2.1.空間解析幾何簡(jiǎn)介ppt課件

1、7.1 一、直角坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系 二、兩點(diǎn)間的距離二、兩點(diǎn)間的距離 三、曲面與方程三、曲面與方程 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第七章 x y z 7.1.1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系 由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸 x軸(橫軸) y軸(縱軸) 軸(豎軸) 過(guò)空間一定點(diǎn) o , o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè)) 面xoy 面yoz zox面面 1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念 在直角坐標(biāo)系下 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 x y z 11 坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ; 坐標(biāo)面上的

2、點(diǎn) A , B , C 點(diǎn)點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : 有序數(shù)組),(zyx )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR ), 0(zyB (稱(chēng)為點(diǎn) M 的坐標(biāo)) 原點(diǎn) O(0,0,0) ; O )0 ,(yxA ),(zoxCM 坐標(biāo)稱(chēng)為橫坐標(biāo)x 坐標(biāo)稱(chēng)為縱坐標(biāo)y 坐標(biāo)稱(chēng)為豎坐標(biāo)z 7.1.2、兩點(diǎn)間的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 得兩點(diǎn)間的距離公式: 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 設(shè)),( 1111 zyxM),( 2222 zyxM和 由勾股定理 2 21M M 2 1N M 2 2 NM 2 1P M 2

3、PN 2 2 NM 2 12 )(xx 2 12 )(yy 2 12 )(zz 21M M 假設(shè) 1 M 2 M 和均在xoy面上,那么, 0 21 zz 21M M 2 12 2 12 )()(yyxx x oy z 2 M 1 M PN P 1 P 2 P 1 Q 2 Q 例例3. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4( 321 MMM 證證: 1 M 2 M 3 M 21M M 2 )47( 2 )31 ( 2 ) 12( 14 32M M 2 )75( 2 ) 12( 2 )23( 6 31M M 2 )45( 2 )32( 2 ) 13( 6 3132

4、 MMMM 即 321 MMM為等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn) 例例4. 在在 z 軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(A等距 解解: 設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為 , ),0,0(zM ,BMAM因?yàn)?2 )4( 2 1 2 )7(z 2 3 2 5 2 )2(z 解得, 9 14 z 故所求點(diǎn)為 及)2,5,3(B . ),0,0( 9 14 M 離的點(diǎn) . 定義定義1. 0),(zyxF S z y x o 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系: (1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程; 那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面

5、S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形. 兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題 : : (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), (2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀 ( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 7.1.37.1.3、曲面及其方程、曲面及其方程 1.曲面方程的概念曲面方程的概念 故所求方程為 例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) ),(zyxM ),( 0000 zyxM 方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為 解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM 0 即 依題

6、意 距離為 R 的軌跡 x y z o M 0 M 222 yxRz表示上(下)球面 . Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 2222 Rzyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 2. 研究方程研究方程042 222 yxzyx 解解: : 配方得配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M此方程表示: 的曲面. 表示怎樣 半徑為的球面. 球心為 5)2() 1( 222 zyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 坐標(biāo)軸 : 軸x 0 0 z y 0 0 x z 軸y 軸z 0 0 y x 坐標(biāo)面 : 面yox

7、0 z 面zoy0 x 面xoz0 y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 x y z o 2.平面方程平面方程 首先坐標(biāo)面的方程首先坐標(biāo)面的方程 平面的一般方程平面的一般方程 設(shè)有三元一次方程 此方程稱(chēng)為平面的一般方程. 0DzCyBxA )0( 222 CBA 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 直線(xiàn)的一般方程 0DyBxA ) )0( 22 BA 空幾平幾 例如方程為)0( ccy 表示平行于x軸的直線(xiàn)。例如方程為)0( ccy 表示平行于zox面的平面。 平面的截距式方程平面的截距式方程 1 c z b y a x )0(abc1 b y a x )0(ab 直線(xiàn)的截距式方程直線(xiàn)的截距

8、式方程 x y z 3 3、柱面方程、柱面方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 3. 分析方程分析方程 表示怎樣的曲面 . 標(biāo)也滿(mǎn)足方程 222 Ryx 解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圓C, 222 Ryx , 222 Ryx這樣的曲面稱(chēng)為圓柱面. 過(guò)此點(diǎn)作平行 對(duì)任意 z , z 軸的直線(xiàn) l , o C 在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zyxM點(diǎn)的坐 定義定義2. 平行定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)的直線(xiàn) l 形成 的軌跡叫做柱面. C 叫做準(zhǔn)線(xiàn), l 叫做母線(xiàn). x y z x y z o 表示拋物柱面, 母線(xiàn)平行于 z 軸

9、; 準(zhǔn)線(xiàn)為xoy 面上的拋物線(xiàn). z 軸的橢圓柱面. xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 軸的平面. 0 yx 表示母線(xiàn)平行于 (且 z 軸在平面上) 表示母線(xiàn)平行于 x y z o o 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 小結(jié)：通常方程中不含有什么字母，那么它的母線(xiàn)就 是平行于什么軸。 x z y 2 l 一般地,在三維空間 柱面, 柱面, 平行于 x 軸; 平行于 y 軸; 平行于 z 軸; 準(zhǔn)線(xiàn): zox 面上的曲線(xiàn) l3. 母線(xiàn): 柱面, 準(zhǔn)線(xiàn): xoy 面上的曲線(xiàn) l1. 母線(xiàn): 準(zhǔn)線(xiàn): yoz 面上的曲線(xiàn) l2. 母線(xiàn): 表示方程0),(yxF 表示方程0),(zy

10、G 表示方程0),(xzH x y z 3 l x y z 1 l 三、空間直線(xiàn)方程三、空間直線(xiàn)方程 x y z o 0 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 1 2 L 因此其一般式方程 1. 1. 一般式方程一般式方程 直線(xiàn)可視為兩平面交線(xiàn)， (不唯一) , 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx 2.直線(xiàn) L : 3.參數(shù)式方程 : tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 四、二次曲面四、二次曲面 三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類(lèi)型有

11、: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面 的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx 222 0JIzHyGx (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ) z y x (1). 橢球面橢球面 ),(1 2 2 2 2 2 2 為正數(shù)cba c z b y a x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 拋物面拋物面 z q y p x 22 22 (1) 橢圓拋物面 ( p , q 同號(hào)) z y x 特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物 面. (2) 雙曲拋物面鞍形曲面） z q y p x 22 22 ( p , q 同號(hào)) z yx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (3). (3). 雙曲面自閱）雙曲面自閱） z x y o 例例3. 3. 指出方程指出方程 表示哪種曲面。表示哪種曲面。 1 916 22 yx 解解 表示母線(xiàn)平行于z 軸的 橢圓柱面，橢圓柱面， 準(zhǔn)線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)為 . 0 ,