淺析傅立葉級數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用

1、河河 南南 科科 技技 學(xué)學(xué) 院院 20142014屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 論文題目：論文題目：淺析傅立葉級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用淺析傅立葉級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 學(xué)生姓名：學(xué)生姓名： 郭海山郭海山 所在院（系）：所在院（系）： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 所學(xué)專業(yè)：所學(xué)專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 導(dǎo)師姓名：導(dǎo)師姓名： 張振亮張振亮 完成時間：完成時間： 2014年年5月月1日日 淺析傅立葉級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用淺析傅立葉級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 摘要摘要 傅立葉級數(shù)理論經(jīng)歷了近兩百年的發(fā)展后已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心研究領(lǐng) 域之一。一方面，它與偏微分方程論、復(fù)變函數(shù)論、概率論、代數(shù)及拓

2、撲等許 多數(shù)學(xué)分支都有密切關(guān)系。另一方面，它是工程技術(shù)、經(jīng)典物理及量子力學(xué)等 學(xué)科中的重要工具，它在熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、醫(yī)學(xué)、空氣動力學(xué)、仿生學(xué)、 生物學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。傅立葉級數(shù)理論的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大 事件。它的產(chǎn)生徹底平息了關(guān)于弦振動問題的爭論，同時引領(lǐng)數(shù)學(xué)分析走向嚴(yán) 格化。傅立葉級數(shù)越來越廣泛應(yīng)用在各個學(xué)科領(lǐng)域中，也越來越廣泛應(yīng)用到了 實(shí)際社會生活的各個領(lǐng)域中。 關(guān)鍵詞：傅立葉級數(shù)， 運(yùn)算， 性質(zhì)， 應(yīng)用 analysisanalysis thethe propertiesproperties andand applicationapplication 0f0f fouri

3、erfourier seriesseries abstractabstract fourier series theory after nearly two hundred years of development has become one of the core research field of modern mathematics. on the one hand, there are very close relationship between it with theory of partial differential equations, complex function t

4、heory, probability theory, algebraic topology, and many other branchs of mathematics. on the other hand, it is an important tool in classic physics and quantum mechanics, engineering technology, also, it have a wide range of applications in thermodynamics, optics, electromagnetism, medicine, aerodyn

5、amics, bionics, biology and other fields. the generation of fourier series theory is a major event in the history of the development of mathematics. the appearance of fourier series completely settled the argument over of string vibration problem, at the same time, lead to the normalization of mathe

6、matical analysis. fourier series is more and more widely used in various disciplines, and is being more and more widely applied to each field of the actual social life. keyword：fourier series , operation , property , application 目錄目錄 1.引言.1 2.傅里葉級數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì).1 2.1三角級數(shù)和正交函數(shù)系.1 2.2以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù).32 2.3任一

7、周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開.4 3.傅里葉級數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.4 3.1傅立葉級數(shù)在電工學(xué)中應(yīng)用 .5 3.2傅里葉級數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用.7 3.3傅里葉級數(shù)在數(shù)字信號上的應(yīng)用.8 3.4傅立葉級數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和方面的應(yīng)用.10 4.結(jié)論.13 參考文獻(xiàn).14 致謝.15 1.1.引言引言 傅里葉級數(shù)得名于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫傅里葉(1768年 1830年)，他提出任何函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)。三角級數(shù)展開思想最早出現(xiàn) 在18世紀(jì)初期，它是與弦振動和其它類似物理現(xiàn)象的研究相聯(lián)系的，可那時人 們并沒有給出系統(tǒng)的研究。直到1808年，fourier寫出著名著作熱的解析理論 后，三角形級數(shù)展開才邁出了

