復(fù)變函數(shù)試題及答案

1、_一、填空題（每小題2分）1、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式是 2、函數(shù)=將上的曲線變成()上的曲線是 3、若,則 4、= 5、積分= 6、積分 7、冪級數(shù)的收斂半徑r= 8、是函數(shù)的 奇點9、 10、將點,i,0分別變成0,i,的分式線性變換 二、單選題（每小題2分）1、設(shè)為任意實數(shù)，則=（ ）a 無意義 b等于1 c是復(fù)數(shù)其實部等于1 d是復(fù)數(shù)其模等于12、下列命題正確的是（ ）a b 零的輻角是零 c僅存在一個數(shù)z,使得 d 3、下列命題正確的是（ ）a函數(shù)在平面上處處連續(xù)b 如果存在,那么在解析 c 每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂 d 如果v是u的共軛調(diào)和函數(shù),則u也是v的共軛調(diào)和函數(shù) 4、根式

2、的值之一是（ ）a b c d 5、下列函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)可展成洛朗級數(shù)的是（ ）a b c d 6、下列積分之值不等于0的是( )a b c d 7、函數(shù)在處的泰勒展式為（ ）a （1） b （1）c （1） d （1）8、冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)是（ ） a b c d 9、設(shè)a，c：=1，則（ ） a 0 b i c 2ie d icosi10、將單位圓共形映射成單位圓外部的分式線性變換是（ ）a b c d 三、判斷題（每小題2分）1、（ ）對任何復(fù)數(shù)z,成立2、（ ）若是和的一個奇點,則也是的奇點3、（ ）方程的根全在圓環(huán)內(nèi)4、（ ）z=是函數(shù)的三階極點5、（ ）解析函數(shù)的零點是孤立的四、

3、計算題（每小題6分）1、已知在上解析,求a,b,c,d的值2、計算積分3、將函數(shù)在的鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù),并指出收斂范圍4、計算實積分i=5、求在指定圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式6、求將上半平面共形映射成單位圓的分式線性變換，使符合條件， 五、證明題（每小題7分）1、設(shè)（1）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析（2）在某一點有，（）證明：在內(nèi)必為常數(shù)2、證明方程在單位圓內(nèi)有個根一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）1 ，2 ， 3 (2k+1),(k=0,)， 4 (k=0,)5 , 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 二 單選題（每小題2分，共20分）1 d 2 d 3 a 4 a 5 b 6 b

4、 7 c 8 d 9 a 10 a三 判斷題（每小題2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 計算題（每小題6分，共36分）1解：, 分 5分 解得: 分2 解：被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部只有一階極點z=0及二階極點z=1 分 =2i(-2+2)=0 分3 解： = 4分 （2） 6分4 解: 被積函數(shù)為偶函數(shù)在上半z平面有兩個一階極點i,2i 1分 i= 2分 = 3分 = 5分 = 6分5 解： 1分 = 3分 = 6分6 解: =l(i)=k 分 3分 4分 6分五 證明題（每小題7分，共14分）1 證明:設(shè) 在解析 由泰勒定理 2分 由題設(shè) ， 4分 由唯一性定理 7分2 證明：令 ， 分

5、(1）及在解析 (2）上， 5 分 故在上，由儒歇定理在內(nèi) 7分一、填空題（每小題2分）1、的指數(shù)形式是 2、= 3、若0r1，則積分 4、若是的共軛調(diào)和函數(shù)，那么的共軛調(diào)和函數(shù)是 5、設(shè)為函數(shù)=的m階零點，則m = 6、設(shè)為函數(shù)的n階極點，那么 = 7、冪級數(shù)的收斂半徑r= 8、是函數(shù)的 奇點9、方程的根全在圓環(huán) 內(nèi)10、將點,i,0分別變成0,i,的分式線性變換 二、單選題（每小題2分）1、若函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)解析，則函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)（ ）a在有限個點可導(dǎo) b存在任意階導(dǎo)數(shù)c 在無窮多個點可導(dǎo) d存在有限個點不可導(dǎo)2、使成立的復(fù)數(shù)是（ ）a 不存在 b 唯一的 c 純虛數(shù) d實數(shù)3、（ ） a

6、sin1 b sin1 c 2sin1 d 2sin14、根式的值之一是（ ）a b c d 5、是的（ ）a 可去奇點 b 一階極點 c 一階零點 d 本質(zhì)奇點6、函數(shù)，在以為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式有m個，則m=( )a 1 b 2 c 3 d 47、下列函數(shù)是解析函數(shù)的為（ ）a b c d 8、在下列函數(shù)中，的是（ ） a b c d 9、設(shè)a，c：=1，則（ ） a 0 b i c 2ie d icosi10、將單位圓共形映射成單位圓外部的分式線性變換是（ ）a b c d 滿分10得分三、判斷題（每小題2分）1、（ ）冪級數(shù)在1內(nèi)一致收斂2、（ ）z=是函數(shù)的可去奇點3、（ ）在柯西

7、積分公式中，如果，即a在之外，其它條件不變，則積分0，4、（ ）函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)可展成洛朗級數(shù)5、（ ）解析函數(shù)的零點是孤立的四、計算題（每小題6分）1、計算積分，c：1+的直線段2、求函數(shù)在所有孤立奇點（包括）處的留數(shù)3、將函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù),并指出收斂域滿分14得分4、計算積分 , c:，5、計算實積分i= 6、求將單位圓共形映射成單位圓的分式線性變換使符合條件，五、證明題（每小題7分）1、設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，證明：函數(shù)也在內(nèi)解析2、證明：在解析，且滿足的，（）的函數(shù)不存在一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）1 ，2 (k=0,) ， 3 0， 4 ， 5

8、 9 6 ，7 ， 8 本質(zhì)， 9 ， 10 二 單選題（每小題2分，共20分）1 b 2 d 3 c 4 d 5 a 6 c 7 c 8 d 9 a 10 a三 判斷題（每小題2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 計算題（每小題6分，共36分）1解：c的參數(shù)方程為： z=i+t, 0 dz=dt 分 = 分2解: 為一階極點 分 為二階極點 分 分 分 6分3 解：= 2分 = 5分 （02） 6分4 解：在c內(nèi)有一個二階極點0和一個一階極點 1分 3分 5分所以原式i 6分5 解：令 1分 = 3分被積函數(shù)在內(nèi)的有一個一階極點 5分 i= 6分6解： 分 所以 分 于是所求變換 分五 證明題（每小題7分，共14分） 1 證明： 設(shè)f(z)=u（x，y）+iv（x，y）= u（x，y）-iv（x，y）= v（x，y）-i u（x，y） 分f（z）在d內(nèi)解析，四個偏導(dǎo)數(shù)為 v，v