第六講隨機變量及其分布二

1、第六講隨機變量及其分布二 第六講第六講 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 （二）（二） 2. 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 第六講隨機變量及其分布二 在前面我們學習一類離散型隨機變量，主要特點是它僅僅 取有限或可數(shù)個值取有限或可數(shù)個值，并且取每個值的概率大于 0。 但 在實際問題中，我們時常需要考慮另外一類隨機變量， 如，隨機地向0,1區(qū)間上投點其落點的位置；日光燈 泡的使用壽命；測量誤差等，對于這些數(shù)量關系，我們 都不可能要求它們?nèi)∈孪戎付ǖ目蓴?shù)個值。實際上，它 們在0,1、(0,)和(,) 上取值。更為重要的是， 它們?nèi)∶總€給定值的可能性均為 0。 這時，我們該怎樣 刻畫這些隨機變量呢？.

2、 第六講隨機變量及其分布二 讓我們從隨機地向0,1區(qū)間上投點開始，令X表示其 落點的位置。正如幾何概率模型中所說的，X取每個 點的可能性都相同，并且我們可以考慮落在一個區(qū)間或 一個集合內(nèi)的概率。 如計算 ()P aXb ()P XB 這只與區(qū)間長度ba或B的長度|B有關， 即 ()P aXbba () |P XBB 第六講隨機變量及其分布二 正如物理中計算物質(zhì)質(zhì)量一樣，我們說X具有 均勻概率密度函數(shù) 1, 01 ( ) 0, x p x 其它 第六講隨機變量及其分布二 一 般 地 ， 考 慮(,)R =- 一 個 函 數(shù) :( )p xp x， 如果滿足 1. ( )0p x 2. ( )1p

3、 x dx - = 那么稱( )p x為R上的一個概率密度函數(shù)。 第六講隨機變量及其分布二 注: 條件 2 并不是很強的限制，因為當 ( )p x dxM - = 時，我們可以令( )( )/pxp xM * =即可得到一 個概率密度函數(shù)。 條件 1 要求( )p x所對應的曲線完全位于 x軸的 上方，事實上，曲線上方的面積有著重要的概 率意義。 第六講隨機變量及其分布二 如果一個隨機變量:XRW 滿足 ()( ) b a P aXbp x dx= , ab , 那么稱X為連續(xù)性隨機變量，具有概率密度函 數(shù)( )p x。 (注意：這里實際上要求:( )aXb F F , ab ) 第六講隨機變

4、量及其分布二 這時，對任何x- ， 那么稱X服從參數(shù)為l的指數(shù) 分布分布，記作exp( )Xl:。 第六講隨機變量及其分布二 相應的分布函數(shù)為 ： 0, 0 ( ) 1, 0 x x F x ex 圖形示范 第六講隨機變量及其分布二 正如前面學過的幾何分布一樣，指數(shù)分布也具有 無記憶性，即 (|)() y P Xxy XxeP Xy l- += 我們今后還會看到：指數(shù)分布和 Poisson 分布有著 密切的聯(lián)系。 第六講隨機變量及其分布二 (3). 正態(tài)分布正態(tài)分布 其中 m- ，那么稱X服從參數(shù) 為 2 ,m s的正態(tài)分布，記作 2 ( ,)XNm s:。 如果隨機變量在(,)-上取值，具有

5、概率密度 函數(shù) 2 2 1() ( )exp, 22 x p x x m sps 驏 - =- 桫 - 圖形示范 第六講隨機變量及其分布二 當 2 0,1ms=時，我們稱為標準正態(tài)分布。正態(tài) 分布這個名稱也許首先 F.Galton 在 1885 年之前給 出，它被認為是最重要的一種概率分布。根據(jù)著名 的中心極限定理(以后將介紹)，在自然界和人類社 會中許多現(xiàn)象都可由正態(tài)分布加以描述。 第六講隨機變量及其分布二 (1) 驗證上述( )p x確實為密度函數(shù)，即 ( )1p x dx - = (2) 分析( )p x的圖形性質(zhì)和特點 (3) 人們通常用( )xF表示標準正態(tài)分布的分布函 數(shù)， 即 2