8、真正重要的一步。人們最熟悉的簡單函數(shù)無 1 非兩類：冪函數(shù)和三角函數(shù)。英國數(shù)學(xué)家taylor在17世紀(jì)初找到了用冪函數(shù)的 線性組合表示一般函數(shù)的方法，即通過taylor展開將函數(shù)化成冪級數(shù)形式(x)f 。經(jīng)過理論的完善之后，它很快成為了微分學(xué)（乃至整個函數(shù)論）的重要工具 之一。 2 本文即是通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識后,總結(jié)并探討了傅里葉級數(shù)在 電工學(xué)、概率論、數(shù)字信號等方面的實(shí)際應(yīng)用。 2.2.傅里葉級數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)傅里葉級數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì) 2.1三角級數(shù)和正交函數(shù)系三角級數(shù)和正交函數(shù)系 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會碰到一種周期運(yùn)動。最簡單的 周期運(yùn)動，可用正弦函數(shù) （1

9、）sin()yawx 來描寫。由（1）所表達(dá)的周期運(yùn)動也稱為簡諧振動，其中為振幅，為初相a 角，為角頻率，于是簡諧振動的周期是。較為復(fù)雜的周期運(yùn)動，則y 2 t w 常是幾個簡諧振動 ， sin() kkk yakwx1,2,nk 的疊加 . (2) 11 sin() nn kkk kk yyakwx 由于簡諧振動的周期為，所以函數(shù)（2）的周 k y 2 (t) t kw 1,2,nk 期為。t 對無窮多個簡諧振動進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù) (3) 0 1 sin() nn n aanwx 若級數(shù)（3）收斂，則它所描述的是更為一般的周期運(yùn)動現(xiàn)象。對于級數(shù) 3 （3），我們只要討論=1（如果，可用

10、代替）的情形。由于w1w wxx ,sin()sincoscossin nnn nxnxnx 所以 0 1 sin() nn n aanx =. 0 1 (sincosa cossin) nnnn n aanxnx (3) 記， 0 0 2 a a sin nnn aacos nnn ab1,2,n 則級數(shù)可寫成 (3) , (4) 0 1 (cossin) 2 nn n a anxbnx 它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系） (5)1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx 所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù)。 容易驗(yàn)證，若三角函數(shù)（4）收斂，則它的和一定是一個

11、以為周期的函2 數(shù)。 關(guān)于三角函數(shù)（4）的收斂性有如下定理： 定理1.1 .1 若級數(shù) 0 1 () 2 nn n a ab 收斂，則級數(shù)（4）在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。 為進(jìn)一步研究三角級數(shù)（4）的收斂性，我們先討論三角函數(shù)系（5）具有 哪些特性。 首先容易看出，三角函數(shù)系（5）中所有函數(shù)具有共同的周期。2 其次，在三角函數(shù)系（5）中，任何兩個不相同的函數(shù)的乘積在上, 的積分都等于零，即 ， （6）cossin0nxdxnxdx ()coscos0(),mxnxdxmn 7 ()sinsin0(),mxnxdxmn 7 （）cossin0mxnxdx 7 而（5）中任何一個函數(shù)的平方在

12、上的積分都不等于零，即, ， （） 22 cossinnxnxdxdx 8 （） 2 12dx 8 若兩個函數(shù)與在上可積，且a,b ，( )0 b x a x dx 則稱函數(shù)與在上是正交的，由此，三角函數(shù)系（5）在上具a,ba,b 有正交性，或稱（5）是正交函數(shù)系。 2.2以以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)2 應(yīng)用三角函數(shù)系（5）的正交性，我們討論三角級數(shù)（4）的和函數(shù)與級f 數(shù)（4）的系數(shù)之間的關(guān)系。 0, , nn a ba 定理1.2.1 若在整個數(shù)軸上 0 1 (cossin) 2 ( ) nn n a anxbnxf x (9) 且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系

13、式： ， () 1 ( )cos n f xnxadx 0,1,2,n 10 ， （） 1 ( )sin n bf xnxdx 1,2,.n 10 一般地說，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則按公式（10f2, ）計(jì)算出的和稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里 n a n bff 葉級數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)（9）稱為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級數(shù)，記作f (12) 0 1 ( ) (cossin) 2 nn n a f xanxbnx 這里記號“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。由定理1.2知道： 若（9）式右邊的三角級數(shù)在整個數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)，則此三角級數(shù)f 就是的傅里葉級

