高三選修3-球面三角學(xué)

1、 球面三角形三邊之間的關(guān)系球面三角形三邊之間的關(guān)系 球面球面“等腰等腰”三角形三角形 報 告 框 架 球面三角形的周長球面三角形的周長 球面三角形的內(nèi)角和球面三角形的內(nèi)角和 一、球面三角形三邊之間的關(guān)系一、球面三角形三邊之間的關(guān)系 在平面上，三角形滿足：在平面上，三角形滿足： 兩邊之和大于第三邊；兩邊之和大于第三邊； 兩邊之差小于第三邊兩邊之差小于第三邊 球面上是否也成立？球面上是否也成立？ A C B O 圖圖4-1 由于引入三面角，對于球面上邊與角由于引入三面角，對于球面上邊與角 的研究就轉(zhuǎn)化為立體幾何中角的研究的研究就轉(zhuǎn)化為立體幾何中角的研究 球面三角形的邊對應(yīng)三面角的面角，球面三角形的

2、邊對應(yīng)三面角的面角， 因此研究三面角中三個面角之間的關(guān)系因此研究三面角中三個面角之間的關(guān)系 圖圖4-2,假定為單位球面，那么假定為單位球面，那么O-ABC是是 一個三面角而且有一個三面角而且有 , , . aBCBOC bCACOA cABAOB A C B O 圖圖4-24-2 a b c O-ABC O C A B a b 在在b圖中，我們可以證明圖中，我們可以證明 .AOBBOCCOA 再根據(jù)上述等式，得到再根據(jù)上述等式，得到.c ab 這樣可以得出：這樣可以得出： 三面角中的兩個面角之和大于第三面角中的兩個面角之和大于第 三個面角三個面角 對應(yīng)到球面三角形中，就有：對應(yīng)到球面三角形中，

3、就有： 球面三角形中，兩邊之和大于第三邊，球面三角形中，兩邊之和大于第三邊， 兩邊之差小于第三邊兩邊之差小于第三邊 二、球面二、球面“等腰等腰”三角形三角形 類似平面三角形的兩邊相等，則對類似平面三角形的兩邊相等，則對 角相等角相等 在球面三角形中，等邊對等角，等角在球面三角形中，等邊對等角，等角 對等邊；大角對大邊，大邊對大角對等邊；大角對大邊，大邊對大角 已知：已知： 在球面在球面ABC中，中，b=c 求證求證:B=C 動動腦動動腦 A C B O B O A C ED F a b c c a b 圖圖4-34-3 三三 、球面三角形的周長、球面三角形的周長 在球面三角形中，每條邊都小于大

4、在球面三角形中，每條邊都小于大 圓周長的一半，所以周長不會超過圓周長的一半，所以周長不會超過3/2 個大圓周長個大圓周長 實際上，周長要小于大圓周長實際上，周長要小于大圓周長 具體的證明方法是應(yīng)用球面上邊角具體的證明方法是應(yīng)用球面上邊角 對等的關(guān)系來驗證的對等的關(guān)系來驗證的 一個很重要的結(jié)論：一個很重要的結(jié)論：球面三角形的周球面三角形的周 長小于大圓周長長小于大圓周長 四、球面三角形的內(nèi)角和四、球面三角形的內(nèi)角和 對于平面三角形，內(nèi)角和等于對于平面三角形，內(nèi)角和等于180 那么球面三角形的內(nèi)角和是否也是一個定那么球面三角形的內(nèi)角和是否也是一個定 值呢？值呢？ A O BC 圖圖4-4 下面引入

5、例題下面引入例題 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)A點表示點表示 地球的北極，地球的北極，B、C兩點兩點 所在的曲線是赤道所在的曲線是赤道LA， 其中，其中，B點所在的經(jīng)線點所在的經(jīng)線 是是0，C點所在經(jīng)線是點所在經(jīng)線是 90AB、AC是兩條是兩條 經(jīng)線，而經(jīng)線與赤道平經(jīng)線，而經(jīng)線與赤道平 面垂直，所以面垂直，所以 BAC=/2 由極與赤道的概念知道：由極與赤道的概念知道： ABCACB, 2 因此三角形的內(nèi)角和為因此三角形的內(nèi)角和為 3 ABCACBBAC. 2 說明球面上存在內(nèi)角和大于說明球面上存在內(nèi)角和大于180的的 三角形三角形 通過球面三角形的面積來說明通過球面三角形的面積來說明 球面球面

6、ABC的的 面積等于面積等于1/4上半球面面積上半球面面積 （因為區(qū)域掃過了（因為區(qū)域掃過了90），也等于），也等于1/8球面球面 面積，如果半徑為面積，如果半徑為r，那么球面那么球面ABC的面的面 積積 S 222 2 113 4r =r =( -)r 822 =( ABC+ ACB+ CAB-)r . 思考思考 如果再在赤道上取一點如果再在赤道上取一點D，所在的，所在的 經(jīng)線是東經(jīng)經(jīng)線是東經(jīng)120，這是球面，這是球面ABD的的 面積又會是多少？面積又會是多少？ 通過計算得：通過計算得： 球面球面ABD面積面積 222 2 125 S4 rr()r 633 ( ABDADBDAB)r . 猜

7、想猜想 一般的，球面一般的，球面ABC的半徑為的半徑為r,則任意球面則任意球面 三角形的面積三角形的面積=（A+B+C-）r2，(A、B、C 分別為角分別為角A、B、C的弧度數(shù)的弧度數(shù))，特殊的，若半，特殊的，若半 徑為徑為1，則面積，則面積=（A+B+C-） 通過例子說明球面三角形的內(nèi)角和是通過例子說明球面三角形的內(nèi)角和是 大于大于180的的 這是球面幾何與歐氏幾何不同的重這是球面幾何與歐氏幾何不同的重 要特征之一要特征之一 思考思考 球面三角形的內(nèi)角和是不是可以任球面三角形的內(nèi)角和是不是可以任 意大？意大？ A C B O a b c 圖圖4-54-5 分析：由于分析：由于 球面三角形的內(nèi)角球面三角形的內(nèi)角 所對應(yīng)的邊