北航機(jī)械優(yōu)化大作業(yè)概述

1、 現(xiàn)代機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 授課老師： 王春潔 2014-12-17北京航空航天大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)目錄第一部分一、 一維優(yōu)化方法21. 進(jìn)退法22. 格點(diǎn)法23. 牛頓法24. 二次插值3應(yīng)用原則：4二、 多維無(wú)約束優(yōu)化41. 梯度法42. 二階牛頓法與阻尼牛頓法53. dfp變尺度法64. 單純形法6三、 多維約束優(yōu)化61. 隨機(jī)方向搜索法82. 可行方向法83. 懲罰函數(shù)法8第二部分一、 采用有約束多維優(yōu)化方法解決箱梁模板的設(shè)計(jì)問(wèn)題101.1 問(wèn)題的描述111.2 多維約束優(yōu)化14總結(jié)與致謝18參考文獻(xiàn)19第一部分 本部分為簡(jiǎn)述學(xué)過(guò)的優(yōu)化算法（一維，多維無(wú)約束，多維有約束）的選擇方法及應(yīng)用原則

2、。一、 一維優(yōu)化方法1. 進(jìn)退法由單峰函數(shù)的性質(zhì)可知，在極小點(diǎn)左邊函數(shù)值應(yīng)嚴(yán)格下降，而在極小值右邊函數(shù)值應(yīng)嚴(yán)格上升。因此，可從某一個(gè)給定的初始點(diǎn)出發(fā)，以初始步長(zhǎng)沿著函數(shù)值的下降方向，逐步前進(jìn)（或后退），直至找到相繼的3個(gè)試點(diǎn)的函數(shù)值按“高-低-高”變化為止。2. 格點(diǎn)法格點(diǎn)法是一種計(jì)算極其方便的方法，其迭代步驟可簡(jiǎn)要概括為把搜索區(qū)間等分成n個(gè)點(diǎn)，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，取出函數(shù)值最小的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，之后，在兩側(cè)取臨點(diǎn)，作為新的區(qū)間并判斷是否成立，倘若成立，則就是最優(yōu)解，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為最優(yōu)值；若不成立則以為新區(qū)間重復(fù)以上過(guò)程直到滿足條件為止。3. 牛頓法牛頓法是用切線代替弧，逐漸逼近函數(shù)根值的方法

3、。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，在曲線上作一系列切線，使之與軸的腳墊逐漸趨于的根。對(duì)于一維搜索函數(shù)，假定已經(jīng)給出極小點(diǎn)的一個(gè)較好的近似點(diǎn)，在點(diǎn)附近用一個(gè)二次函數(shù)來(lái)逼近函數(shù)：然后以該二次函數(shù)的極小點(diǎn)作極小點(diǎn)的一個(gè)新的近似點(diǎn)。根據(jù)極值必要條件：即：可得：依次繼續(xù)下去可得到牛頓迭代公式：其具體計(jì)算步驟概括為：1) 給定初始點(diǎn)，控制誤差，并令;2) 計(jì)算，；3) 根據(jù)牛頓迭代公式求；4) 若則求得近似解，停止計(jì)算，否則轉(zhuǎn)到5）；5) 令轉(zhuǎn)到1）。4. 二次插值二次插值是多項(xiàng)式逼近法的一種。所謂多項(xiàng)式逼近，是利用目標(biāo)函數(shù)在若干點(diǎn)的信息(函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值等)，構(gòu)成一個(gè)與目標(biāo)函數(shù)值很接近的低次

4、插值多項(xiàng)式，然后利用該多項(xiàng)式的最優(yōu)解作為函數(shù)的近似最優(yōu)解，隨著區(qū)間的逐次縮短，多項(xiàng)式函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)與原函數(shù)最優(yōu)點(diǎn)之間的距離逐漸減小，直到滿足一定的精度要求時(shí)迭代終止。設(shè)原目標(biāo)函數(shù)在的三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值則可作出如下多項(xiàng)式：多項(xiàng)式的極值點(diǎn)可從極值的必要條件求得：即：又由于：根據(jù)以上各式可知：式中：以上是插值法的公式推導(dǎo)過(guò)程，根據(jù)其基本思想概括其迭代過(guò)程如下：1) 確定初始搜索區(qū)間，定出初始插值結(jié)點(diǎn)；2) 利用式與計(jì)算與；3) 終止條件判斷l(xiāng) 當(dāng)時(shí)，如果，則為所求的極小點(diǎn)；如果，則為所求的極小點(diǎn)；l 當(dāng)時(shí)，則需比較的大小，以便在中丟掉或，得到新的三點(diǎn)，然后再轉(zhuǎn)2)。應(yīng)用原則：一維優(yōu)化算法是求一維目標(biāo)函