14、數(shù)，即此時（12）式中的記號“”可換為等號。f 例1求的傅里葉級數(shù)。 1,x,0 ( ) 0,x0, f x 解 先計(jì)算的傅里葉系數(shù)。( )f x ， 0 1 ( )1af xdx 對1,2,n ， 00 111 ( )coscossin0 n af xnxnxdxnx n dx ， 00 111( 1)1 ( )sinsincos n n bf xnxnxdxnx nn dx 于是得到的傅里葉級數(shù)( )f x ( )f x 1 11( 1)1sin 2 n n nx n =。 12sin3sin5sin(2k 1) (sin) 23521 xxx x k 2.3任一周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開任

15、一周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 如果的周期為，作變換，則( )f x2t t xt ( )()( ) t tftf x 是定義在上的周期為的函數(shù)。由傅里葉級數(shù)展開可以得到(,) 2 ， 0 1 ) (cossin) 2 nn n a tantbnt 變量代換 。 0 1 ( ) (cossin) 2 nn n ann f xaxbx tt 傅里葉系數(shù)為 ， 11 ( )cos( )cos t n t n atntdtf xxdx tt 0,1,2,n ，。 11 ( )sin( )sin t n t n btntdtf xxdx tt 1,2,n 3.3.傅里葉級數(shù)的實(shí)際應(yīng)用傅里葉級數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

16、傅里葉級數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中重要的一節(jié)，是最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)。隨著科學(xué)技 術(shù)的發(fā)展，傅里葉級數(shù)的應(yīng)用越來越廣泛。下面就將其應(yīng)用簡單論述。 x y 0 3.1傅立葉級數(shù)在傅立葉級數(shù)在電電工工學(xué)學(xué)中中應(yīng)應(yīng)用用 由數(shù)學(xué)分析課程已知，按照傅立葉級數(shù)的定義，周期函數(shù)可由三角 3 ( )f t 函數(shù)的線性組合來表示，若的周期為，角頻率，頻率，( )f t 1 t 1 1 2 w t 1 1 1 f t 傅立葉級數(shù)展開表達(dá)式為 01111212111 ( )cos()sin()cos(2)sin(2)cos()sin() nn f taawtbwtawtbwtanwtbnwt 011 1 cos()sin() nn

17、 n aanwtbnwt 由電工學(xué)知識可知，一個非正弦周期波可以由直流分量和一系列頻率為整 數(shù)倍關(guān)系的正弦波合成，因此，一個非正弦周期波也可分解為直流分量和一系 列頻率為整數(shù)倍的正弦波分量，即諧波分量。如上式中就是函數(shù)在周期 0 a( )f t 區(qū)間內(nèi)的平均值，亦即直流分量。當(dāng)為1時，和合成一n 1cos( )an t 1sin( )bn t （角）頻率為的正弦分量，稱為基波分量，稱為基波頻率。當(dāng)大于 2 t n 1時， 和合成一頻率為的正弦分量，稱為次諧波分量，cos() n an tsin() n bn tnnn 稱為次諧波頻率。由級數(shù)知識知道，凡滿足狄里克雷條件的非正弦周期函n 4 數(shù)，

18、都可以用傅立葉級數(shù)展開，分解為一個直流分量和一系列頻率是非正弦周 期函數(shù)頻率整數(shù)倍的正弦波分量，這種過程就稱為諧波分析。 例1 某可控硅控制電流中的負(fù)載電流為 0 0 0,0, ( ) 5sin, tt i t wt ttt 其中為頻率，周期?，F(xiàn)設(shè)初始導(dǎo)通時間，求在上w 2 t w 0 8 t t ( )i t0, 的傅里葉級數(shù)。 解 ， 0 0 25( 22) ( ) 2 t af x dx t 1 0 22 ( )cos t x af xdx tt ，。 2 51(1)1(1)2 coscos 214141 nn nnn (2,3,4,)n 55535 ( ) (22)cos()sin 4

