ff xxf xx k dx ( ) x 在尺度j下的細(xì)節(jié)信號(hào) 為 (11-30) 信號(hào)分解的過(guò)程是j1尺度到j(luò)尺度的逐步分解過(guò)程，即對(duì) 信號(hào)從分辨率高到低的過(guò)程，具體是把 分解為 和 ，總結(jié)如下： (11-31) j D f /2 , ( ),( )2( ) (2) jj jjk Dff xxf xx kdx 1 d j A f d j A fj D f 1 1 (2 ) (2 ) dd jj k d jj k A fh kn Af D fg kn A

16、f 第五節(jié)第五節(jié) 獨(dú)立成分分析技術(shù)獨(dú)立成分分析技術(shù) 一、ICA的定義 假設(shè)我們獲得了n個(gè)線性混合信號(hào)： j=1n （11-34） 即： （11-35） 混合向量x1，xn構(gòu)成矩陣X，s1，sn構(gòu)成矩陣S，混合矩 陣A的元素是aji。那么（11-35）式可以寫成： （11-36） 方程（11-36）的統(tǒng)計(jì)模式被稱為獨(dú)立成份分析或ICA模式， 1 122 . jjjjnn xa sasa s 1 n jjii i xas XAS 圖11-5 ICA混合模式 圖11-6 分離獨(dú)立成份模式 二、獨(dú)立性二、獨(dú)立性 數(shù)學(xué)上，獨(dú)立性可以由概率密度來(lái)解釋。令p(y1,y2)為聯(lián) 合概率密度函數(shù)，p(y1)為邊

17、緣概率密度函數(shù)，那么： （11-38） 同理可得p(y2)。變量y1和y2相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下式： （11-39） 11122 ()(,)pypyydy 121122 (,)()()p y yp y py 四、四、ICA估計(jì)的原理估計(jì)的原理 非高斯就是獨(dú)立的非高斯就是獨(dú)立的 直觀地講估計(jì)直觀地講估計(jì)ICA模型的關(guān)鍵就是非高斯性模型的關(guān)鍵就是非高斯性。 2. 峰度值（峰度值（Kurtosis） 經(jīng)典的測(cè)量非高斯性就是峰度值（kurtosis）或四階累 積量。y的峰度值定義為： （11-43） 3. 負(fù)熵（負(fù)熵（Negentropy）和負(fù)熵近似（）和負(fù)熵近似（Approximations of

18、 Negentropy） 負(fù)熵負(fù)熵 在某些簡(jiǎn)單假設(shè)下熵就是隨機(jī)變量的編碼長(zhǎng)度熵就是隨機(jī)變量的編碼長(zhǎng)度。 離散隨機(jī)變量Y的熵H 定義為： （ 1 1 - 46） ai是Y的可能值。 422 ( )3( )kurt yE yE y ( )()log() ii i H YP YaP Ya 隨機(jī)向量y及其密度f(wàn)(y)的微熵定義為： （11-47） 信息理論的一個(gè)基本結(jié)論是：在所有相同方差下的隨機(jī)變?cè)谒邢嗤讲钕碌碾S機(jī)變 量中，高斯變量有最大的熵量中，高斯變量有最大的熵。 為了讓獲得的非高斯性測(cè)量一直為非負(fù)值（高斯變量為0）， 我們經(jīng)常采取對(duì)微熵的形式做一修改的辦法，稱為負(fù)熵。 負(fù)熵J定義為： （11

19、-48） ygauss是與y具有同樣協(xié)方差矩陣的高斯隨機(jī)變量?？梢?jiàn)負(fù)熵 一直非負(fù)，當(dāng)且僅當(dāng)y是高斯分布是為0。負(fù)熵的另一個(gè) 有意義的特性是它對(duì)可逆線性變換無(wú)變化。 ( )( )log( )H yfyfy dy ( )()( ) gauss J yH yH y (2) 負(fù)熵近似負(fù)熵近似 4 互信息量最小化互信息量最小化 互信息量互信息量 (3) 互信息量定義的互信息量定義的ICA (1) 既然互信息量是隨機(jī)變量獨(dú)立性的信息理論測(cè)量法， 我們就可以用之作為尋找ICA變換的判句。 近似負(fù)熵的經(jīng)典方法是采用高階矩。 采用微熵的概念定義m（尺度）隨機(jī)變量的互信息量為： （11-53） 互信息量是隨機(jī)變量

20、間獨(dú)立的自然測(cè)量。事實(shí)上它等效于聯(lián)合 密度f(wàn)(y)和邊緣密度乘積之間的著名Kullback-Leibler分散。它它 為零，當(dāng)且僅當(dāng)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立為零，當(dāng)且僅當(dāng)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 12 1 ( ,.,)( )( ) m mi i I y yyH yH y 5 極大似然估計(jì)極大似然估計(jì) 一個(gè)更常用的估計(jì)ICA模型的方法是極大似然估計(jì)，它與信息 極大原理密切相關(guān)。 (1) 信息極大原理信息極大原理 假設(shè)x是輸入，輸出的格式是，是一些非線性尺度函數(shù)，wi是 神經(jīng)元的權(quán)向量。使輸出的熵最大化： （11-58） 如果選擇得當(dāng)，這個(gè)框架也能夠估計(jì)ICA模式。可以證明網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) 熵最大化或信息極大原理相當(dāng)于極大似然

21、估計(jì)熵最大化或信息極大原理相當(dāng)于極大似然估計(jì)。顯然極大 似然估計(jì)ICA的原理就是求解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的最大熵，也是 一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。 (2) 極大似然估計(jì)與互信息量的聯(lián)系極大似然估計(jì)與互信息量的聯(lián)系 211 (),.,() TT nn LHw xw x 為了考察極大似然估計(jì)和互信息量間的聯(lián)系，考慮對(duì)數(shù)似 然（方程11-57）的期望： （11-59） 如果fi等于的實(shí)際分布（因?yàn)槲覀兤鹣燃僭O(shè)它為si的分布）， 上式左邊第一項(xiàng)等于，因此似然等于負(fù)的互信息量加一 個(gè)額外的常數(shù)。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，這種聯(lián)系更強(qiáng)烈。因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中我們不 知道獨(dú)立成份的分布。作為極大似然估計(jì)的一部分，用 一個(gè)合理的方法估計(jì) 的密度，并用它作為si的密度 的近似，此時(shí)似然法和互信息對(duì)于所有的實(shí)際目的是等 效的。 1