5、數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值。求單變量的極值問(wèn)題，但是在很多時(shí)候函數(shù)的求導(dǎo)很困難，甚至根本不可導(dǎo)，而且計(jì)算機(jī)不擅長(zhǎng)求導(dǎo)，求導(dǎo)是用其他算法實(shí)現(xiàn)的，計(jì)算量大，需要的時(shí)間長(zhǎng)。所以在優(yōu)化過(guò)程中一般不采用解析法而采取直接探索法求最優(yōu)點(diǎn)。這種求優(yōu)方法稱為一維優(yōu)化方法。求解一維的最小值一般分為兩步。第一步是確定函數(shù)值最小值所在的區(qū)間a,b，稱為搜索區(qū)間；第二步是在該區(qū)間內(nèi)求出最優(yōu)步長(zhǎng)因子或最優(yōu)值。確定搜索區(qū)間的方法：進(jìn)退法、外推法。一維最優(yōu)化算法分有格點(diǎn)法、二次插值法、三次插值法等。格點(diǎn)法結(jié)構(gòu)和程序很簡(jiǎn)單，但效率偏低；二次插值法和三次插值法的搜索效率較高，收斂速度較快，調(diào)用函數(shù)次數(shù)少。三次插值法的效率比二次插值法更高

6、，在同樣搜索次數(shù)下，其精度更高，但程序復(fù)雜，可靠性差些，對(duì)高維數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題更適宜，經(jīng)過(guò)某些技術(shù)處理，方法的可靠度可以大為提高。二、 多維無(wú)約束優(yōu)化1. 梯度法函數(shù)的梯度方向是函數(shù)值增加最快的方向，則負(fù)梯度方向必然是函數(shù)值下降最快的方向，所以在優(yōu)化中采取負(fù)梯度矢量作為一維搜索的方向，成為最速下降法，也叫一階梯度法。（此法屬于解析法，既間接求優(yōu)法）梯度法的迭代過(guò)程簡(jiǎn)單，對(duì)初始點(diǎn)的選擇，要求不高。梯度方向目標(biāo)函數(shù)值下降迅速只是個(gè)局部性質(zhì)，從整體來(lái)看，不一定是收斂最快的方向。以二維二次函數(shù)為例，相鄰兩次的搜索方向是正交的，所以搜索路徑是曲折的鋸齒形的；對(duì)于高維的非線性函數(shù)，接近極值點(diǎn)處，容易陷入穩(wěn)定的

7、鋸齒形搜索路徑。目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)的梯度為：搜索方向?yàn)樘荻确较颍禾荻确ǖ牡綖椋菏街校菏呛瘮?shù)在迭代點(diǎn)處的梯度； 最優(yōu)化步長(zhǎng)。概括其迭代過(guò)程為：1） 任選初始迭代點(diǎn)，選定收斂精度，令；2） 確定點(diǎn)的梯度，并確定搜索方向；3） 判斷是否滿足迭代終止條件，若滿足，則給出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)向下一步；4） 從出發(fā)，沿負(fù)梯度方向做一維搜索，求最優(yōu)步長(zhǎng)； 5） 令，返回2）。2. 二階牛頓法與阻尼牛頓法二階牛頓法與一維搜索方法中的牛頓法類似，只需將其推廣到n維。利用二次函數(shù)(二次曲線)來(lái)逐點(diǎn)去近似或者逼近目標(biāo)函數(shù)，然后求出這個(gè)二次函數(shù)的極小點(diǎn)，作為對(duì)原目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)的下一個(gè)迭代點(diǎn)，通過(guò)若干次的重新迭代，使迭代點(diǎn)逐步