19、448 f xwtwt i 0 t 2 2 51(1)1(1)2 coscoscos 214141 n nn nwt nnn 。 2 2 51(1)1(1)2 sinsinsin 214141 n nn nwt nnn 例2 設(shè)交流電的變化規(guī)律為,將它轉(zhuǎn)化為直流電的整流過程有兩種類( )sine tawt 型： （a ） ()b （1）半波整流（上圖） ； 1( ) (sinsin) 2 a f twtwt （2）全波整流（下圖） ; 2( ) sinf tawt 現(xiàn)取，試將和在展開成級數(shù)。1w 1( ) f x 2( ) fx, fourier 解（1）， 01 12 ( ) a af x

20、dx ， 1 2 12 ( )cos (1) n a af xnxdx n (2,4,6,)n ，； 1 1 ( )cos0 n af xnxdx (1,3,5,)n ， 11 1 ( )sin 2 a bf xxdx ，。 1 1 ( )sin0 n bf xnxdx (2,3,4,)n 。 1 2 1 2cos2 ( ) sin 241 k aaakx f xx k （2） ， 02 14 ( ) a afx dx ， 2 2 14 ( )cos (1) n a afxnxdx n (2,4,6,)n ； 2 1 ( )cos0 n afxnxdx (1,3,5,)n ，。 2 1 ( )

21、sin0 n bfxnxdx (1,2,3,)n 。 2 2 1 24cos2 ( ) sin 241 k aaakx fxx k 3.2傅里葉級數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用傅里葉級數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用 雅各布 伯努利（，1654- bernouli 1705）是瑞士著名的數(shù)學(xué)家。他對無窮數(shù)很有研究，但有一個無窮級數(shù)求和卻 難倒了他，這個級數(shù)是： 2222 1111 1234 伯努利到死也沒有求出這個級數(shù)的和。后來，大數(shù)學(xué)家歐拉（，1707-euler 1783）用類似的方法求出了這個級數(shù)的和。不過，歐拉的方式雖然很巧妙，但 有其不太嚴(yán)格的地方。歐拉的方法我們就不在贅述。 5 我們用傅里葉級數(shù)來計(jì)

22、算這個級數(shù)的和，考慮建立這樣一個周期為的周2 期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為：, ,0, ( ) 0,0. xx f x x 該函數(shù)滿足收斂定理的條件。現(xiàn)在我們來計(jì)算它的傅里葉級數(shù)： 2 0 0 11 ( ) 2 x af x dxxdx 0 2 111 ( )coscos(1cos) x n af xnxdxxnxdxnx n 2 2 ,1,3,5, 0,2,4,6. n n n 。 1 0 11( 1) ( )sinsin n n bf xnxdxxnxdx n 將求得的系數(shù)代入，我們得到該函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開式為： 222 2 11111 ( )(coscos3cos5)(sinsin2si

23、n3).(,1, 3, 5,) 413523 f xxxxxxxxxkk 現(xiàn)在我們來考慮的情況：當(dāng)時，函數(shù)0 x 0 x 。 222 2111 ( )0() 4135 f x 整理得：。 222 2 111 1358 現(xiàn)在我們再建立起另一個周期為的函數(shù)，令其在上的表達(dá)式為2, 。函數(shù)在處處連續(xù)，滿足收斂定理的條件，且 2 ( )f xx 2 ( )f xx()x 處處收斂于。又由于為偶函數(shù)，所以其傅里葉系數(shù) 2 ( )f xx 2 ( )f xx0 n b ，其他傅里葉系數(shù)計(jì)算如下：(1,2,3,)n 2 2 0 00 222 ( ) 3 af x dxx dx ， 2 002 224 ( )

