第2章概率論習題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第二章習題課 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 隨隨 機機 變變 量量 離離 散散 型型 隨機變量隨機變量 連連 續(xù)續(xù) 型型 隨機變量隨機變量 分分 布布 函函 數(shù)數(shù)分分 布布 律律密密 度度 函函 數(shù)數(shù) 均均 勻勻 分分 布布 指指 數(shù)數(shù) 分分 布布 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布 兩兩 點點 分分 布布 二二 項項 分分 布布 泊泊 松松 分分 布布 隨機變量隨機變量 的函數(shù)的的函數(shù)的 分分 布布 定定 義義 二、重點與難點二、重點與難點 1.重點重點 (0-1)分布、二項分布和泊松分布的分布律分布、二項分布和泊松分布的分布律 正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布正態(tài)分布、

2、均勻分布和指數(shù)分布的分布 函數(shù)、密度函數(shù)及有關區(qū)間概率的計算函數(shù)、密度函數(shù)及有關區(qū)間概率的計算 2.難點難點 連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的求法連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的求法 (1)解解：放放回回： ,X設設抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機機變變量量 :X則則的的所所有有可可能能取取值值為為 1,2,X 1 310 1,2, 1313 k P Xkk 分分布布律律為為： 例例1 三、典型例題三、典型例題 (2)不不放放回回：,X設設抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機機變變量量 X則則的的所所有有可可能能取取值值為為1,2,3,4X 10 1, 13 P X 分分布布律律為為： 3 10 2, 13 12

3、 P X 3 2 10 3, 13 12 11 P X 3 2 1 10 4 13 12 1110 P X ., 2 1 2 . 2, , 21, 3 2 , 11, , 1, 0 )( 的分布律的分布律并求并求試確定常數(shù)試確定常數(shù)且且 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設離散型隨機變量設離散型隨機變量 XbaXP xba xa xa x xF X 思路思路 首先利用分布函數(shù)的性質求出常數(shù)首先利用分布函數(shù)的性質求出常數(shù) a, b, 再用已確定的分布函數(shù)來求分布律再用已確定的分布函數(shù)來求分布律. 解解 :)(的性質的性質利用分布函數(shù)利用分布函數(shù)xF 例例2 ),0()( iii xFxFxXP , 1)(

4、 F 2 2 1 XP知知 ) 3 2 ()(aba , 3 2 2 ba . 1 ba且且 . 6 5 , 6 1 ba由由此此解解得得 . 2, 1 , 21, 2 1 , 11, 6 1 , 1, 0 )( x x x x xF因因此此有有 從而從而 X 的分布律為的分布律為 X P 211 2 1 3 1 6 1 ,03 ( )2,34 2 0, 1; 2( ) 7 31 2 X kxx x f xx k XF x PX 設設隨隨機機變變量量 具具有有概概率率密密度度 其其它它 （ ）確確定定常常數(shù)數(shù) （ ）求求 的的分分布布函函數(shù)數(shù)； （ ）求求 例例3 1 (1)( )1 6 f

5、x dxk 由由得得解解: : 0 3 03 (2) 0,0 ,03 6 ( ) 2,34 62 1,4 x x x x dxx F x xx dxdxx x 分分布布函函數(shù)數(shù) , x F xf t dtx 2 2 0,0 ,03 12 ( ) 32,34 4 1,4 x x x F x x xx x 即即分分布布函函數(shù)數(shù) 7741 311 2248 PXFF （ ） 設某類日光燈管的使用壽命設某類日光燈管的使用壽命 X 服從服從 1 2000 1,0, ( ) 0,0. x ex F x x X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 解解 參數(shù)為參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時

6、小時) (1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用 1000小時以上的概率小時以上的概率. (2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以上小時以上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. 例例4 1000)1( XP10001 XP )1000(1F .607. 0 2 1 e 10002000)2( XXP 1000 1000,2000 XP XXP 1000 2000 XP XP . 0, 0 , 0,1 )( 2000 1 x xe xF x 10001 20001 XP XP )1000(1 )2000(1

7、F F .607. 0 2 1 e 指數(shù)分布的重要性質指數(shù)分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”. . 0, 0 , 0,1 )( 2000 1 x xe xF x 如如X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, 則任給則任給s,t 0, 有有 PXs+t | X s=PX t() 事實上事實上 () / / ()() | 1()e e 1( )e . s t t s PXstXs P Xst Xs P Xs P XstF st P XsF s P Xt l性質性質()稱為稱為無記憶性無記憶性. l指數(shù)分布在可靠性理論和排隊論中有廣泛的指數(shù)分布在可靠性理論和排隊論中有廣泛的 運用運用. .)3( );()

8、2( ;)1( .,e)( 2 的概率密度的概率密度求求 的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求 求系數(shù)求系數(shù) 的概率密度為的概率密度為已知隨機變量已知隨機變量 XY xFX A xAxf X x 解解 有有由概率密度的性質由概率密度的性質,)1( xAxxf x ded)(1 0 de2xA x ,2A . 2 1 A故故 例例5 ,de 2 1 )()2( x x xxF 有有時時當當,0 xxxF x x de 2 1 )( ;e 2 1 x 有有時時當當,0 xdede 2 1 )( 0 0 x xx xxxF;e 2 1 1 x 所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 0,e 2 1 1 ,

9、0,e 2 1 )( x x xF x x , 0)3( 2 XY由于由于 ; 0)(,0 yYPyFy Y 有有時時故故當當 有有時時當當,0 y )( 2 yXPyYPyF Y yXyP y y x xde 2 1 ,de 2 1 2 0 y x x ),()(yfyF YY 由由于于 有有時時故當故當,0 y de d d )( d d 0 y x Y x y yF y , 2 1 e y y 的概率密度為的概率密度為從而從而 Y, . 0, 0 0,e 2 1 )( y y yyf y Y .2 100,cm182)2( ?01. 0 ,)1( )cm:( )6,170( 2 的概率的