8、逼近元目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn)。二階牛頓法的一般迭代公式：式中就是hessian矩陣，可寫為：阻尼牛頓法是在二階牛頓法基礎(chǔ)上進(jìn)行修正得到的。在上述牛頓法中，存在一個(gè)問(wèn)題，由于迭代式中沒(méi)有步長(zhǎng)因子，所以有時(shí)候函數(shù)值反而會(huì)有所增大，即：從而可能造成發(fā)散導(dǎo)致計(jì)算失敗。所以要對(duì)牛頓法進(jìn)行修正。通過(guò)將步長(zhǎng)改用為最優(yōu)步長(zhǎng)因子，將迭代式改寫為：此時(shí)：迭代步驟如下：1) 任選初始點(diǎn)，給定精度，同時(shí)置；2) 計(jì)算點(diǎn)的梯度和海鰓矩陣的逆矩陣；3) 檢驗(yàn)是否滿足精度要求，若滿足停止迭代，否則進(jìn)行步驟4）；4) 令；5) 從出發(fā)沿牛頓方向進(jìn)行以為搜索：求出最優(yōu)步長(zhǎng)；6） 令，轉(zhuǎn)步驟2）。當(dāng)初始點(diǎn)選擇得當(dāng)?shù)臅r(shí)候，兩方法是目前算法

9、中收斂速度最快的一種(尤其對(duì)于二次函數(shù))，但是初始點(diǎn)選擇不當(dāng)?shù)臅r(shí)候，會(huì)影響收斂導(dǎo)致計(jì)算失敗，不過(guò)對(duì)于修正牛頓法，即使初始點(diǎn)選擇不當(dāng)，也能求出最優(yōu)解。在應(yīng)用時(shí)，兩方法要計(jì)算一二階偏導(dǎo)數(shù)及hessain矩陣的逆矩陣，準(zhǔn)備工作量較大，程序較為復(fù)雜，存儲(chǔ)量也大，特別的，當(dāng)變量較多時(shí)，因?yàn)榇螖?shù)較高，hessain矩陣是奇異矩陣，逆矩陣不存在，因而不能使用牛頓法。3. dfp變尺度法由于梯度法和牛頓法具有各種缺點(diǎn)，為彌補(bǔ)上述缺點(diǎn)，綜合了兩種方法各自的優(yōu)點(diǎn)，提出了變尺度法。變尺度法迭代公式為：它可以看成是梯度法和牛頓法的改進(jìn)算法，當(dāng)時(shí)，上式變成梯度法：當(dāng)時(shí)，上式變成牛頓法：dfp變尺度法綜合了梯度法、牛頓法

10、的優(yōu)點(diǎn)而又避棄它們各自的缺點(diǎn)，只需計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)，無(wú)需計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)及其逆矩陣，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的初始點(diǎn)選擇均無(wú)嚴(yán)格要求，收斂速度快。在應(yīng)用時(shí)，對(duì)于高維（維數(shù)大于50）問(wèn)題，變尺度法被認(rèn)為是無(wú)約束極值問(wèn)題最好的優(yōu)化方法之一。4. 單純形法所謂單純形是指變量所屬的中，由n+1個(gè)線性獨(dú)立的點(diǎn)構(gòu)成不可分割的簡(jiǎn)單幾何圖形。對(duì)于二維問(wèn)題，線性獨(dú)立是指不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形。對(duì)于三維問(wèn)題就是不同平面上的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的空間四面體，對(duì)n維問(wèn)題就是由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的凸多面體。它的基本思路是：對(duì)構(gòu)成單純形的各個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，從函數(shù)的大小可以判斷出函數(shù)變化的大致趨勢(shì)，舍去最壞點(diǎn)，代之以好點(diǎn)，構(gòu)成新的

11、單純形逐步向最優(yōu)點(diǎn)逼近。它不同于前面的沿某一方向進(jìn)行的一維搜索思想。其迭代過(guò)程包括：反射，延伸，壓縮，縮邊。單純形法屬于直接法，這類方法甚至適用于未知目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式而只知道他的具體算法情況，程序簡(jiǎn)單，收斂快，效果好，適用于中小型問(wèn)題。三、 多維約束優(yōu)化根據(jù)處理約束條件的不同，約束優(yōu)化方法分為直接法和間接法兩類。在迭代過(guò)程中逐點(diǎn)考察約束，并使迭代點(diǎn)始終局限于可行域內(nèi)的算法稱為直接法，如隨即方向法、可行方向法、復(fù)合形法等。把約束條件引入目標(biāo)函數(shù)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題求解的算法稱為間接法，如懲罰函數(shù)法。（1）直接法：是設(shè)法使每一次迭代產(chǎn)生的新迭代點(diǎn)限制在可行域內(nèi)，且一步一步地降低