24、coscos( 1)n n af xnxdxxnxdx n (1,2,3,)n 把系數(shù)代入，我們得到： ， 22 2 2 11 ( )4( coscos2cos3) 323 f xxnxxx ()x 現(xiàn)在我們?nèi)钥紤]的情況,當(dāng)時，我們有：0 x 0 x 。 22 2 2 11 ( )04( 1) 323 f xx 整理得：。 22 2 11 1 2312 上面我們已經(jīng)計(jì)算出：，于是根據(jù) 222 2 111 2358 ， 22 2 11 1 2312 我們可以輕易地得到：。綜合這兩個結(jié)果，我們就得 222 2 111 24624 到伯努利難題的正確的解：。 222 2 111 1246 3.3傅里

25、葉級數(shù)在數(shù)字信號上的應(yīng)用傅里葉級數(shù)在數(shù)字信號上的應(yīng)用 對于如周期矩形脈沖信號、對稱方波信號、對稱三角波性信號等波形， 6,7 它們的函數(shù)都可以展開為傅里葉級數(shù)的形式，經(jīng)過簡單變換后可寫成：()f wt 或的形式，其中，()( )cos() n i f wtr nnwt ()( )sin() n i f wtr nnwt 6,7 ，為非正、余弦項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)）。通過變換求出 0 ()()f wtf wtg 0 gmobius 的正交函數(shù)族或者 ()f wt()()cos() k m k k f wtimwt m ()()sin() k m k k f wtimwt m ，其 5,6 中，求和表示對每

26、一個中的多個因子求和，是的整數(shù)因子（包括1和kmmk ）。可以證明，和是正交的 ，即有k() k f wt()f nwt 7 ，其中，是或的逆變換。 2 1 ()() () kkl wt f lwt f wt d wt ()f nwtcos()wtsin()wt 下面以奇對稱方波信號波形為例，（如圖1）簡單敘述這種變換的() os fwt 實(shí)現(xiàn)。 圖 1 其中，方波峰值為，正值，負(fù)值；脈沖寬度為周期的一半e/ 2e/ 2e ；此為奇函數(shù)，故傅里葉展開為正弦級數(shù)。的形式為（一個周/ 2t() os fwt 期內(nèi)） ,0; 22 () ,0. 22 os et t fwt et t 將其展開為傅里

27、葉級數(shù)是 8 ， 2 11 2sin (/ 2) ()sin()( ) sin() osos nn en fwtnwtrnnwt n 其中，。而的逆變換，可設(shè) 2 2sin (/ 2) ( ) os en rn n sin()wt 6 ， 1 sin()( )() osos n wtin fnwt 那么就有 。 11 sin()( )( ) sin() osos nn wtinrnmnwt 令，就有mnk ， 11 sin()( ) sin()( )( ) sin() ososos nmn kkm k kk wtikwtin rkwt nn 其中，的求和表示對每一個中的多個因子求和，是的( )

28、( ) osos m k k in r n knk 整數(shù)因子（包括1和）；由此可得，這樣就求出了k( )( ) ososkl m k k in r n sin()wt 按奇對稱方波展開的逆變換式：，其正交函數(shù)族為sin()( )() osos m k wtin fnwt 6 ：。 ()sin() ososk m k k fimwt m 9 3.4傅立葉級數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和方面的應(yīng)用傅立葉級數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和方面的應(yīng)用 在高等數(shù)學(xué)中,求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是一個重要的內(nèi)容,當(dāng)一般項(xiàng)是關(guān)于 n an 的有理式時,可以將其轉(zhuǎn)化為求冪級數(shù)的和函數(shù)的問題,這是一個非常有效的方 法,如下例: 例1 求級數(shù)的

29、和 1 ( 1)n n n 解 令 ， 1 ( ) n n x f x n 1,1x 則在收斂域連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且( )f x1,1( 1,1) ， 1 1 1 ( ) 1 n n fxx x 兩端積分并考慮到得(0)0f ，( )ln(1)f xx 由在的連續(xù)性得( )f x1x 。 1 ( 1) ln2 n n n 但上述方法有時會失效 ,如下例 : 例2 求級數(shù)的和。 2 1 1 n n 若按照例 1 的思路 ,設(shè) ， 1 ( ) n n x f x n 1,1x 兩端求導(dǎo)得： ， 1 1 ( ) n n x fx n 所以 ， 1 ( )ln(1) n n x xfxx n ln(1)