6、 2 1 ( ) 2 u x xedu p - - F= 第六講隨機變量及其分布二 對于一般的正態(tài)分布隨機變量 2 ( ,)XNm s:，其 分布函數(shù)( )F x可由( )xF來表示： 這個積分并沒有一個顯性函數(shù)表示，因此人們已建 立了一個表備用。 學查分布函數(shù)表 2 2 1() ( )exp 22 x ux F xdu mm ssps - 驏 驏- =-= F 桫 桫 2 ( ,):(0,1) X XNN m m sh s - =: 第六講隨機變量及其分布二 例例. . 設(2,9)XN:, 求(520)PX， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的G分 布，記作( , )Xa bG:。 第六講隨機變

7、量及其分布二 這里G函數(shù)( )bG被定義為 1 ( ) x xedx b b - - G= 特別，1b=如果1b=，那么X正是前面介紹過 的參數(shù)為a的指數(shù)分布； 如果 1 2 a=, 并且對某個 正整數(shù)n使得 2 n b=， 那么我們稱X服從參數(shù)為 n的 2 c分布，記作 2 ( )Xnc:。 第六講隨機變量及其分布二 (5). Cauchy 分布分布 如果隨機變量在(,)- 上取值，具有概率密度 函數(shù) 那么稱X服從 Cauchy 分布。 2 1 ( ), (1) p x x x p = + - ， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的 Beta 分布，記作( , )XBa b:。 11 ( ) (

8、) (1), 01 ()( ) 0, xxx p x 其它 第六講隨機變量及其分布二 注意到 Beta 函數(shù)( , )Ba b和 Gamma 函數(shù)間的關 系： 上述( )p x確實是密度函數(shù)。 1 11 0 () ( ,):(1) ( ) ( ) Bxxdx 特別，如果1ab=，那么X服從0,1上的均 勻分布。 第六講隨機變量及其分布二 (7). Weibull分布分布 其中,0a b， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的 Weibull 分布。 如果隨機變量在0,)上取值，具有概率密度函 數(shù) 1 , 0 ( ) 0, x xex p x 其它 第六講隨機變量及其分布二 特別，如果1b=，那么X服從

9、參數(shù)為 a的指數(shù)分 布。 其分布函數(shù)為 1, 0 ( ) 0, x ex F x 其它 第六講隨機變量及其分布二 3. 一般隨機變量一般隨機變量 以上我們介紹了兩類典型的隨機變量及其分布： (1) 離散型隨機變量取有限或可列個值，其分布可 用分布列刻畫，分布函數(shù)是階梯型函數(shù)； (2) 連續(xù)型隨機變量在一個或幾個不相交的區(qū)間內(nèi) 取值，具有密度函數(shù)，分布函數(shù)是處處連續(xù)的，并 具有導數(shù)。 但我們應該強調(diào)，除了這兩種以外，還存在其它類 型的隨機變量。 第六講隨機變量及其分布二 令 ( )1, (, )X TX Hqq= -= 考慮下列隨機試驗： 投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的可能性為p；如果出 現(xiàn)正面，那么

10、繼續(xù)投擲一次標槍，標槍的傾斜角 度q為(0,2 )p上的均勻分布。 這時，樣本空間為 ,(, ):02 THqqpW = 其中H代表正面，T代表反面。 第六講隨機變量及其分布二 該函數(shù)除1-點外處處連續(xù)，X既不是離散型隨 機變量，也不是連續(xù)型隨機變量。 那么該隨機變量X取值為 10,2 p-，其分布 函數(shù)( )F x如下 0 1 , -10 ( ) , 02 2 1, 2 x qx F x x qpx x ， 第六講隨機變量及其分布二 嚴格來說，上式應寫成 對一般的隨機變量，我們主要使用分布函數(shù)來刻 畫其取值的規(guī)律。給定一個概率空間(, F, P)， 假設:XRW 是一個隨機變量，那么定義 (

11、 )()F xP Xx= 作為分布函數(shù)。 ( )(:( )F xPXxww= 第六講隨機變量及其分布二 注意到P是從F到0,1上的一個函數(shù)，或者說， 只有對F中的集合或事件A，( )P A才有定義。 因此， 為了對每個x， 我們能很好地定義 ( )F x， 那么需要 :( )XxwwF。這就導致 了隨機變量的嚴格數(shù)學定義： 給給定定一一個個概概率率空空間間(, F F, P), 如如果果對對每每個個x， :( )XxwwF F，那那么么稱稱:XRW 是是關關于于 F F的的可可測測函函數(shù)數(shù)。 這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)，我我們們稱稱其其為為定定義義 在在概概率率空空間間(, F F, P)上上隨隨機機變變量量。 第六講隨機變量及其分布二