12、目標(biāo)函數(shù)的值，直到獲得一個(gè)在可行域內(nèi)的約束最優(yōu)解。但需要滿足可行性和適用性?？尚蟹较蚍ㄓ糜诮鉀Q不等式約束優(yōu)化問(wèn)題（ip型），在有約束優(yōu)化問(wèn)題中，可行方向法求解大型約束優(yōu)化問(wèn)題的主要方法，并且收斂速度快、效果好，但程序較復(fù)雜，它解決具有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，也是用梯度法求解約束非線性最優(yōu)問(wèn)題的直接方法之一。適用可行法的條件：目標(biāo)函數(shù)沿該方向下降。求優(yōu)過(guò)程中，探索方向必須是在可行域內(nèi)：a可行域內(nèi)；b在容許的約束邊界上；c已越出可行域，則通過(guò)計(jì)算取得新的步長(zhǎng)，使其迭代點(diǎn)返回至可行域前的邊界上。（2）間接法：用無(wú)約束方法解決有約束問(wèn)題約束優(yōu)化類型：不等式約束優(yōu)化問(wèn)題（ip型）等式約束優(yōu)化問(wèn)題（ep型）一

13、般約束優(yōu)化問(wèn)題（gp型）注：等式約束條件小于變量個(gè)數(shù)。懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的間接法。其基本原理是將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題求解的一種算法，其有兩個(gè)前提條件：一是不破壞原約束的約束條件；二是最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解上去。按照懲罰函數(shù)的構(gòu)成方式，懲罰函數(shù)法分為三種：內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法和混合法。內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)是在可行域內(nèi)逐步逼近最優(yōu)解，解決不等式問(wèn)題。內(nèi)點(diǎn)法只適用于解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題。由于內(nèi)點(diǎn)法需要在可行域內(nèi)部進(jìn)行搜索，所以初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)部選取可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法的突出優(yōu)點(diǎn)在于每個(gè)迭代點(diǎn)都是可行點(diǎn)。因此，當(dāng)?shù)_(dá)到一定階段時(shí)，盡管尚沒(méi)有達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)，但也可以被接受為一個(gè)較

14、好的近似解。外點(diǎn)法是解決等式或不等式問(wèn)題。混合罰函數(shù)法是指用罰函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束（gp型）優(yōu)化問(wèn)題的方法，把它稱為混合懲罰函數(shù)法，簡(jiǎn)稱混合法。1. 隨機(jī)方向搜索法在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為搜索方向，從初始點(diǎn)出發(fā)，沿方向以一定步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到函數(shù)值最小的一點(diǎn)，若，則以方向?yàn)樗阉鞣较?，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)h向前跨步，得到新點(diǎn)，若，則將，重復(fù)前面的過(guò)程，否則就縮短步長(zhǎng)h，直到步長(zhǎng)(或者其他的判別方法)，就結(jié)束計(jì)算，取得約束最優(yōu)解。約束隨機(jī)方向搜索法的程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，使用方便，這種方法對(duì)于目標(biāo)函

15、數(shù)的性態(tài)無(wú)特殊要求，由于其搜索方向是從許多當(dāng)相中選擇最好的方向，加之可隨機(jī)變化的步長(zhǎng)，因此收斂速度快。常用于小型優(yōu)化問(wèn)題的求解，但為了避免所求的結(jié)果是局部最優(yōu)解，往往需要選擇幾個(gè)不同的初始點(diǎn)，從幾次計(jì)算結(jié)果中做出正確的分析，得出全局最優(yōu)解。2. 可行方向法可行方向法的基本思想是從可行點(diǎn)出發(fā)，沿著可行下降方向進(jìn)行搜索，求出使目標(biāo)函數(shù)值下降的新的可行點(diǎn)，算法主要包括選擇搜索方向和確定搜索步長(zhǎng)的兩個(gè)方面，概括其基本迭代格式為：1) 從可行點(diǎn)開(kāi)始迭代，設(shè)已得到可行點(diǎn)；2) 在處用某種方法確定一可行下降方向；3) 在方向上尋找新的迭代點(diǎn)，使得是可行點(diǎn)且，令，轉(zhuǎn)至2)直到滿足條件停機(jī)?？尚蟹较蚍ㄊ乔蠼獯笮?/p>

