2.1定積分在幾何上的應用ppt課件

1、5.4.1 定積分的元素法 問題問題1、什么問題可以用定積分解決、什么問題可以用定積分解決 ? 問題問題2 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 ? 回憶回憶 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 b a dxxfA)( 一、問題的提出 曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線 )(xfy )0)( xf、 x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、 bx 所所圍圍成成。 a b x y o )(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下 （2）計計算算 i A 的的近近似似值值 iii xfA )( 1 , iii xx （3） 求和，得求和，得A的近似

2、值的近似值.)( 1 ii n i xfA a b x y o )(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值 ii n i xfA )(lim 1 0 b a dxxf)( 提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小區(qū)區(qū)間間 ,xxx 上上的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積， 則則 AA，并并取取dxxfA)( ， 于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( b a dxxf xdxx dA 面積元素面積元素 二、什么問題可以用定積分解決二、什么問題可以用定積分解決 ? 當當所所求求量量U符符合合下下列列條條件件： （3）部部分分量量 i U 的的近近似似值值可可表表

3、示示為為 ii xf )( ； 元素法的一般步驟：元素法的一般步驟： 三三 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 ? 3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在 區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 b a dxxfU)(， 即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達達式式. 這個方法通常叫做元素法這個方法通常叫做元素法 應用方向：應用方向： 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長； 功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等 思考題思考題 微元法的實質(zhì)是什么？微元法的實質(zhì)是什么？ 思考題解答思考題解

4、答 微元法的實質(zhì)仍是微元法的實質(zhì)仍是“和式的極限和式的極限. 5.4.2 平面圖形的面積 一 直角坐標情形 二 極坐標情形 x y o )(xfy a bx y o )( 1 xfy )( 2 xfy a b 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 b a dxxfA)( 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 b a dxxfxfA)()( 12 一、直角坐標系情形 x x xx x ( )dAf x dx 21 ( )( )dAfxf x dx a bO y x ( )f x c ( )g x d h O y x ( )y c ( )y ( )( )d c a Sf xg xx ( )( )d b c g x

5、f xx |( )( )|d b a f xg xx |( )( )|d d c Syyy 解解兩曲線的交點兩曲線的交點 )1 , 1()0 , 0( 面積元素面積元素 dxxxdA)( 2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 x dxxxA)( 2 1 0 1 0 3 33 2 2 3 x x. 3 1 2 xy 2 yx 解解兩曲線的交點兩曲線的交點 ).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 2 3 6 xy xxy 選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x ,0, 2)1( x dxxxxdA)6( 23 1 ,3 , 0)2( x dxxxxdA)6( 32 2 2 xy

6、xxy6 3 于是所求面積于是所求面積 21 AAA dxxxxA)6( 2 0 2 3 dxxxx)6( 32 3 0 . 12 253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式 問題：問題：積分變量只能選 積分變量只能選 嗎？嗎？x 例例3 求由拋物線與直線求由拋物線與直線 所圍圖形面積所圍圖形面積. xy2 2 4 yx x o (i)取x為積分變量，那么0,8x (ii)面積元素 1 dA 2 2(4),2,8dAxxdx x (iii)所求面積 A18 方法方法1 xy2 2 4yx (4)x 2x 2x(2 )x 2 2x 8 2 2,xdx0,2x

7、 2 0 2 2xdx 8 2 ( 24)xxdx 28 12 02 dAdA xy2 2 4yx (i)求交點 (ii)相應于-2,4上任一小區(qū)間y,y+dy的小窄條面積 的 (iii)所求面積 解解 Y 2 2 4 yx xy dy y ydA) 2 4( 2 dy y yA) 2 4( 4 2 2 y x o 例例3 求由拋物線與直線求由拋物線與直線 所圍圖形面積所圍圖形面積. xy2 2 4 yx y y+dy 18 方法方法2 8 4 x y 2 2 x y 近似值，即面積元素 比較方法比較方法1 1和方法和方法2 2知：適當選擇積知：適當選擇積 分變量可以簡化計算過程。分變量可以簡

