北京市海淀區(qū)高三下學(xué)期期末練習(xí)（二模）理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、北京市海淀區(qū)2016屆高三下學(xué)期期末練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知全集， 則 a. b. c. d.2.在數(shù)列中，且，則的值為a. b. c. d.3. 若點(diǎn)在直線（為參數(shù)）上，則的值為 a. b. c. d.4.在中， 則 a. b. c. d.:.5.在(其中)的展開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)相同，則的值為a. b. c. d.6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè)

2、 d.4個(gè)7. 如圖，在等腰梯形中，. 點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是a. b.c. d.8.直線與軸的交點(diǎn)分別為, 直線與圓的交點(diǎn)為. 給出下面三個(gè)結(jié)論： ； ；則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 a. b. c. d.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9. 已知其中為虛數(shù)單位，則_. 10.某校為了解全校高中同學(xué)五一小長(zhǎng)假參加實(shí)踐活動(dòng)的情況，抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間, 繪成頻率分布直方圖（如圖）. 則這100名同學(xué)中參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為 _ .11. 如圖，是上的三點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn). 若，則12. 若點(diǎn)在不等式組所表示的平面

3、區(qū)域內(nèi)，則原點(diǎn)到直線距離的取值范圍是_. 13.已知點(diǎn)，若這三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為_(kāi).14.正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，以為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個(gè)正三棱柱的高.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。15. （本小題滿分13分）已知函數(shù).（）比較，的大小；（）求函數(shù)的最大值. 16.（本小題滿分13分）某家電專賣店試銷a、b、c三種新型空調(diào)，銷售情況如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周型數(shù)量（臺(tái)）111015型數(shù)量（臺(tái)）101213型數(shù)量（臺(tái)）15812()求型空調(diào)前三周

4、的平均周銷售量；()根據(jù)型空調(diào)連續(xù)3周銷售情況，預(yù)估型空調(diào)連續(xù)5周的平均周銷量為10臺(tái).請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)型空調(diào)周銷售量的方差最小時(shí)， 求，的值；(注：方差，其中為，的平均數(shù))（）為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店第二周和第三周售出的空調(diào)中分別隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽取的兩臺(tái)空調(diào)中型空調(diào)臺(tái)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.（本小題滿分14分）如圖，等腰梯形中，于，于，且，.將和分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，得到一個(gè)四棱錐，點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求證：；（）求直線與平面所成的角的大小.18.（本小題滿分14分）已知函數(shù). （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若關(guān)于的不等式在上有解

5、，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()若曲線存在兩條互相垂直的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(只需直接寫出結(jié)果)19. （本小題滿分13分）已知點(diǎn)其中是曲線上的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn),且. （）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；（）記的面積為，梯形的面積為，求證：. 20.（本小題滿分13分）已知集合,其中., 稱為的第個(gè)坐標(biāo)分量. 若，且滿足如下兩條性質(zhì)： 中元素個(gè)數(shù)不少于4個(gè)； ，存在，使得的第個(gè)坐標(biāo)分量都是1；則稱為的一個(gè)好子集.（）若為的一個(gè)好子集，且，寫出；（）若為的一個(gè)好子集，求證：中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)；（）若為的一個(gè)好子集且中恰好有個(gè)元素時(shí)，求證：一定存在唯一一個(gè)，使得中所有元素的第個(gè)坐標(biāo)分量都是1

6、. 海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)（理科）2016.5閱卷須知:1.評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。2.其它正確解法可以參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號(hào)12345678答案abdbcacc二、填空題（本大題共6小題,每小題5分，共30分）9 10 11.12 13 14三、解答題(本大題共6小題,共80分)15解：（）因?yàn)樗?2分4分因?yàn)?,所以 6分（）因?yàn)?9分令 ， 所以,11分因?yàn)閷?duì)稱軸, 根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值13分16解: (i)型空調(diào)前三周的平均銷售量臺(tái)2分（）因?yàn)樾涂照{(diào)平

7、均周銷售量為臺(tái)，所以4分又化簡(jiǎn)得到5分因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，取得最小值所以當(dāng) 或時(shí)，取得最小值7分（）依題意，隨機(jī)變量的可能取值為，8分, , , 11分隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的期望.13分17解: （）證明：連結(jié).在中，因?yàn)榉謩e是所在邊的中點(diǎn)，所以，1分又, 所以, 2分所以是平行四邊形，所以,3分又平面，平面, 4分所以平面. 5分（）證明：方法一：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，因?yàn)樗云矫?所以平面，所以.又在中，因?yàn)?，所?以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系6分 所以7分所以，8分所以，所以. 9分方法二：取中點(diǎn)，連接. 又為的中位線，所以又，所以，所以在一個(gè)平面中. 6分因?yàn)槭堑冗吶?/p>

8、形，所以,又，所以, 7分且，所以平面，8分而平面, 所以. 9分（）因?yàn)?所以, 即, 又, 所以平面，所以就是平面的法向量. 11分又，設(shè)與平面所成的角為，則有13分所以與平面所成的角為.14分18解: （）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，2分當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極大值極小值4分函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 5分（）解：因?yàn)樵趨^(qū)間上有解，所以在區(qū)間上的最小值小于等于. 因?yàn)? 令,得. 6分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，因?yàn)閷?duì)成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為所以，解得，所以此種情形不成立，8分當(dāng)，即時(shí)，若, 則對(duì)成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為所以，解得，所以 . 9分若，

9、若，則對(duì)成立，對(duì)成立.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為所以有，解得，10分當(dāng)時(shí)，注意到,而，此時(shí)結(jié)論成立. 11分綜上，的取值范圍是. 12分法二：因?yàn)樵趨^(qū)間上有解，所以在區(qū)間上的最小值小于等于，當(dāng)時(shí)，顯然，而成立，8分當(dāng)時(shí),對(duì)成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為，所以有，解得，所以.11分綜上，.12分（）的取值范圍是.14分19解：（）因?yàn)?，所以代入，得到?分又，所以，所以，2分代入，得到，3分所以. 5分（）法一：設(shè)直線的方程為.則7分由, 得,所以9分又,11分又注意到，所以，所以，12分因?yàn)?，所?所以.13分法二：設(shè)直線的方程為.由, 得,所以7分, 8分點(diǎn)

10、到直線的距離為, 所以9分又, 11分又注意到，所以，所以，12分因?yàn)?，所?所以. 13分法三：直線的方程為 , 6分所以點(diǎn)到直線的距離為7分又, 8分所以又9分所以10分因?yàn)? 所以11分代入得到，12分因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以. 13分20解：（）2分（）對(duì)于，考慮元素，顯然，對(duì)于任意的，不可能都為1，可得不可能都在好子集中4分又因?yàn)槿《?，則一定存在且唯一，而且，且由的定義知道，6分這樣，集合中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合中元素個(gè)數(shù)的一半，而集合中元素個(gè)數(shù)為，所以中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)；8分（），定義元素的乘積為：，顯然. 我們證明:“對(duì)任意的，都有.”假設(shè)存在, 使得，則由（）知，此時(shí)，對(duì)于任