16、約束優(yōu)化方法問(wèn)題的主要方法之一，其收斂速度快，效果好，但是程序較為復(fù)雜。一般當(dāng)求解大中型的約束優(yōu)化問(wèn)題，且可行域?yàn)檫B續(xù)閉集，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量的連續(xù)函數(shù)，可采用可行方向法求解。3. 懲罰函數(shù)法罰函數(shù)法的基本思想是用約束條件去構(gòu)造一個(gè)制約函數(shù)，當(dāng)約束條件不滿足是，該函數(shù)就受到制約，反之當(dāng)約束條件滿足條件時(shí)，則不受制約，吧目標(biāo)函數(shù)和約束條件函數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，將約束問(wèn)題化成一系列無(wú)約束問(wèn)題求解。要保證如下兩點(diǎn)：一是不能破壞約束問(wèn)題的約束條件，二是使它歸結(jié)到原約束問(wèn)題的同一最優(yōu)點(diǎn)上去。一般形式為：新的目標(biāo)函數(shù)稱為增廣目標(biāo)函數(shù)，上式右端第二項(xiàng)成為懲罰項(xiàng)，稱為罰因子，是一個(gè)遞增或者遞減

17、的數(shù)列，在迭代過(guò)程中，使懲罰項(xiàng)起的作用越來(lái)越小，最后使得：根據(jù)懲罰項(xiàng)的不同，罰函數(shù)法可分為內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法，外點(diǎn)罰函數(shù)法以及混合罰函數(shù)法。1) 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法他要求迭代過(guò)程均在可行域g內(nèi)進(jìn)行，因此在可行域g的邊界上設(shè)置一道屏障，使迭代點(diǎn)靠近g的邊界時(shí)給出的函數(shù)值很大，甚至趨近于無(wú)窮大，離邊界較遠(yuǎn)的可行域內(nèi)，新舊函數(shù)值盡量接近，因此懲罰函數(shù)的形式為：或者：2) 外點(diǎn)罰函數(shù)法外點(diǎn)法是將懲罰函數(shù)定義于可行域外，且求解無(wú)約束問(wèn)題的搜索點(diǎn)是從可行域外部逼近元目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。外點(diǎn)懲罰函數(shù)的構(gòu)造形式一般為：上式中的是遞增數(shù)列：3) 混合罰函數(shù)法他綜合了內(nèi)點(diǎn)發(fā)和外點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)，該方法可處理等式和不等式約束，可任選初

18、始點(diǎn)，甚至可得到多個(gè)最優(yōu)解。混合罰函數(shù)的一般形式為：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法是解決不等式優(yōu)化問(wèn)題的很好的辦法，但是他不能處理等式約束，一般當(dāng)選用的約束優(yōu)化方法是應(yīng)用求導(dǎo)數(shù)的解析法時(shí)，應(yīng)用式，求函數(shù)的梯度較為簡(jiǎn)便，當(dāng)用直接發(fā)或者用差分法代替求導(dǎo)的解析法時(shí)用式為宜。此外，內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法由于要有一個(gè)嚴(yán)格的可行域內(nèi)的初始點(diǎn)，在計(jì)算上比外點(diǎn)法復(fù)雜些，但它是機(jī)械優(yōu)化算法中常用的方法。外點(diǎn)罰函數(shù)法可以處理等式或者不等式約束問(wèn)題。它的初始點(diǎn)定義于可行域之外，且求解無(wú)約束問(wèn)題的探索點(diǎn)是從可行域外部逼近原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解的，這是它較為重要的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)槲覀冊(cè)诮o定初始點(diǎn)時(shí)可以有靈活的選擇，而且外點(diǎn)懲罰函數(shù)法適用于含有等式約束的

19、優(yōu)化問(wèn)題，如果約束中有等式約束，則可以選擇外點(diǎn)法?；旌狭P函數(shù)法既可以處理等式或者不等式約束問(wèn)題。在應(yīng)用過(guò)程中使用混合懲罰函數(shù)法時(shí)，初始點(diǎn)應(yīng)為內(nèi)點(diǎn)，懲罰因子可參照內(nèi)點(diǎn)法選取，迭代過(guò)程與內(nèi)點(diǎn)法類似。第二部分該部分為應(yīng)用多維有約束優(yōu)化方法解決實(shí)際問(wèn)題的范例及論述 。一、 采用有約束多維優(yōu)化方法解決箱梁模板的設(shè)計(jì)問(wèn)題工程中的優(yōu)化問(wèn)題，就是求解極大值或極小值問(wèn)題，即極值問(wèn)題。優(yōu)化設(shè)計(jì)是以建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)的。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是以最低的成本獲得最好的效益，是設(shè)計(jì)工作者一直追求的目標(biāo)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)將機(jī)械設(shè)計(jì)的具體要求構(gòu)造成數(shù)學(xué)模型，將機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)規(guī)劃命題。逐步求解這個(gè)規(guī)劃命題