30、 ( ) x fx x 但由于積分 不能用初等函數(shù)表示 ln1)x dx x ,故無法求出級數(shù)的和。 2 1 1 n n 以下給出應(yīng)用傅立葉級數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的思想方法. 10 設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在 上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) ,則( )f x, 0, 的傅立葉級數(shù)(即余弦數(shù)) 為( )f x ，（其中）， 0 1 ( )cos 2 n n a f xanx 0 2 ( )cos n af xnxdx 由此得： 00 22 ( ) sin( )sin( )sin 0 xx n x af x dnxf xnxfxnxdx nn 0022 22 ( ) cos( )cos( )cos 0 xx

31、x fx dnxfxnxfxnxdx nn ，（） (1) 02 2 ( 1)( )(0)( )cos x nf ffxnx n 1,2,n 下面用傅里葉級數(shù)的方法求解例2。 解 為了使含有形如的因子，含滿足，可取。這時有 n a 2 1 n ( )f x ( ) 0fx ( )f xx ： 2 2 4 ,21 2 (21)( 1)1 0,2 , n n nk ka n nk (1,2,)k ， 0 0 2 axdx 從而 ， 。 2 1 41 cos(21) 2(21) k xkx k 0,x 特別取，得0 x 。 2 2 1 1 (21)8 k k 據(jù)此可推出 。 2 2 1 1 6 n

32、n 另外。將展開成傅里葉級數(shù)后用同樣的方法也可以求得的和 2 ( )f xx 2 1 1 n n 。 例3 求級數(shù)的和。 2 1 1 ( 1) ln(1) (1) n n n 解 令 ， 2 1 ( )( 1) ln(1) (1) n n a g a n 0,1a 由于等號右側(cè)級數(shù)在上關(guān)于一致收斂，由和的連續(xù)性定理知0,1a 11 ( )g a 連續(xù)，且，顯然所求級數(shù)的值為。再由逐項(xiàng)求導(dǎo)定理知( )0g a (1)g 11 ， 1 2 1 1 ( )( 1) (1) n n g a na 0,1a 下面求。與例2的思路相同，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行傅里葉級數(shù)的展開。 ( ) g a 由(1)式得：

33、。 （2） 2 0 22 ( )cos( 1)( )(0) n n n afxnxdxff 為了使得含有形如的因子，試取滿足 n a 2 1 na ( )f x ， ( ) ( )fxaf x 解此微分方程得 ， 12 ( )cossinf xcaxcax 從而 ， 12 ( )(sincos)fxacaxcax 為了使(2)式簡化，可取 ， ，( )cosf xax ( ) sinfxaax 這時利用（2）式可得 ， 1 2 12 ( 1)sin n n a aa na 而 ， 0 0 22 cossinaaxdxa a 故 。 1 2 1 12sin( 1) cossincos n n a

34、a axaxnx naa 取得：0 x ， 2 1 ( 1)sin1 (1)12 sin n n aa naaaa 即 ， 1sin ( ) 12 sin aa g a aaa 所以 1 0022 1sin211 (1)() 1sin2 sin at aat gdadt atttaa 22 ln()lnlntan 02 t tt ， 22 22 ()tan 2 lnlnln4ln 028 t t t 即得到： 。 2 2 1 1 ( 1) ln(1)ln (1)8 n n n 4.4.結(jié)論結(jié)論 本文首先由傅里葉級數(shù)的概念性質(zhì)入手，進(jìn)而又研究了傅里葉級數(shù)的 性質(zhì)運(yùn)算及其實(shí)際應(yīng)用。傅里葉級數(shù)不僅發(fā)展完善、理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨(dú)特 ，而且廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。生活中，很多問題都可以直接或間接地通過 傅里葉級數(shù)得到解決，隨著經(jīng)濟(jì)、科技、等的不斷發(fā)展，傅里葉級數(shù)的應(yīng) 用