8、化計算過程。 積分變量選擇適當, 計算就可以簡單. 一般選擇積 （2盡量少分割區(qū)域. 分變量時應考慮下列因素: （1原函數(shù)較容易求得; 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )( )( ty tx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()( 2 1 t t dtttA （其其中中 1 t和和 2 t對對應應曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值） 解解 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tby tax sin cos 由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 a ydxA 0 4 0 2 )cos(sin4tatdb dttab 2 0

9、2 sin4.ab 例例5. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a 的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 . )cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 ( 2 0 22 t t ad 2 sin4 2 0 42 ) 2 ( t u 令uuadsin8 0 42 uuadsin16 2 0 42 2 16a 4 3 2 1 2 2 3 a 2 0 A x y o a2 ( (一一) )極坐標極坐標 ( , )M Ox 1.1.極坐標系極坐標系 2.2.極坐標系與直角坐標的關系極坐標系與直角坐標的關系 ( , )M Ox y ( , )M

10、 x y cos sin x y 22 0tan, xy y x x 規(guī)規(guī)定定關關于于極極點點的的對對稱稱點點可可以以記記作作( , )( ,) (, ). MM M 極極坐坐標標的的性性質(zhì)質(zhì) ( (1 1) )與與對對稱稱于于極極軸軸；因因此此，若若以以代代替替 ， 方方程程不不變變，則則圖圖形形關關于于極極軸軸對對稱稱. . ( , )( ,) (2)(2)與與對對稱稱于于 軸軸, ,因因此此, ,若若以以代代替替 ， 方方程程不不變變, ,則則圖圖形形關關于于 軸軸對對稱稱. . ( , )( ,)y y ( , )( ,)( , )(, ) (3)(3)與與對對稱稱于于極極點點, ,與

11、與也也對對稱稱 于于極極點點；因因此此, ,若若以以代代替替 . .或或代代替替 . .方方程程不不變變, , 則則圖圖形形關關于于極極點點對對稱稱. . 阿阿基基米米德德螺螺線線： 0 0 形形如如= =的的曲曲線線。a 心心臟臟線線：10形形如如= =的的曲曲線線。(cos ) ()aa 設設由由曲曲線線)( r及及射射線線 、 圍圍成成一一曲曲邊邊扇扇 形形，求求其其面面積積這這里里，)( 在在, 上上連連續(xù)續(xù)，且且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA 2 )( 2 1 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)( 2 1 2 dA )( r 二、極坐標系情形 對應對應 從從 0例例6.

12、 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線 解解: )0( aar x 2 a o d d)( 2 1 2 a 2 0 A 2 2 a 3 3 1 0 2 23 3 4 a 變到變到 2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第 一象限部分面積一象限部分面積 1 4AA daA2cos 2 1 4 4 0 2 . 2 a xy 2cos 22 a 1 A 解解 dadA 22 )cos1( 2 1 利用對稱性知利用對稱性知 . 2 3 2 a d d 2 )cos1( 0 2 2 1 2aA d)coscos21( 2 0 2 a 2sin 4 1 sin2 2

13、3 2 a 0 求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式 下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積. （注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化 積分運算）積分運算） 三、小結(jié) 練練習習求求由由曲曲線線及及直直線線和和 軸軸所所圍圍成成圖圖 3 1 sin, 64 yxxxx 形形的的面面積積。 6 3 4 O y x sinyx 3 4 6 sinAxdx 練練習習求求由由曲曲線線，所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積。 2 2 yxyx O y x 2 yx 1 yx 1 2 0 ()Axx dx 練練習習求求由由曲曲線線，直直

14、線線所所圍圍圖圖3 sincos0, 2 yxyxxx 形形的的面面積積。 cosyx 4 O y x sinyx 2 2 0 sincosAxxdx 練練習習求求由由曲曲線線及及所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積。 22 4 24yxyx 2 yx 4 O y x 2 24yx 4 44 40 4 2 2 x Adxxdx 練練習習求求由由曲曲線線與與直直線線所所圍圍圖圖形形的的面面積積。 2 5 211yxyx 1yx 4 O y x 2 21yx 2 3 1 1 1 2 ()() y Aydy 一、一、 填空題：填空題： 1 1、 由曲線由曲線eyey x ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面