20、，使其最佳地滿足設(shè)計(jì)要求，從而獲得可行方案中的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展較早的領(lǐng)域，不僅研究了連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，機(jī)械零部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)最近十幾年也有很大發(fā)展。主要是研究各種減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、液壓軸承和滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及軸、彈簧、制動(dòng)器等的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。除此之外，在機(jī)床、鍛壓設(shè)備、壓延設(shè)備、起重運(yùn)輸設(shè)備、汽車等的基本參數(shù)、基本工作機(jī)構(gòu)和主體結(jié)構(gòu)方面也進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。近年來(lái)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)引入優(yōu)化設(shè)計(jì)方法后，把優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)合起來(lái)，使設(shè)計(jì)過(guò)程完全自動(dòng)化，已成為設(shè)計(jì)方法的一個(gè)重要發(fā)展趨勢(shì)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)

21、、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。多維有約束優(yōu)化是在優(yōu)化問(wèn)題中最普遍的問(wèn)題，它的基本形式是，有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(x),多個(gè)約束條件。用公式描述如下：求： s.t 式中，x為n維向量，表示所需求得的未知量，g(x)與h(x)為兩種不同形式的約束條件。通過(guò)對(duì)未知向量x的求解，可得到問(wèn)題的最優(yōu)解以實(shí)現(xiàn)獲得最低成本的最優(yōu)收益。應(yīng)用多維有約束優(yōu)化方法解決實(shí)際問(wèn)題的范例有很多，本文的問(wèn)題是某工廠箱梁模版的優(yōu)化設(shè)計(jì)。大型的箱梁預(yù)制要求機(jī)械化程度高，操作方便，其中箱梁內(nèi)模設(shè)計(jì)是關(guān)鍵。對(duì)24m單線箱梁內(nèi)模板的設(shè)計(jì)加工，通過(guò)對(duì)彎曲位

22、置x，y和彎曲角度的約束優(yōu)化，求得內(nèi)模可下降的最大距離h。通過(guò)使用了坐標(biāo)輪換法和罰函數(shù)兩種方法實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化的運(yùn)算。在實(shí)際問(wèn)題中，不僅需要考慮可下降的距離h，還需考慮強(qiáng)度校合等問(wèn)題，但由于得到數(shù)據(jù)不全，僅以最大距離h作為最優(yōu)函數(shù)進(jìn)行求解。1.1 問(wèn)題的描述箱梁內(nèi)模的結(jié)構(gòu)為無(wú)底式，其具體形狀如圖1，其中，未知量為x,y, 已知量為：a，b，c，d，e，f，g，h，m。x為第一次動(dòng)作中模板轉(zhuǎn)動(dòng)的位置，y為第二次動(dòng)作中模板轉(zhuǎn)動(dòng)的位置。圖1 內(nèi)模斷面結(jié)構(gòu)圖箱體梁模的四個(gè)動(dòng)作步驟： 收下側(cè)模； 收上側(cè)模； 收頂部油缸，內(nèi)模整體下降； 通過(guò)外設(shè)卷?yè)P(yáng)機(jī)將內(nèi)模拉出預(yù)制梁箱體。通過(guò)這4步驟中的前3步建立約束條件。（

23、a）(b)(c)(d)圖2 箱體的三個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程首先，在靜止條件時(shí)可得到x,y的約束條件： 動(dòng)作一：收下側(cè)模，以a點(diǎn)為中心，將下模旋轉(zhuǎn)角度c，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，為了避免碰撞。其中。 這時(shí)f1點(diǎn)坐標(biāo) gl點(diǎn)坐標(biāo)其中： 動(dòng)作二：收上側(cè)模，以b點(diǎn)為中心，將上側(cè)模（此時(shí)下側(cè)模與上側(cè)模連為一體，為剛性體)旋轉(zhuǎn)角度c1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，要求g點(diǎn)的橫坐標(biāo)xg2g。 動(dòng)作三：內(nèi)模整體下降，在此過(guò)程中，g1點(diǎn)的y軸位置應(yīng)該更大。即：值最大。這樣可以得到所有的約束條件和所需函數(shù)：1.2 多維約束優(yōu)化多維約束優(yōu)化分為直接法和間接法。在直接法中，每一步的迭代解都要服從兩個(gè)條件：可行性和使用性。解的可行性是指每一步的迭代解都應(yīng)