10、概率頂碰頭的人數(shù)不多于頂碰頭的人數(shù)不多于 個成年男子與車門個成年男子與車門求求若車門高為若車門高為 車門頂碰頭的幾率小于車門頂碰頭的幾率小于 使男子與使男子與車門的高度車門的高度問應如何設計公共汽車問應如何設計公共汽車 單位單位 高高設某城市成年男子的身設某城市成年男子的身NX 思路思路 .2, ,cm182 100.,01. 0 ,cm 的概率的概率求其不超過求其不超過布律布律 然后用此分然后用此分的人數(shù)的分布律的人數(shù)的分布律子中身高超過子中身高超過 名男名男第二問首先要求出第二問首先要求出確定確定 那么按設計要求應有那么按設計要求應有設車門高度為設車門高度為 llXP l 例例6 解解),

11、6 ,170()1( 2 NX由題設知由題設知 1lXPlXP 6 170 6 170 1 lX P ) 6 170 (1 l ,01. 0 .99. 0) 6 170 ( l 即即,33. 2 6 170 l 查查表表得得 ).cm(98.183 l故故 .cm182)2(p的概率為的概率為設任一男子身高超過設任一男子身高超過 6 170182 6 170 182 X PXPp則則 )2(1 .0228. 0 ,cm182100的的人人數(shù)數(shù)個個男男子子中中身身高高超超過過為為設設 Y 其中其中則則),0228. 0,100( BY ,9772. 00228. 0 100 100 kk k k

12、YP .100, 1 , 0 k ,28. 2, ,0228. 0,100 np pn 其其中中布布來來計計算算 故故可可用用泊泊松松分分較較小小較較大大由由于于 從而從而 ! 2 e28. 2 ! 1 e28. 2 ! 0 e28. 2 2 28. 2228. 228. 20 YP .6013. 0 ,2102 YPYPYPYP 所求概率為所求概率為 ,(:) ,1 600, 200,. a 設設某某儀儀器器上上裝裝有有三三只只獨獨立立工工作作的的同同型型號號 電電子子元元件件 其其壽壽命命 單單位位 小小時時 都都服服從從同同一一指指數(shù)數(shù) 分分布布 其其中中參參數(shù)數(shù)試試求求在在儀儀器器使使

13、用用 最最初初小小時時內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一只只元元件件損損壞壞的的概概率率 思路思路 (1,2,3) 200 , i A i 以以分分別別表表示示三三個個電電子子元元件件 “在在使使用用的的最最初初小小時時內(nèi)內(nèi)損損壞壞” 的的事事件件 321 AAAPa 于是于是)(1 321 AAAP ),()()(1 321 APAPAP 例例7 ),3 , 2 , 1()( iAPp i 令令 .,便可得解便可得解由指數(shù)分布求出由指數(shù)分布求出 p 解解 的概率密度為的概率密度為由題設知由題設知 個元件的使用壽命個元件的使用壽命表示第表示第用用 )3 , 2 , 1( ,)3 , 2 , 1( iX ii

14、X i i . 0, 0 , 0,e 600 1 )( 600 x x xf x ,一一分分布布由由三三個個電電子子元元件件服服從從同同 ,)(200pAPXP ii 又又 因此所求概率為因此所求概率為 )()()(1 321 APAPAP 3 1p 3 3 1 )e (1 .e1 1 從而從而 200 d)(200 xxfXP i 200 600 de 600 1 x x ,e 3 1 . 3 , 2 , 1 i 某地抽樣調(diào)查結果表明，考生的外語成某地抽樣調(diào)查結果表明，考生的外語成 績績( (百分制百分制), ), 服從正態(tài)分布，平均成績服從正態(tài)分布，平均成績 為為 7272分，分，9696

15、分以上占考生總數(shù)的分以上占考生總數(shù)的2.3%, 2.3%, 試求考生的外語成績在試求考生的外語成績在 6060分至分至 8484分之分之 間的概率間的概率. . 解解依題意，考生外語成績依題意，考生外語成績 X X),( 2 N 72 其其中中，且且 960.023P X 96196P XP X 于于是是 977. 0023. 01 例例8 96P X 又又 96 () ) 24 () 7296 ( 977. 0) 24 ( 查表，知查表，知 977. 0)2( ( ) x由由的的單單調(diào)調(diào)增增加加性性，得得 2 24 12 2 (72,12 )XN因因而而 6084PX 故故 ) 12 726

16、0 () 12 7284 ( )1()1( )1(1)1( 1)1(2 查表，得查表，得 841. 0)1( 682. 01841. 028460 XP 1 , ( ) 0, axb Xf xba 直直徑徑 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為 其其它它 3 6 YX 體體積積 ( ) Y FyP Yy 3 6 PXy 3 6y PX 6 3 ( ) y f x dx 例例9 解解 6 3 3 33 3 0, 6 1 ( ), 66 1, 6 y Y a ya Fydxayb ba yb ( )( ) YY fyFy 336 3 1 , 66 0, y ayb ba 其其它它 2 3 33 26 , 66 0, y ayb ba 其其它它 1 1 k k p由由解：解： 1)2/1(5 1 k k A即即 5 1 A得得 5 1 , 1)( dxxf由由解解： 1 2 1 0 b a dxbax得得 , 8 5 28 3 5 . 0 1 5 . 0 ba dxbaxXP