15、積軸所圍成平面區(qū)域的面積 是是_ . . 2 2、 由曲線由曲線 2 3xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的 面積是面積是_ ._ . 3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,1 2 xxyxxy 所圍成所圍成 平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ . 4 4、 計算計算xy2 2 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時，選用所圍的區(qū)域面積時，選用 _作變量較為簡捷作變量較為簡捷 . . 5 5、 由曲線由曲線 xx eyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū) 域的面積是域的面積是_ _ . . 練練 習習 題題 6 6 曲曲線線 2 xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂

16、直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點點 ),( 2 aaA，0 a，則則當當 a_ _ _時時，面面積積S最最小小 . . 二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積： 1 1、 x y 1 與直線與直線xy 及及2 x； 2 2、 y 2 x與直線與直線xy 及及xy2 ； 3 3、 )cos2(2 ar； 4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及 x軸；軸； 5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分； 6 6、笛卡爾葉形線、笛

17、卡爾葉形線axyyx3 33 . . 三、三、 求拋物線求拋物線34 2 xxy及其在點及其在點)3,0( 和和 )0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . . 四、四、 求位于曲線求位于曲線 x ey 下方，該曲線過原點的切線的下方，該曲線過原點的切線的 左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . . 五、五、 求由拋物線求由拋物線axy4 2 與過焦點的弦所圍成的圖形與過焦點的弦所圍成的圖形 面積的最小值面積的最小值 . . 一一、1 1、1 1； 2 2、 3 32 ； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、2 1 e e； 6 6、

18、2 1 . . 二二、1 1、2ln 2 3 ； 2 2、6 7 ； 3 3、 2 a ； 4 4、 2 3 a ； 5 5、 4 5 ； 6 6、 2 2 3 a. . 三三、 4 9 . . 四四、2 e . . 五五、 2 3 8 a. . 練習題答案練習題答案 5.4.3 體積 一 旋轉(zhuǎn)體的體積 二 平行截面面積為已知的 立體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi) 一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做 旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺 一、旋轉(zhuǎn)體的體積 取取積積分分變變量量為為x， ,bax 在在,ba上任

19、取小區(qū)上任取小區(qū) 間間,dxxx ， 取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄 片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV 2 )( xdxx x y o 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV b a 2 )( )(xfy ( )( ),( )yf xyg xxa xbf x 2 2. . 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線，且且滿滿足足 ( )0,g xx 所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體。 O y x b a ( )yf x ( )yg x 22 ( )( )d b a Vfxgxx 所所以以其其體體積積為為： 2

20、 2 ( )d b a Vgxx 2 1 ( )d b a Vfxx y r 解解 h P x h r y 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ， x o 直線直線 方程為方程為OP 以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的 體積為體積為 dxx h r dV 2 圓錐體的體積圓錐體的體積 dxx h r V h 2 0 h x h r 0 3 2 2 3 . 3 2 hr y r h P x o . 1:2 2 2 2 2 而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 軸旋轉(zhuǎn)所圍成圖形繞計算由橢圓例x b y a x 22 xa

21、 a b y x 例例2 解：解： V a a x xa a b 3 3 2 2 2 2 3 4 ab 2 3 4 abV橢球體積橢球體積 r a a 2dx 22 b ax a 2 22 2 () a a b axdx a ao b x y x y o )(yx c d dyy 2 )( d c V 解解 繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 dxxyV a x )( 2 2 0 2 0 22 )cos1()cos1(dttata 2 0 323 )coscos3cos31(dtttta .5 32a a 2a )(xy 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 可看作平面圖可看作平

22、面圖OABC與與OBC 分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差. dyyxV a y )( 2 2 0 2 dyyx a )( 2 2 0 1 o y x a 2 A BC a2 )( 2 yxx )( 1 yxx 2 22 sin)sin(tdtatta 0 22 sin)sin(tdtatta 2 0 23 sin)sin(tdttta.6 33a ( ),yf xxa xbx4. 4. 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線，及及軸軸所所圍圍成成的的平平面面圖圖 y繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體。 O y x b a ( )yf x x dxx 222 (d )|