24、當(dāng)在可行域的范圍之內(nèi)。解的使用性是指每一步的迭代解都應(yīng)是較上一值更優(yōu)的。使用的輪換法就是一種典型的直接優(yōu)化方法。間接法是指通過(guò)一定的方法將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換，使其去除約束，成為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，從而使用無(wú)約束優(yōu)化的方法來(lái)解決。其中懲罰函數(shù)法為較為常用的間接法。 一般問(wèn)題的可行域?yàn)椋涸诩s束范圍中存在某個(gè)點(diǎn)x*，使其周圍每個(gè)點(diǎn)距離小于e0時(shí)，f(x)f(x*)。則稱：x為一個(gè)局部最優(yōu)解。在一個(gè)問(wèn)題中，可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解。全局最優(yōu)解為所求問(wèn)題的最小值，全局最優(yōu)解一定在局部最優(yōu)解中，故只需在局部最優(yōu)解中尋找最小值即可。輪換法為一種直接求解的有約束優(yōu)化方法，建立在多維無(wú)約束優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上?；舅枷霝椋簩ふ?/p>

25、某維上的最小值直至找到或超出范圍，換維繼續(xù)尋找，直至到達(dá)終止條件。步驟可以簡(jiǎn)單描述：1選取一個(gè)步長(zhǎng)a,初始值x(0)和終止條件e；2沿x(0)中的第一維方向進(jìn)行搜索，其初始步長(zhǎng)為a；3當(dāng)x(0)的第一維方向以a=2a的速度進(jìn)行搜索，直至f(x)開(kāi)始增大（找到局部最優(yōu)解）或x超出約束條件；4退回當(dāng)前步長(zhǎng)a,將此x(0)的第一維方向記做x(1)的第一維方向，增加一維從新進(jìn)行24步過(guò)程；5當(dāng)x(0)達(dá)到其最大維數(shù)，使用所記錄的x(1)進(jìn)行新的搜索，此時(shí)，a=a/2； 6如此循環(huán)直至達(dá)到終止條件 。其流程圖基本如下： 圖3 輪換坐標(biāo)法的流程圖懲罰函數(shù)法是一種間接求解的多維有約束優(yōu)化算法，數(shù)學(xué)模型與輪換

26、法類似，不過(guò)引入了一個(gè)新的條件，罰函數(shù)：此罰函數(shù)須滿足兩個(gè)條件：1不破壞原函數(shù)的約束條件； 2取最小值時(shí)的x為f(x)取最小值時(shí)的x。通過(guò)引入罰函數(shù)，原問(wèn)題變成了高維的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，可以使用無(wú)約束優(yōu)化方法進(jìn)行求解。具體步驟如下：1在可行域內(nèi)選擇初始點(diǎn)x0可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇； 2確定初始罰因子r0和c,并確定k值為0；3求罰函數(shù)的最小值，解出最優(yōu)點(diǎn)xk；4當(dāng)k=0時(shí)，跳至步驟5，否則至6；5k=k+1，r(k+1)=cr(k)，xk+1=xk，轉(zhuǎn)至步驟3；6判斷終止條件，滿足則繼續(xù)到7，否則至步驟5；7輸出f(x)與x。其路程圖大致如下：圖4 罰函數(shù)法的流程圖結(jié)束條件通常有兩個(gè)，一為兩次的x值的變化較小，即，二為兩次的f(x)值變化較小，即， 。在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)當(dāng)先建立正確的模型以進(jìn)行進(jìn)一步的分析。對(duì)問(wèn)題的分析后給出的數(shù)學(xué)模型建立如下：其中，x，y，c，c1作為未知量進(jìn)行輪換，而下面四個(gè)為約束條件，函數(shù)f(x)是個(gè)求最大值的函數(shù)，故可將f(x)=-f(x)。使用輪換坐標(biāo)法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，將x(x，y，c