23、( )|2 d(d ) |( )|Vxxxf xx xxf x 2|( )|dxf xx d2|( )|dVxf xx d2|( )|d bb aa VVx f xx 利用這個公式，可知例利用這個公式，可知例3中中 dxxfxV a y | )(|2 2 0 2 0 )sin()cos1()sin(2ttadtatta 2 0 23 )cos1)(sin(2dtttta.6 33a 例例4 已知平面圖形是由曲線已知平面圖形是由曲線 3 y x 和 4xy 求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解：解： 0 x y 4xy 3 y x 問題1：如何切割？ 2： 與與 x 軸垂直軸垂直 橫截面是

24、圓還是圓環(huán)？ 3：半徑？ R r 例例4 已知平面圖形是由曲線已知平面圖形是由曲線 3 y x 和 4xy 求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解：解： 0 x y 4xy 3 y x R r 旋轉(zhuǎn)體的體積為 兩曲線交點為 由由 4 3 xy y x 求得 (1,3), (3,1) V 2 dx 2 4x 3 x 1 3 13 解解 取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y 體積元素為體積元素為 dyQMPMdV 22 dyyy)43()43( 22 ,412dyy dyyV 4 0 412.64 3 dy P Q M 二二 、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體

25、積 設所給立體垂直于設所給立體垂直于x x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), A(x), ,)(baxA在 則對應于小區(qū)間則對應于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為 xxAVd)(d 因此所求立體體積為因此所求立體體積為 xxAV b a d)( x a b xxxd )(xA 上連續(xù)上連續(xù), , 例例6 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心,并與并與 底面交成底面交成 角角,計算該平面截圓柱體所得立體的體積計算該平面截圓柱體所得立體的體積. 222 Ryx 解解: : 如圖所示取坐標系如圖所示取坐標系, , 則圓的方程為則圓的方程為 垂直于垂直

26、于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形, 其面積為其面積為 tan)( 2 1 )( 22 xRxA)(RxR R xxRV 0 22 dtan)( 2 1 2 32 3 1 tan2xxR 0 R tan 3 2 3 R 利用對稱性利用對稱性o R x y x 解解取坐標系如圖取坐標系如圖 底圓方程為底圓方程為 , 222 Ryx x y o R x 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形 截面面積截面面積 22 )(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhV R R 22 . 2 1 2h R sin (0, )1yx xx 求求曲曲線線與與 軸軸所所圍圍成成平

27、平練練習習面面圖圖形形繞繞 xy軸軸和和 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積。 O y x sinyx 2 0 dsind b x a VVx x 0 d2sin d b y a VVxx x 112 yxxyx 求求曲曲線線過過原原點點的的切切線線與與 軸軸和和練練習習所所圍圍 x成成的的圖圖形形繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積。 22 22 01 1 () d(1) d 2 x Vxxxx O y x 1yx 2 1 2 yx 1 (2,1) 2 1 2,203Dyxxa xy 練練設設是是由由拋拋習習物物線線和和直直線線及及所所圍圍 2 2 20Dyx

28、yxa成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域； 是是由由拋拋物物線線和和直直線線，所所圍圍 02,a 的的平平面面區(qū)區(qū)域域，其其中中 112 (1);DxV Dy試試求求繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成 2; V的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 12 (2)aVV 問問當當 為為何何值值時時，取取得得最最大大值值？求求此此最最大大值值。 O y x 1 D 2 2 2yx a 2 D 5.4.4 平面曲線的弧長 一 直角坐標情形 二 參數(shù)方程情形 三 極坐標情形 定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 , 0 M 1i M i M n M A B

29、 y o x 當折線段的最大當折線段的最大 邊長邊長 0 時時,折線的長度趨向于一個確定的極限折線的長度趨向于一個確定的極限 , 此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長的弧長 , 即即 并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的. ii MM 1 定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的. ( (證明略證明略) ) n i 1 0 lim s 則稱則稱 sd y xab o (1) 曲線弧由直角坐標方程給出曲線弧由直角坐標方程給出: )()(bxaxfy )(xfy 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) : xxxd xyd1 2 因此所求弧長因此所求弧長 xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs (2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出: )( )( )( t ty